應(yīng)用數(shù)值分析后習(xí)題答案

1、第二章習(xí)題解答1.（1） Rn×n中的子集“上三角陣”和“正交矩陣”對(duì)矩陣乘法是封閉的。（2）Rn×n中的子集“正交矩陣”，“非奇異的對(duì)稱陣”和“單位上（下）三角陣”對(duì)矩陣求逆是封閉的。設(shè)A是×的正交矩陣。證明A-1也是×的正交矩陣。證明：（2）A是×的正交矩陣 A A-1 =A-1A=E 故（A-1）-1=A A-1（A-1）-1=（A-1）-1A-1 =E 故A-1也是×的正交矩陣。設(shè)A是非奇異的對(duì)稱陣，證A-1也是非奇異的對(duì)稱陣。A非奇異 A可逆且A-1非奇異 又AT=A （A-1）T=（AT）-1=A-1 故A-1也是非奇異的

2、對(duì)稱陣設(shè)A是單位上（下）三角陣。證A-1也是單位上（下）三角陣。證明：A是單位上三角陣，故|A|=1，A可逆，即A-1存在，記為（bij）n×n 由A A-1 =E，則 （其中 ji時(shí)，） 故bnn=1, bni=0 (nj) 類似可得，bii=1 (j=1n) bjk=0 (kj) 即A-1是單位上三角陣綜上所述可得。Rn×n中的子集“正交矩陣”，“非奇異的對(duì)稱陣”和“單位上（下）三角陣”對(duì)矩陣求逆是封閉的。2、試求齊次線行方程組Ax=0的基礎(chǔ)解系。 A= 解：A= 故齊次線行方程組Ax=0的基礎(chǔ)解系為，3.求以下矩陣的特征值和特征向量。A1=， A2 解：A1=，|I-

3、 A1|= ， 解（1I- A）x=0 得 解（2I- A）x=0 得4、已知矩陣，求A的行空間及零空間的基。解：5、已知矩陣，試計(jì)算A的譜半徑。解：6、試證明，其中。7、在R4中求向量x=（1，2，1，1）T在基S=（1，2，3，4）下的坐標(biāo)，其中1=（1，1，1，1）T， 2=（1，1，-1，-1）T，3=（1，-1，1，-1）T，4=（1，-1，-1，1）T。解：由x=sy得 y-4=s-1x=8、在中向量，取基，求。9、已知R3中兩組基 S1=1，2，3=，S2=1 ，2 ，3 = 求從S1 到S2的過度矩陣； 設(shè)已知u=（2，1，2）T R3求u在S1 下的坐標(biāo)和u在S2下的坐標(biāo)。解

4、： A= S1-1S2= 對(duì)u=（2，1，2）T 在S1 下，由u=S1x可求出x= S1-1u=在S2下，由u=S2x可求出x= S2-1u=10. 已知A=，求dim(R(A), dim(R(AT), dim(N(A).解：A=dim(R(A)=dim(R(AT)=r(A)=2dim(N(A)=n-r=4-2=211、已知A=span1,ex,e-x,D=是X上的線性變換，求 D關(guān)于基S1=1,2ex,3e-x的矩陣A； D關(guān)于基S2=1,（ex+e-x）/2，（ex-e-x）/2的矩陣B。解：由Dx=S1A,設(shè)A=X（1），X（2），X（3） D（1）=0，0= S1 X（1）=0

5、83;1+0·2 ex+0·3e-x, X（1）=(0,0,0)T D（ex）= ex ,ex= S1 X（2）=0·1+·2 ex+0·3e-x, X（2）=(0, ,0)T D（e-x）= -e-x , -e-x = S1 X（3）=0·1+0·2 ex+·3e-x, X（2）=(0, 0, )T 類似的可得D關(guān)于基S2=1,（ex+e-x）/2，（ex-e-x）/2的矩陣B為12、已知線性變換T：P2（t）P3（t）,定義T為T（P（t）=求線性變換T在基偶（S1=1,t,t2, S2=1,t，t2/2,t3

6、/3）下的矩陣。 解：設(shè)所求矩陣為A，則有T S1 =S2A T（1）= T（t）= T（t2）= 13、設(shè)A Rm×n,定義從Rn到 Rm的變換T為T：xRn y=Ax xRm試證明T是線性變換。證明： ，有 故，由定義知，T是線性變換。14、 已知R3中取基S1=，R2中取基S2=。線性變換T：R3R2 定義為x=（x1 ，x2 ，x3）T R3，Tx=（x2 +x3 ，x1 +x3）T R2.求 T在（S1 ，S2）下的矩陣A； 設(shè)u=（2，-3，2）T R3，u在S1 下的坐標(biāo)和Tu在S2下的坐標(biāo)。解： 由題知，T（S1）= S2A 對(duì)u=（2，-3，2）T在S1 下由可求出

7、在S2下由可求出15、求由向量1=（1，2，1）T與2=（1，-1，2）T張成的R3的子空間X=span1,2的正交補(bǔ) （即所有與X垂直的向量的全體）。 解：令解得 故 =16、 試證明若1，2，t是內(nèi)積空間H中不含零向量的正交向量組，則1，2，t必線性無關(guān)。證明：假設(shè)存在使 兩邊與作內(nèi)積得 又（因 故故1，2，t必線性無關(guān)。17、計(jì)算下列向量的x ，x1和x2 。 x=（3，-4，0，3/2）T x=（2，1，-3，4）T x=（sink,cosk,2k）T k為正整數(shù)。 解：x= x= x= 18、證明：20、21、試計(jì)算，其中m, n是正整數(shù)。22、已知，試計(jì)算，。23、在上，由構(gòu)造帶權(quán)的首1正交多項(xiàng)式，和。解：24、給出點(diǎn)集及權(quán)，試構(gòu)造正交函數(shù)組，和。25、。26、試求矩陣A的三角分解A=LU。 A=對(duì)不選列主元和選列主元兩種情況分別計(jì)算。解：A= 對(duì)選列主元的27、已知向量，試構(gòu)造Gauss變換陣將向量x變?yōu)?。解：?8、已知向量x=（1，2，2）T ，y =（0，3，4）T 。試構(gòu)造Huuseholder陣H使H x為y的倍數(shù)，即H x=ky。給出變換陣H和系數(shù)k。29、對(duì)矩陣A=，用Huuseholder變換將A相似約化為三對(duì)角