圓錐曲線的綜合例題有答案

1、經(jīng)典例題精析類型一：求曲線的標(biāo)準方程1. 求中心在原點,一個焦點為且被直線截得的弦AB的中點橫坐標(biāo)為的橢圓標(biāo)準方程. 思路點撥：先確定橢圓標(biāo)準方程的焦點的位置（定位），選擇相應(yīng)的標(biāo)準方程，再利用待定系數(shù)法確定、（定量）.解析：方法一：因為有焦點為，所以設(shè)橢圓方程為，,由，消去得，所以 解得故橢圓標(biāo)準方程為方法二：設(shè)橢圓方程 ,因為弦AB中點,所以，由得,（點差法）所以 又 故橢圓標(biāo)準方程為.舉一反三：【變式】已知橢圓在x軸上的一個焦點與短軸兩端點連線互相垂直，且該焦點與長軸上較近的端點的距離為.求該橢圓的標(biāo)準方程.【答案】依題意設(shè)橢圓標(biāo)準方程為()， 并有，解之得，, 橢圓標(biāo)準方程為2根據(jù)下列

2、條件，求雙曲線的標(biāo)準方程. （1）與雙曲線有共同的漸近線，且過點；（2）與雙曲線有公共焦點，且過點解析：（1）解法一：設(shè)雙曲線的方程為 由題意，得，解得， 所以雙曲線的方程為 解法二：設(shè)所求雙曲線方程為（）， 將點代入得， 所以雙曲線方程為即（2）解法一：設(shè)雙曲線方程為=1 由題意易求 又雙曲線過點， 又， 故所求雙曲線的方程為. 解法二：設(shè)雙曲線方程為， 將點代入得， 所以雙曲線方程為.總結(jié)升華：先根據(jù)已知條件確定雙曲線標(biāo)準方程的焦點的位置（定位），選擇相應(yīng)的標(biāo)準方程，再利用待定系數(shù)法確定、.在第（1）小題中首先設(shè)出共漸近線的雙曲線系方程.然后代點坐標(biāo)求得方法簡便.第（2）小題實軸、虛軸沒有

3、唯一給出.故應(yīng)答兩個標(biāo)準方程.(1)求雙曲線的方程，關(guān)鍵是求、，在解題過程中應(yīng)熟悉各元素（、及準線）之間的 關(guān)系，并注意方程思想的應(yīng)用.(2)若已知雙曲線的漸近線方程，可設(shè)雙曲線方程為（）.舉一反三：【變式】求中心在原點，對稱軸在坐標(biāo)軸上且分別滿足下列條件的雙曲線的標(biāo)準方程.（1）一漸近線方程為，且雙曲線過點.（2）虛軸長與實軸長的比為，焦距為10.【答案】（1）依題意知雙曲線兩漸近線的方程是,故設(shè)雙曲線方程為， 點在雙曲線上， ，解得， 所求雙曲線方程為.（2）由已知設(shè), ,則() 依題意，解得. 雙曲線方程為或.3求滿足下列條件的拋物線的標(biāo)準方程，并求對應(yīng)拋物線的準線方程： （1）過點；

4、（2）焦點在直線：上思路點撥：從方程形式看，求拋物線的標(biāo)準方程僅需確定一次項系數(shù)；從實際分析，一般需結(jié)合圖形確定開口方向和一次項系數(shù)兩個條件，否則，應(yīng)展開相應(yīng)的討論解析：（1）點在第二象限，拋物線開口方向上或者向左 當(dāng)拋物線開口方向左時， 設(shè)所求的拋物線方程為（）， 過點， ， 當(dāng)拋物線開口方向上時， 設(shè)所求的拋物線方程為（）， 過點， ， 所求的拋物線的方程為或， 對應(yīng)的準線方程分別是，.（2）令得，令得， 拋物線的焦點為或 當(dāng)焦點為時， 此時拋物線方程； 焦點為時， 此時拋物線方程為 所求的拋物線的方程為或， 對應(yīng)的準線方程分別是，.總結(jié)升華：這里易犯的錯誤就是缺少對開口方向的討論，先入為

5、主，設(shè)定一種形式的標(biāo)準方程后求解，以致失去一解.求拋物線的標(biāo)準方程關(guān)鍵是根據(jù)圖象確定拋物線開口方向，選擇適當(dāng)?shù)姆匠绦问剑瑴蚀_求出焦參數(shù)P.舉一反三：【變式1】分別求滿足下列條件的拋物線的標(biāo)準方程.（1）焦點為F(4,0)；（2）準線為 ；（3）焦點到原點的距離為1；（4）過點（1，2）；（5）焦點在直線x-3y+6=0上.【答案】（1）所求拋物線的方程為y2=16x；（2）所求拋物線的標(biāo)準方程為x2=2y；（3）所求拋物線的方程y2=±4x或x2=±4y；（4）所求拋物線的方程為或；（5）所求拋物線的標(biāo)準方程為y2=24x或x2=8y.【變式2】已知拋物線的頂點在原點，焦點

6、在軸負半軸上，過頂點且傾角為的弦長為，求拋物線的方程.【答案】設(shè)拋物線方程為()，又弦所在直線方程為 由，解得兩交點坐標(biāo), ，解得. 拋物線方程為.類型二：圓錐曲線的焦點三角形4已知、是橢圓（）的兩焦點，P是橢圓上一點，且，求的面積. 思路點撥：如圖求的面積應(yīng)利用，即.關(guān)鍵是求.由橢圓第一定義有,由余弦定理有，易求之.解析：設(shè), 依題意有(1)2-(2)得，即.舉一反三：【變式1】設(shè)為雙曲線上的一點，是該雙曲線的兩個焦點，若，則的面積為（ ）A B C D【答案】依據(jù)雙曲線的定義有， 由得、， 又，則，即， 所以，故選A.【變式2】已知雙曲線實軸長6，過左焦點的弦交左半支于、兩點，且，設(shè)右焦點

7、，求的周長.【答案】：由雙曲線的定義有: ， 兩式左、右分別相加 得(. 即 . 故的周長.【變式3】已知橢圓的焦點是,直線是橢圓的一條準線. 求橢圓的方程； 設(shè)點P在橢圓上,且,求.【答案】 . 設(shè)則 ，又 .【變式4】已知雙曲線的方程是.（1）求這雙曲線的焦點坐標(biāo)、離心率和漸近線方程；（2）設(shè)和是雙曲線的左、右焦點，點在雙曲線上，且，求的大小【答案】（1）由得， ，.焦點、，離心率，漸近線方程為.（2）， 【變式5】中心在原點，焦點在x軸上的一個橢圓與雙曲線有共同焦點和，且，又橢圓長半軸與雙曲線實半軸之差為4，離心率之比.（1）求橢圓與雙曲線的方程；（2）若為這兩曲線的一個交點，求的余弦值

8、.【答案】（1）設(shè)橢圓方程為()，雙曲線方程， 則，解得 , , . 故所求橢圓方程為，雙曲線方程為.（2）由對稱性不妨設(shè)交點在第一象限.設(shè)、. 由橢圓、雙曲線的定義有: 解得 由余弦定理有.類型三：離心率5已知橢圓上的點和左焦點，橢圓的右頂點和上頂點，當(dāng)，（O為橢圓中心）時，求橢圓的離心率. 思路點撥：因為，所以本題應(yīng)建立、的齊次方程，使問題得以解決.解析：設(shè)橢圓方程為（），則，即.，即，.又，.總結(jié)升華：求橢圓的離心率，即求的比值，則可由如下方法求.（1）可直接求出、；（2）在不好直接求出、的情況下，找到一個關(guān)于、的齊次等式或、用同一個量表示；（3）若求的取值范圍，則想辦法找不等關(guān)系.舉一

9、反三：【變式1】如圖，和分別是雙曲線的兩個焦點，和是以為圓心，以為半徑的圓與該雙曲線左支的兩個交點，且是等邊三角形，則雙曲線的離心率為（ ）A B C D 【答案】連接，則是直角三角形，且，令，則，即，所以，故選D.【變式2】已知橢圓（）與x軸正半軸交于A點，與y軸正半軸交于B點，F(xiàn)點是左焦點，且，求橢圓的離心率.法一：, ,又,，代入上式，得，利用代入，消得,即由，解得, ,.法二：在ABF中，即下略）【變式3】如圖，橢圓的中心在原點, 焦點在x軸上, 過其右焦點F作斜率為1的直線, 交橢圓于A、B兩點, 若橢圓上存在一點C, 使. 求橢圓的離心率.【答案】設(shè)橢圓的方程為（），焦距為, 則直

10、線l的方程為:,由，消去得, 設(shè)點、,則, C點坐標(biāo)為.C點在橢圓上,. 又 【變式4】設(shè)、為橢圓的兩個焦點，點是以為直徑的圓與橢圓的交點，若，則橢圓離心率為_.【答案】如圖，點滿足，且.在中，有：， ,令此橢圓方程為則由橢圓的定義有 , 又 ， ，即.6已知、為橢圓的兩個焦點，為此橢圓上一點，且.求此橢圓離心率的取值范圍；解析：如圖，令, ,則在中，由正弦定理 ，令此橢圓方程為 (),則, 即 （）， , ,且為三角形內(nèi)角， , , .即此橢圓離心率的取值范圍為.舉一反三：【變式1】已知橢圓，F(xiàn)1，F(xiàn)2是兩個焦點，若橢圓上存在一點P，使，求其離心率的取值范圍.【答案】F1PF2中，已知，|F

11、1F2|=2c，|PF1|+|PF2|=2a，由余弦定理：4c2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|PF2|cos120°又|PF1|+|PF2|=2a 聯(lián)立 得4c2=4a2-|PF1|PF2|，【變式2】橢圓的焦點為，兩條準線與軸的交點分別為，若，則該橢圓離心率的取值范圍是（） 【答案】由得，即，解得，故離心率.所以選D.【變式3】橢圓中心在坐標(biāo)系原點，焦點在x軸上，過橢圓左焦點F的直線交橢圓P、Q兩點，且OPOQ，求其離心率e的取值范圍【答案】 e,1)【變式4】雙曲線 (a1,b0)的焦距為2c,直線過點(a,0)和(0,b),且點(1,0)到直線的距離與點(-1,0)

12、到直線的距離之和sc求雙曲線的離心率e的取值范圍【答案】直線的方程為bx+ay-ab=0由點到直線的距離公式,且a1,得到點(1,0)到直線的距離同理得到點(-1,0)到直線的距離=由sc,得c,即5a2c2于是得52e2即4e4-25e2+250解不等式,得e25由于e1,所以e的取值范圍是類型五：軌跡方程7已知中，,為動點，若、邊上兩中線長的和為定值15.求動點的軌跡方程. 思路點撥：充分利用定義直接寫出方程是求軌跡的直接法之一.應(yīng)給以重視解法一：設(shè)動點,且, 則、邊上兩中點、的坐標(biāo)分別為,. , , 即. 從上式知，動點到兩定點,的距離之和為常數(shù)30， 故動點的軌跡是以,為焦點且,的橢圓

13、， 挖去點. 動點的軌跡方程是 ().解法二：設(shè)的重心 ，,動點,且， 則. 點的軌跡是以,為焦點的橢圓（挖去點）， 且,. 其方程為(). 又, 代入上式，得()為所求.總結(jié)升華：求動點的軌跡，首先要分析形成軌跡的點和已知條件的內(nèi)在聯(lián)系，選擇最便于反映這種聯(lián)系的坐標(biāo)形式，建立等式，利用直接法或間接法得到軌跡方程.舉一反三：【變式1】求過定點且和圓:相切的動圓圓心的軌跡方程.【答案】設(shè)動圓圓心, 動圓半徑為,.（1）動圓與圓外切時，（2） 動圓與圓內(nèi)切時，由（1）、（2）有. 動圓圓心M的軌跡是以、為焦點的雙曲線，且,.故動圓圓心的軌跡方程為.【變式3】已知圓的圓心為M1，圓的圓心為M2，一動圓與這兩個圓外切，求動圓圓心P的軌跡方程.【答案】設(shè)動圓圓心P（x，y），動圓的半徑為R，由兩圓外切的