因式分解解方程

1、解一元二次方程-因式分解法一、教學(xué)目標(biāo)1會(huì)用因式分解法解一元二次方程；2會(huì)用換元法解一元二次方程；3靈活選用簡(jiǎn)便的方法解一元二次方程.二、教學(xué)重難點(diǎn)會(huì)用因式分解法解一元二次方程；靈活選用簡(jiǎn)便的方法解一元二次方程.三、教學(xué)過(guò)程知識(shí)回顧1分解因式的常用方法有哪些？（1）提取公因式法：am+bm+cm=m(a+b+c)（2）公式法：，（3）十字相乘法：新知講解1因式分解法把一個(gè)多項(xiàng)式分解成幾個(gè)整式乘積的形式叫做分解因式.當(dāng)一元二次方程的一邊是0，而另一邊易于分解成兩個(gè)一次因式的乘積時(shí)，我們可以使兩個(gè)一次式分別等于0，從而實(shí)現(xiàn)降次. 這種解一元二次方程的方法稱(chēng)為因式分解法.2因式分解法解一元二次方程的

2、步驟：把方程的右邊化為0；用提公因式法、公式法（這里指因式分解中的公式法）或十字相乘法把方程左邊化成兩個(gè)一次因式乘積的形式；令每一個(gè)因式分別等于0，得到兩個(gè)一元一次方程；解這兩個(gè)一元一次方程，它們的解就是原方程的解.3因式分解法的條件、理論依據(jù)因式分解法解一元二次方程的條件是：方程右邊等于0，而左邊易于分解；理論依據(jù)是：如果兩個(gè)因式的積等于零，那么至少有一個(gè)因式等于零.典例探究1用因式分解法解一元二次方程【例1】用因式分解法解方程：（1）2(2x1)2=(12x)；（2）4(y2)2=(y3)2.總結(jié)：用因式分解法解一元二次方程，是利用了“當(dāng)ab=0時(shí)，必有a=0或者b=0”的結(jié)論.因式分解法

3、解一元二次方程的步驟：（1）把方程的右邊化為0；（2）用提公因式法、公式法（這里指因式分解中的公式法）或十字相乘法把方程左邊化成兩個(gè)一次因式乘積的形式；（3）令每一個(gè)因式分別等于0，得到兩個(gè)一元一次方程；（4）解這兩個(gè)一元一次方程，它們的解就是原方程的解.練1（2014秋趙縣期末）用因式分解法解方程：x26x+9=（52x）22用換元法解一元二次方程【例2】（2014山西校級(jí)模擬）解方程（x1）25（x1）+4=0時(shí)，我們可以將x1看成一個(gè)整體，設(shè)x1=y，則原方程可化為y25y+4=0，解得y1=1，y2=4當(dāng)y=1時(shí)，即x1=1，解得x=2；當(dāng)y=4時(shí)，即x1=4，解得x=5，所以原方程的

4、解為x1=2，x2=5利用這種方法求方程（2x+5）24（2x+5）+3=0的解總結(jié)：換元法在解特殊一元二次方程的時(shí)候用的較多，運(yùn)用了整體思想.在一元二次方程中，某個(gè)代數(shù)式幾次出現(xiàn)，用一個(gè)字母來(lái)代替它可以簡(jiǎn)化問(wèn)題時(shí)，我們可以考慮用換元法來(lái)解. 解高次方程時(shí)，通過(guò)換元的方法達(dá)到降次的目的練2（2015呼和浩特）若實(shí)數(shù)a、b滿(mǎn)足（4a+4b）（4a+4b2）8=0，則a+b=_練3 解方程：（x2-3）2-5(3-x2)+4=0.3靈活選用方法解一元二次方程【例3】（2014秋漳縣校級(jí)期中）選擇適當(dāng)方法解下列方程：（1）x25x+1=0；（2）3（x2）2=x（x2）；（3）2x22x5=0；（4

5、）（y+2）2=（3y1）2總結(jié)：解一元二次方程常用的方法有直接開(kāi)平方法、配方法、公式法和因式分解法，根據(jù)一元二次方程的特征，靈活選用解方程的方法，可以起到事半功倍的作用. （1）一般地，當(dāng)一元二次方程一次項(xiàng)系數(shù)為0時(shí)，即形如ax2+c=0形式的一元二次方程，應(yīng)選用直接開(kāi)平方法.（2）若常數(shù)項(xiàng)為0，即形如ax2+bx=0的形式，應(yīng)選用因式分解法.（3）若一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)都不為0，即形如ax2+bx+c=0的形式，看左邊的整式是否能夠因式分解，如果能，則宜選用因式分解法；不然選用公式法；不過(guò)當(dāng)二次項(xiàng)系數(shù)是1，且一次項(xiàng)系數(shù)是偶數(shù)時(shí)，用配方法也較簡(jiǎn)單.（4）公式法雖然是萬(wàn)能的，對(duì)任何一元二次方程都

6、適用，但不一定是最簡(jiǎn)單的. 因此在解方程時(shí)，我們首先考慮能否應(yīng)用直接開(kāi)平方法、因式分解法等簡(jiǎn)單方法，若不行，則再考慮公式法（適當(dāng)也可考慮配方法）.練4（2015春無(wú)錫校級(jí)期中）選擇合適的方法解下列方程.（1）x25x6=0；（2）3x24x1=0；（3）x（x1）=33x；（4）x22x+1=0課后小測(cè)一、選擇題1方程（x-16）(x+8)=0的根是（ ）A. x1=-16，x2=8 B. x1=16，x2=-8 C. x1=16，x2=8 D. x1=-16，x2=-82. 方程5x(x+3)=3(x+3)的解為（ ）A. B. C. D.3.（2015滕州市校級(jí)模擬）方程x22x=3可以化

7、簡(jiǎn)為（）A（x3）（x+1）=0 B（x+3）（x1）=0C（x1）2=2 D（x1）2+4=0二、填空題4（2015麗水）解一元二次方程x2+2x3=0時(shí)，可轉(zhuǎn)化為解兩個(gè)一元一次方程，請(qǐng)寫(xiě)出其中的一個(gè)一元一次方程5（2014杭州模擬）方程x（x+1）=2（x+1）的解是6（2013秋蘇州期末）已知（x2+y2+1）（x2+y2+2）=6，則x2+y2的值為三、解答題7（2014秋靜寧縣期末）解下列方程：（1）x22x+1=0 （2）x22x2=0（3）（x3）2+2（x3）=08（2014秋滄浪區(qū)校級(jí)期末）解下列方程：（1）x24x3=0（2）（x2）2=3（x2）（3）2（x）2（x）1=

8、09（2014秋宛城區(qū)校級(jí)期中）為了解方程（x21）25（x21）+4=0，我們可以將x21看作一個(gè)整體，然后設(shè)x21=y，則（x21）2=y2，那么原方程可化為y25y+4=0，解得y1=1，y2=4當(dāng)y=1時(shí)，x21=1，x2=2，x=當(dāng)y=4時(shí)，x21=4，x2=5，x故原方程的解為x1=，x2=，x3=，x4=請(qǐng)借鑒上面的方法解方程（x2x）25（x2x）+6=010（2014秋薊縣期中）已知（x2+y23）（x2+y2+1）=12，求x2+y2的值典例探究答案：【例1】【解析】（1）移項(xiàng)，提取公因式；（2）移項(xiàng)并利用平方差公式分解因式求解.解：（1）2(2x1)2=(12x)移項(xiàng)，得

9、2(2x1)2(12x)=0，即：2(2x1)2+(2x1)=0，因式分解，得（2x-1）2(2x-1)+1=0，整理，得(2x-1)(4x-1)=0，解得x1=，x2=；（2）4(y2)2=(y3)2移項(xiàng)，得4(y2)2-(y3)2=0因式分解，得2（y+2）+(y-3)2(y+2)-(y-3)=0整理，得(3y+1)(y+7)=0解得y1=，y2=7.練1【解析】首先利用完全平方公式以及平方差公式分解因式，進(jìn)而解方程得出即可；解：x26x+9=（52x）2，（x3）2（52x）2=0，因式分解得：（x3+52x）（x35+2x）=0，整理得：（2x）（3x8）=0，解得：x1=2，x2=.

10、點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了因式分解法解一元二次方程，正確分解因式是解題關(guān)鍵【例2】【解析】先設(shè)2x+5=y，則方程即可變形為y24y+3=0，解方程即可求得y（即2x+5）的值，進(jìn)一步可求出x的值解：設(shè)x1=y，則原方程可化為y24y+3=0，所以（y1）（y3）=0解得y1=1，y2=3當(dāng)y=1時(shí)，即2x+5=1，解得x=2；當(dāng)y=3時(shí)，即2x+5=3，解得x=1，所以原方程的解為：x1=2，x2=1點(diǎn)評(píng)：本題運(yùn)用換元法解一元二次方程 練2【解析】設(shè)a+b=x，則原方程轉(zhuǎn)化為關(guān)于x的一元二次方程，通過(guò)解該一元二次方程來(lái)求x（即a+b）的值解：設(shè)a+b=x，則由原方程，得4x（4x2）8=0，整理，

11、得（2x+1）（x1）=0，解得x1=，x2=1則a+b的值是或1故答案是：或1點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了換元法，即把某個(gè)式子看作一個(gè)整體，用一個(gè)字母去代替它，實(shí)行等量替換練3 【解析】設(shè)x2-3=y，則原方程轉(zhuǎn)化為關(guān)于y的一元二次方程，通過(guò)解該一元二次方程來(lái)求y（即x2-3）的值解：設(shè)x2-3=y，則原方程可化為y2-5(-y)+4=0，即：y2+5y+4=0，因式分解得：（y+1）(y+4)=0,解得y1=-1，y2=-4.當(dāng)y1=-1時(shí)，x2-3=-1，即x2=2，解得.當(dāng)y2=-4時(shí)，x2-3=-4，即x2-3=-1，方程無(wú)實(shí)數(shù)根.綜上，.【例3】【解析】（1）利用配方法得到（x）2=，然后

12、根據(jù)直接開(kāi)平方法求解；（2）先變形得到3（x2）2x（x2）=0，然后利用因式分解法解方程；（3）先計(jì)算判別式的值，然后利用求根公式法求解；（4）先變形得到（y+2）2（3y1）2=0，然后利用因式分解法解方程解：（1）x25x=1，x25x+（）2=1+（）2，（x）2=，x=，所以x1=，x2=；（2）3（x2）2x（x2）=0，（x2）（3x6x）=0，所以x1=2，x2=3；（3）=（2）242（5）=48x=，所以x1=，x2=；（4）（y+2）2（3y1）2=0，（y+2+3y1）（y+23y+1）=0，y+2+3y1=0或y+23y+1=0，所以y1=，y2=點(diǎn)評(píng)：本題考查了一元

13、二次方程的四種常見(jiàn)解法練4【解析】（1）根據(jù)因式分解法，可得方程的解；（2）根據(jù)公式法，可得方程的解；（3）根據(jù)因式分解法，可得方程的解；（4）根據(jù)公式法，可得方程的解解：（1）因式分解，得（x1）（x6）=0，解得x1=6，x2=1；（2）a=3，b=4，c=1，x1=，x2=；（3）方程化簡(jiǎn)得x2+2x3=0，因式分解，得（x+3）（x1）=0，解得x1=1，x2=3；（4）a=1，b=2，c=1，x1=1+，x2=1+點(diǎn)評(píng)：本題考查了解一元二次方程，根據(jù)方程的特點(diǎn)選擇適當(dāng)?shù)姆椒ㄊ墙忸}關(guān)鍵課后小測(cè)答案：一、選擇題1【解析】先移項(xiàng)，再分解因式，即可得出選項(xiàng)解：x22x=3，x22x3=0，（

14、x3）（x+1）=0，故選A點(diǎn)評(píng)：本題考查了解一元二次方程的應(yīng)用，解此題的關(guān)鍵是能正確分解因式，題目比較好，難度不是很大2.【解析】先移項(xiàng)，再分解因式，即可求得5x(x+3)=3(x+3)的解.解：5x(x+3)=3(x+3)，移項(xiàng)，得5x(x+3)-3(x+3)=0，分解因式，得（5x-3）（x+3）=0，解得故選D.點(diǎn)評(píng)：注意本題不能兩邊約去（x+3），這樣會(huì)失去一個(gè)解.3.【解析】先移項(xiàng)，再利用十字相乘法分解因式；或者方程兩邊同時(shí)加1，左邊配成完全平方式.解：方法一：x2-2x=3,移項(xiàng)，得x2-2x-3=0,因式分解，得（x-3）(x+1)=0,方法二：x2-2x+1=3+1,即：（x

15、-1）2=4,移項(xiàng)，得（x-1）2-4=0.故選A.點(diǎn)評(píng)：本題考查了解一元二次方程因式分解法.二、填空題4【解析】把方程左邊分解，則原方程可化為x1=0或x+3=0解：（x1）（x+3）=0，x1=0或x+3=0故答案為x1=0或x+3=0點(diǎn)評(píng)：本題考查了解一元二次方程因式分解法：先把方程的右邊化為0，再把左邊通過(guò)因式分解化為兩個(gè)一次因式的積的形式，那么這兩個(gè)因式的值就都有可能為0，這就能得到兩個(gè)一元一次方程的解，這樣也就把原方程進(jìn)行了降次，把解一元二次方程轉(zhuǎn)化為解一元一次方程的問(wèn)題了（數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想）5【解析】移項(xiàng)后分解因式得到（x+1）（x2）=0，推出方程x+1=0，x2=0，求出方程的解

16、即可解：x（x+1）=2（x+1），移項(xiàng)得：x（x+1）2（x+1）=0，即（x+1）（x2）=0，x+1=0，x2=0，解方程得：x1=2，x2=1，故答案為：x1=2，x2=1點(diǎn)評(píng)：本題主要考查對(duì)解一元二次方程因式分解法，解一元一次方程，等式的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)的理解和掌握，能把一元二次方程轉(zhuǎn)化成一元一次方程是解此題的關(guān)鍵6【解析】令x2+y2=t，將原方程化為（t+1）（t+2）=6，解出t，再求得x即可解：令x2+y2=t，將原方程化為（t+1）（t+2）=6，即（t1）（t+4）=0，解得t1=1，t2=4，t0，t=1，x2+y2=1，故答案為1點(diǎn)評(píng)：本題考查了用換元法解一元二次方程，注

17、意題目中的整體是x2+y2三、解答題7【解析】（1）先分解因式，即可得出一元一次方程，求出方程的解即可；（2）移項(xiàng)，配方，開(kāi)方，即可得出兩個(gè)一元一次方程，求出方程的解即可；（3）先分解因式，即可得出兩個(gè)一元一次方程，求出方程的解即可解：（1）x22x+1=0，因式分解，得（x1）2=0，解得x1=0，即x1=x2=1；（2）x22x2=0，移項(xiàng)，得x22x=2，配方，得x22x+1=2+1，即：（x1）2=3，解得x1=，即x1=1+，x2=1；（3）（x3）2+2（x3）=0，因式分解，得（x3）（x3+2）=0，即x3=0，x3+2=0，解得x1=3，x2=1點(diǎn)評(píng)：本題考查了解一元二次方程

18、的應(yīng)用，能選擇適當(dāng)?shù)姆椒ń庖辉畏匠淌墙獯祟}的關(guān)鍵，此題是一道中檔題目，難度適中8【解析】（1）方程利用配方法求出解即可；（2）原式利用因式分解法求出解即可；（3）將方程變形后，設(shè)y=x，得到關(guān)于y的一元二次方程，求出方程的解得到y(tǒng)的值，可列出關(guān)于x的一元一次方程，分別求出一次方程的解即可得到原方程的解解：（1）方程變形得：x24x=3，配方得：x24x+4=7，即（x2）2=7，開(kāi)方得：x2=，解得：x1=2+，x2=2；（2）方程變形得：（x2）23（x2）=0，分解因式得：（x2）（x23）=0，解得：x1=2，x2=5；（3）2（x）2（x）1=0，變形得：2（x）2（x）1=0，設(shè)y=x，則原方程可化為2y2y1=0，因式分解得：（2y+1）（y1）=0，解得：y=或y=1，當(dāng)y=時(shí)，x=，解得：x=0；當(dāng)y=1時(shí)，x=1，解得：x=，x1=，x2=0點(diǎn)評(píng)：此題考查了解一元二次方程因式分解法、配方法、換元法等，熟練掌握解一元二次的方法是解本題的關(guān)鍵9【解析】設(shè)x2x=y，原方程可化為y25y+6=0，解得y的值，再代入求得x即可解：設(shè)x2x=y，則（x2x）2=y2，那么原方程可化為y25y+6=0，解得y1=2，y2=3當(dāng)y=2時(shí)，x2x=2，x1=2，x