平行四邊形動(dòng)點(diǎn)及存在性問題

1、 中 國 教 育 培 訓(xùn) 領(lǐng) 軍 品 牌環(huán)球雅思學(xué)科教師輔導(dǎo)講義 組長簽字： 學(xué)員編號(hào)： 年 級(jí)：八年級(jí) 課時(shí)數(shù)：3學(xué)員姓名： 輔導(dǎo)科目： 數(shù)學(xué) 學(xué)科教師： 趙文娜授課日期及時(shí)段教學(xué)目標(biāo)重點(diǎn)難點(diǎn)教學(xué)內(nèi)容平行四邊形動(dòng)點(diǎn)及存在性問題【例1】正方形ABCD的邊長為8，M在DC上，且DM2，N是AC上的一動(dòng)點(diǎn)，DNMN的最小值為 。 【練習(xí)1】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形OACB的頂點(diǎn)O在坐標(biāo)原點(diǎn)，頂點(diǎn)A、B分別在x軸、y軸的正半軸上，OA=3，OB=4，D為邊OB的中點(diǎn). （1）若E為邊OA上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)CDE的周長最小時(shí)，求點(diǎn)E的坐標(biāo)； （2）若E、F為邊OA上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，

2、且EF=2，當(dāng)四邊形CDEF的周長最小時(shí)，求點(diǎn)E、F的坐標(biāo). 【例3】 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中,矩形OABC的頂點(diǎn)A、C的坐標(biāo)分別為（10，0），（0，4）,點(diǎn)D是OA的中點(diǎn),點(diǎn)P在BC上運(yùn)動(dòng),當(dāng)三角形ODP是腰長為5的等腰三角形時(shí)，P的坐標(biāo)為 ； 【練習(xí)2】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，ABOC，A（0，12），B（a，c），C（b，0），并且a，b滿足一動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，在線段AB上以每秒2個(gè)單位長度的速度向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)；動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)O出發(fā)在線段OC上以每秒1個(gè)單位長度的速度向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P、Q分別從點(diǎn)A、O同時(shí)出發(fā)，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B時(shí)，點(diǎn)Q隨之停止運(yùn)動(dòng)設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（秒）（1）求B、C

3、兩點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）當(dāng)t為何值時(shí)，四邊形PQCB是平行四邊形？并求出此時(shí)P、Q兩點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）當(dāng)t為何值時(shí)，PQC是以PQ為腰的等腰三角形？并求出P、Q兩點(diǎn)的坐標(biāo) 【例4】（1）如圖，矩形ONEF的對(duì)角線相交于點(diǎn)M，ON、OF分別在x軸和y軸上，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)E的坐標(biāo)為（4，3），則點(diǎn)M的坐標(biāo)為 ；（2）在直角坐標(biāo)系中，有A（-1，2），B（3，1），C（1，4）三點(diǎn)，另有一點(diǎn)D與點(diǎn)A、B、C構(gòu)成平行四邊形的頂點(diǎn)，求點(diǎn)D的坐標(biāo) 【練習(xí)3】如圖，四邊形ABCD為矩形，C點(diǎn)在x軸上，A點(diǎn)在y軸上，D點(diǎn)坐標(biāo)是（0，0），B點(diǎn)坐標(biāo)是（3，4），矩形ABCD沿直線EF折疊，點(diǎn)A落在BC邊上的G處，E、

4、F分別在AD、AB上，且F點(diǎn)的坐標(biāo)是（2，4）（1）求G點(diǎn)坐標(biāo)；（2）求直線EF解析式；（3）點(diǎn)N在x軸上，直線EF上是否存在點(diǎn)M，使以M、N、F、G為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，請(qǐng)直接寫出M點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由【例5】在RtABC中，B=90°，AC=60cm，A=60°，點(diǎn)D從點(diǎn)C出發(fā)沿CA方向以4cm/s的速度向點(diǎn)A勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)E從點(diǎn)A出發(fā)沿AB方向以2cm/s的速度運(yùn)動(dòng)，當(dāng)其中一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)設(shè)點(diǎn)D，E運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是ts（0<t15）過點(diǎn)D作DFBC于點(diǎn)F，連接DE，EF（1）求證：AE=DF；（2）四邊形AEFD能夠

5、成為菱形嗎？如果能，求出相應(yīng)的t值；如果不能，請(qǐng)說明理由；（3）當(dāng)t為何值時(shí)，DEF為直角三角形？請(qǐng)說明理由【練習(xí)4】如圖，等腰三角形OAB的一邊OB在x軸的正半軸上，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（6，8），OA=OB，動(dòng)點(diǎn)P從原點(diǎn)O出發(fā)，在線段OB上以每秒2個(gè)單位的速度向點(diǎn)B勻速運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)Q從原點(diǎn)O出發(fā)，沿y軸的正半軸以每秒1個(gè)單位的速度向上勻速運(yùn)動(dòng)，過點(diǎn)Q作x軸的平行線分別交OA，AB于E，F(xiàn)，設(shè)動(dòng)點(diǎn)P，Q同時(shí)出發(fā)，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)B時(shí)，點(diǎn)Q也停止運(yùn)動(dòng)，他們運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒（）（1）點(diǎn)E的坐標(biāo)為 ，F(xiàn)的坐標(biāo)為 ；（2）當(dāng)t為何值時(shí)，四邊形POFE是平行四邊形；（3）是否存在某一時(shí)刻，使PEF為直角三角形？若存在

6、，請(qǐng)求出此時(shí)t的值；若不存在，請(qǐng)說明理由【鞏固練習(xí)】1、菱形ABCD中，AB=2， BAD=60°，點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，P是對(duì)角線AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則PE+PB的最小值為 。 第1題圖 第2題圖 第3題圖 第4題圖 2、如圖,在RtABC中，ACB=90°，A=30°，AC=，BC的中點(diǎn)為D,將ABC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)任意一個(gè)角度得到FEC，EF的中點(diǎn)為G，連接DG，在旋轉(zhuǎn)過程中，DG的最大值是_；最小值是_ 3、已知ABC是等腰直角三角形，BAC=90°，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)作正方形DEFG，連接AE，BG，若BC=DE=4，將正方形DEFG繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)，當(dāng)AE

7、取最小值時(shí)，AF= 4、在三角形紙片ABC中，已知ABC=90°，AB=6，BC=8。過點(diǎn)A作直線平行于BC，折疊三角形紙片ABC，使直角頂點(diǎn)B落在直線上的T處，折痕為MN當(dāng)點(diǎn)T在直線上移動(dòng)時(shí)，折痕的端點(diǎn)M、N也隨之移動(dòng)若限定端點(diǎn)M、N分別在AB、BC邊上移動(dòng)，則線段AT長度的最大值與最小值之和為_.5、如圖，在梯形ABCD中，ADBC，B=90°，AD=16cm，AB=12cm，BC=21cm，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，沿射線BC的方向以每秒2cm的速度運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)返回，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)A出發(fā)，在線段AD上以每秒1cm的速度向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P，Q分別從點(diǎn)B，A同時(shí)出發(fā)，當(dāng)點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)D時(shí)，

8、點(diǎn)P隨之停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t（秒）（1）當(dāng)t為何值時(shí)，四邊形PQDC是平行四邊形；（2）當(dāng)t為何值時(shí)，以C，D，Q，P為頂點(diǎn)的梯形面積等于60cm²？（3）是否存在點(diǎn)P，使PQD是等腰三角形？若存在，請(qǐng)求出所有滿足要求的t的值；若不存在，請(qǐng)說明理由6、如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A、B分別在x軸、y軸上，線段OA、OB的長(0A<OB)是方程組的解，點(diǎn)C是直線與直線AB的交點(diǎn)，點(diǎn)D在線段OC上，OD=。(1)求直線AB的解析式及點(diǎn)C的坐標(biāo)；(2)求直線AD的解析式；(3)P是直線AD上的點(diǎn)，在平面內(nèi)是否存在點(diǎn)Q，使以0、A、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形是菱形?若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)

9、Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由動(dòng)點(diǎn)問題題型 圖D-01如圖D-01，四邊形ABCD中，ADCB，且AD>BD，BC=6cm，動(dòng)點(diǎn)P、Q分別從A、C同時(shí)出發(fā)，P以1cm/s的速度由A向D運(yùn)動(dòng)，Q以2cm/s的速度由C向B運(yùn)動(dòng)，幾秒后四邊形ABQP是平行四邊形？ 如圖D-02，在ABC中，點(diǎn)O是AC邊上一動(dòng)點(diǎn)，過O作直線MNBC，設(shè)MN交ACB的平分線于E，交ACB的外角平分線于F， 求證：OE=OF 當(dāng)點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到何處時(shí)，四邊形AECF是矩形？證明你的結(jié)論提示 易證1=2=3，得OE=OC 同理OF=OC，得證OE=OF如圖D-03，矩形ABCD中，AB=12cm，BC=6cm，點(diǎn)P沿AB邊

10、從點(diǎn)A向B以2cm/s的速度移動(dòng)；點(diǎn)Q沿DA邊從點(diǎn)D向A以1cm/s的速度移動(dòng)；如果P、Q同時(shí)出發(fā)，t(s)表示移動(dòng)時(shí)間（0<t<6），那么： 當(dāng)t為何值時(shí)，QAP為等腰直角三角形？ 求四邊形QAPC的面積，并提出一個(gè)與計(jì)算結(jié)果有關(guān)的結(jié)論 圖D-03 4.如圖，在菱形ABCD中，AB=2，DAB=60°，點(diǎn)E是AD邊的中點(diǎn)點(diǎn)M是AB邊上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A重合），延長ME交射線CD于點(diǎn)N，連接MD、AN（1）求證：四邊形AMDN是平行四邊形；（2）填空： 當(dāng)AM的值為_時(shí)，四邊形AMDN是矩形； 當(dāng)AM的值為_時(shí)，四邊形AMDN是菱形 5.如圖，ABC中，點(diǎn)O是邊AC上一個(gè)動(dòng)

11、點(diǎn)，過O作直線MNBC，設(shè)MN交BCA的平分線于點(diǎn)E，交BCA的外角平分線于點(diǎn)F（1）探究：線段OE與OF的數(shù)量關(guān)系并加以證明；（2）當(dāng)點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到何處，且ABC滿足什么條件時(shí)，四邊形AECF是正方形？（3）當(dāng)點(diǎn)O在邊AC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，四邊形BCFE會(huì)是菱形嗎？若是，請(qǐng)證明，若不是，則說明理由6. 如圖，已知菱形ABCD中，ABC=60°，AB=8，過線段BD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)P（不與B、D重合）分別向直線AB、AD作垂線，垂足分別為E、F（1）BD的長是_；（2）連接PC，當(dāng)PE+PF+PC取得最小值時(shí)，此時(shí)PB的長是_7.如圖，矩形ABCD中，點(diǎn)P是線段AD上一動(dòng)點(diǎn)，O為BD的中點(diǎn)，PO的延

12、長線交BC于Q。（1）求證：OP=OQ； （2）若AD=8厘米，AB=6厘米，P從點(diǎn)A出發(fā)，以1厘米/秒的速度向D運(yùn)動(dòng)（不與D重合）。設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，請(qǐng)用t表示PD的長；并求t為何值時(shí)，四邊形PBQD是菱形。 8.如圖，已知矩形ABCD，AD=4，CD=10，P是AB上一動(dòng)點(diǎn)，M、N、E分別是PD、PC、CD的中點(diǎn)（1）求證：四邊形PMEN是平行四邊形；（2）請(qǐng)直接寫出當(dāng)AP為何值時(shí)，四邊形PMEN是菱形；（3）四邊形PMEN有可能是矩形嗎？若有可能，求出AP的長；若不可能，請(qǐng)說明理由 9. 已知：如圖，在ABCD 中，E、F分別為邊AB、CD的中點(diǎn)，BD是對(duì)角線，AGDB交C

13、B的延長線于G。（1）求證：ADECBF；（2）若四邊形BEDF是菱形，則四邊形AGBD是什么特殊四邊形？并證明你的結(jié)論。10.如圖，在平行四邊形ABCD中，對(duì)角線BD=12cm，AC=16cm，AC，BD相交于點(diǎn)O，若E，F(xiàn)是AC上兩動(dòng)點(diǎn)，分別從A，C兩點(diǎn)以相同的速度向C、A運(yùn)動(dòng)，其速度為0.5cms。（1） 當(dāng)E與F不重合時(shí)，四邊形DEBF是平行四邊形嗎？說明理由；（2）點(diǎn) E，F(xiàn)在AC上運(yùn)動(dòng)過程中，以D、E、B、F為頂點(diǎn)的四邊形是否可能為矩形？如能，求出此時(shí)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間t的值，如不能，請(qǐng)說明理由。11. 如圖，平行四邊形ABCD中，ABAC，AB=1，BC=，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，將

14、直線AC繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，分別交BC，AD于點(diǎn)E，F(xiàn) （1）證明：當(dāng)旋轉(zhuǎn)角為90°時(shí)，四邊形ABEF是平行四邊形；（2）試說明在旋轉(zhuǎn)過程中，線段AF與EC總保持相等；（3）在旋轉(zhuǎn)過程中，四邊形BEDF可能是菱形嗎？如果不能，請(qǐng)說明理由；如果能，說明理由并求出此時(shí)AC繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)的度數(shù)12.如圖，在ABC中，ACB=90°，BC的垂直平分線DE交BC于D，交AB于E，F(xiàn)在DE上，且AF=CE=AE （1）說明四邊形ACEF是平行四邊形；（2）當(dāng)B滿足什么條件時(shí)，四邊形ACEF是菱形，并說明理由。 13.如圖，在菱形ABCD中，P是AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與A、B重合），連接DP交對(duì)角線AC于E連接BE（1）證明：APD=CBE；（2）若DAB=60