應(yīng)用題——線性規(guī)劃

1、線性規(guī)劃例1.（2007山東）本公司計劃2008年在甲、乙兩個電視臺做總時間不超過300分鐘的廣告，廣告總費用不超過9萬元，甲、乙電視臺的廣告收費標準分別為元/分鐘和200元/分鐘，規(guī)定甲、乙兩個電視臺為該公司所做的每分鐘廣告，能給公司事來的收益分別為0.3萬元和0.2萬元問該公司如何分配在甲、乙兩個電視臺的廣告時間，才能使公司的收益最大，最大收益是多少萬元？變式1：（2012四川）某公司生產(chǎn)甲、乙兩種桶裝產(chǎn)品.已知生產(chǎn)甲產(chǎn)品1桶需耗原料1千克、原料2千克;生產(chǎn)乙產(chǎn)品1桶需耗原料2千克,原料1千克.每桶甲產(chǎn)品的利潤是300元,每桶乙產(chǎn)品的利潤是400元.公司在生產(chǎn)這兩種產(chǎn)品的計劃中,要求每天消

2、耗、原料都不超過12千克.通過合理安排生產(chǎn)計劃,從每天生產(chǎn)的甲、乙兩種產(chǎn)品中,公司共可獲得的最大利潤是（）A1800元B2400元C2800元D3100元例2. 已知，在處取得極大值，在處取得極小值，且 .（1）證明；（2）求的范圍變式2：方程的兩根滿足，則的范圍是 練習1. （2012年高考（江西理）某農(nóng)戶計劃種植黃瓜和韭菜,種植面積不超過50畝,投入資金不超過54萬元,假設(shè)種植黃瓜和韭菜的產(chǎn)量、成本和售價如下表年產(chǎn)量/畝年種植成本/畝每噸售價黃瓜4噸1.2萬元0.55萬元韭菜6噸0.9萬元0.3萬元為使一年的種植總利潤(總利潤=總銷售收入-總種植成本)最大,那么黃瓜和韭菜的種植面

3、積(單位:畝)分別為（）A50,0B30.0C20,30D0,50 2. （2007四川）某公司有60萬元資金，計劃投資甲、乙兩個項目，按要求對項目甲的投資不小于對項目乙投資的倍，且對每個項目的投資不能低于5萬元，對項目甲每投資1萬元可獲得0.4萬元的利潤，對項目乙每投資1萬元可獲得0.6萬元的利潤，該公司正確提財投資后，在兩個項目上共可獲得的最大利潤為（ ）A.36萬元 B.31.2萬元 C.30.4萬元 D.24萬元3. （2012遼寧）設(shè)變量x,y滿足則的最大值為（）A20B35C45D554. （2012山東）已知變量滿足約束條件,則目標函數(shù)的取值范圍是（）A BCD5. （2012福

4、建）若函數(shù)圖像上存在點滿足約束條件,則實數(shù)的最大值為（）AB1CD26. （2007遼寧）已知變量滿足約束條件則的取值范圍是（ ）A B CD7. 滿足約束條件的目標函數(shù)的最小值是 8. （2012陜西）設(shè)函數(shù),是由軸和曲線及該曲線在點處的切線所圍成的封閉區(qū)域,則在上的最大值為_.9. （2010廣東）某營養(yǎng)師要為某個兒童預(yù)定午餐和晚餐。已知一個單位的午餐含12個單位的碳水化合物6個單位蛋白質(zhì)和6個單位的維生素C；一個單位的晚餐含8個單位的碳水化合物，6個單位的蛋白質(zhì)和10個單位的維生素C.另外，該兒童這兩餐需要的營養(yǎng)中至少含64個單位的碳水化合物，42個單位的蛋白質(zhì)和54個單位的維生素C.

5、如果一個單位的午餐、晚餐的費用分別是2.5元和4元，那么要滿足上述的營養(yǎng)要求，并且花費最少，應(yīng)當為該兒童分別預(yù)定多少個單位的午餐和晚餐？10. 在中， 的對邊分別是，且滿足.（1）求的大?。唬?）設(shè)m，n，且m·n的最大值是5，求的值.ABCDEF11. 如圖，已知平面，平面，為等邊三角形，為的中點.(1) 求證：平面；(2) 求證：平面平面；(3) 求直線和平面所成角的正弦值.12. 已知等差數(shù)列前三項的和為,前三項的積為.()求等差數(shù)列的通項公式;()若,成等比數(shù)列,求數(shù)列的前項和.線性規(guī)劃例1.（2007山東）本公司計劃2008年在甲、乙兩個電視臺做總時間不超過300分鐘的廣告

6、，廣告總費用不超過9萬元，甲、乙電視臺的廣告收費標準分別為元/分鐘和200元/分鐘，規(guī)定甲、乙兩個電視臺為該公司所做的每分鐘廣告，能給公司事來的收益分別為0.3萬元和0.2萬元問該公司如何分配在甲、乙兩個電視臺的廣告時間，才能使公司的收益最大，最大收益是多少萬元？0100200300100200300400500yxlM解：設(shè)公司在甲電視臺和乙電視臺做廣告的時間分別為分鐘和分鐘，總收益為元，由題意得目標函數(shù)為二元一次不等式組等價于作出二元一次不等式組所表示的平面區(qū)域，即可行域 如圖：作直線，即平移直線，從圖中可知，當直線過點時，目標函數(shù)取得最大值聯(lián)立解得點的坐標為（元）答：該公司在甲電視臺做1

7、00分鐘廣告，在乙電視臺，做200分鐘廣告，公司的收益最大，最大收益是70萬元變式1：（2012四川）某公司生產(chǎn)甲、乙兩種桶裝產(chǎn)品.已知生產(chǎn)甲產(chǎn)品1桶需耗原料1千克、原料2千克;生產(chǎn)乙產(chǎn)品1桶需耗原料2千克,原料1千克.每桶甲產(chǎn)品的利潤是300元,每桶乙產(chǎn)品的利潤是400元.公司在生產(chǎn)這兩種產(chǎn)品的計劃中,要求每天消耗、原料都不超過12千克.通過合理安排生產(chǎn)計劃,從每天生產(chǎn)的甲、乙兩種產(chǎn)品中,公司共可獲得的最大利潤是（）A1800元B2400元C2800元D3100元答案C 解析設(shè)公司每天生產(chǎn)甲種產(chǎn)品X桶,乙種產(chǎn)品Y桶,公司共可獲得利潤為Z元/天,則由已知,得 Z=300X+400Y 且 畫可行

8、域如圖所示, 目標函數(shù)Z=300X+400Y可變形為 Y= 這是隨Z變化的一族平行直線 解方程組 即A(4,4) 例2.已知，在處取得極大值，在處取得極小值，且 .（1）證明；（2）求的范圍答案：（2）（2，5）變式2：方程的兩根滿足，則的范圍是 練習：1. （2012年高考（江西理）某農(nóng)戶計劃種植黃瓜和韭菜,種植面積不超過50畝,投入資金不超過54萬元,假設(shè)種植黃瓜和韭菜的產(chǎn)量、成本和售價如下表年產(chǎn)量/畝年種植成本/畝每噸售價黃瓜4噸1.2萬元0.55萬元韭菜6噸0.9萬元0.3萬元為使一年的種植總利潤(總利潤=總銷售收入-總種植成本)最大,那么黃瓜和韭菜的種植面積(單位:畝)分別

9、為（）A50,0B30.0C20,30D0,50 【解析】本題考查線性規(guī)劃知識在實際問題中的應(yīng)用,同時考查了數(shù)學建模的思想方法以及實踐能力.設(shè)黃瓜和韭菜的種植面積分別為x,y畝,總利潤為z萬元,則目標函數(shù)為.線性約束條件為 即作出不等式組表示的可行域,易求得點. 平移直線,可知當直線經(jīng)過點,即時,z取得最大值,且(萬元).故選B. 2. （2007四川）某公司有60萬元資金，計劃投資甲、乙兩個項目，按要求對項目甲的投資不小于對項目乙投資的倍，且對每個項目的投資不能低于5萬元，對項目甲每投資1萬元可獲得0.4萬元的利潤，對項目乙每投資1萬元可獲得0.6萬元的利潤，該公司正確提財投資后，

10、在兩個項目上共可獲得的最大利潤為（ B ）A.36萬元 B.31.2萬元 C.30.4萬元 D.24萬元3. （2012遼寧）設(shè)變量x,y滿足則的最大值為（）A20B35C45D55答案：D4. （2012山東）已知變量滿足約束條件,則目標函數(shù)的取值范圍是（）A BCD【解析】做出不等式所表示的區(qū)域如圖,由得,平移直線,由圖象可知當直線經(jīng)過點時,直線的截距最小,此時最大為,當直線經(jīng)過點時,直線截距最大,此時最小,由,解得,此時,所以的取值范圍是,選A. 5. （2012福建）若函數(shù)圖像上存在點滿足約束條件,則實數(shù)的最大值為（）AB1CD2答案：B6. （2007遼寧）已知變量滿足約束條件則的取

11、值范圍是（A ）A B CDxy1-17. 滿足約束條件的目標函數(shù)的最小值是 8. （2012陜西）設(shè)函數(shù),是由軸和曲線及該曲線在點處的切線所圍成的封閉區(qū)域,則在上的最大值為_.解析:,曲線及該曲線在點處切線方程為,圍成的封閉區(qū)域為三角形,在點處取得最大值2. 【答案】2.9. （2010廣東）某營養(yǎng)師要為某個兒童預(yù)定午餐和晚餐。已知一個單位的午餐含12個單位的碳水化合物6個單位蛋白質(zhì)和6個單位的維生素C；一個單位的晚餐含8個單位的碳水化合物，6個單位的蛋白質(zhì)和10個單位的維生素C.另外，該兒童這兩餐需要的營養(yǎng)中至少含64個單位的碳水化合物，42個單位的蛋白質(zhì)和54個單位的維生素C. 如果一個

12、單位的午餐、晚餐的費用分別是2.5元和4元，那么要滿足上述的營養(yǎng)要求，并且花費最少，應(yīng)當為該兒童分別預(yù)定多少個單位的午餐和晚餐？解：設(shè)該兒童分別預(yù)訂個單位的午餐和晚餐，共花費元，則。 可行域為12 x+8 y 646 x+6 y 426 x+10 y 54x0， xN，y0， yN 即3 x+2 y 16 x+ y 73 x+5 y 27x0， xN y0， yN作出可行域如圖所示： 經(jīng)試驗發(fā)現(xiàn)，當x=4,y=3 時，花費最少，為=2.5×4+4×3=22元10. 在中， 的對邊分別是，且滿足.（1）求的大??；（2）設(shè)m，n，且m·n的最大值是5，求的值.解（1）， ，即. .（2）m·n=，設(shè)則.則m·n=時，m·n取最大值.依題意得，(m·n)=ABCDEF11. 如圖，已知平面，平面，為等邊三角形，為的中點.(1) 求證：平面；(2) 求證：平面平面；(3) 求直線和平面所成角的正弦值.設(shè)，建立如圖所示的坐標系，則.為的中點，.  (1) 證明 ， ，平面，平面.  (2) 證明 ， ，. 平面，又平面，平面平面.  (3) 解 設(shè)平面的法向量為，由可得： ，取. 又，設(shè)和平面所成的