平面向量 習題

1、平面向量一、向量的有關概念1.向量:既有大小又有方向的量叫做向量.向量的大小叫向量的模(也就是用來表示向量的有向線段的長度).2.向量的表示方法:字母表示法:如等.幾何表示法:用一條有向線段表示向量.如,等.坐標表示法:在平面直角坐標系中,設向量的起點O為在坐標原點,終點A坐標為,則稱為 的坐標,記為=.3.相等向量:長度相等且方向相同的向量.向量可以自由平移,平移前后的向量相等.兩向量與相等,記為.注:向量不能比較大小,因為方向沒有大小.4.零向量:長度為零的向量叫零向量.零向量只有一個,其方向是任意的.5.單位向量:長度等于1個單位的向量.單位向量有無數(shù)個,每一個方向都有一個單位向量.6.

2、共線向量:方向相同或相反的非零向量,叫共線向量.任一組共線向量都可以移到同一直線上.規(guī)定:與任一向量共線.注:共線向量又稱為平行向量.7.相反向量: 長度相等且方向相反的向量.二、向量的運算(一)運算定義向量的加減法，實數(shù)與向量的乘積，兩個向量的數(shù)量積,這些運算的定義都是 “自然的”，它們都有明顯的物理學的意義及幾何意義. 其中向量的加減法運算結果仍是向量，兩個向量數(shù)量積運算結果是數(shù)量。研究這些運算,發(fā)現(xiàn)它們有很好地運算性質,這些運算性質為我們用向量研究問題奠定了基礎,向量確實是一個好工具.特別是向量可以用坐標表示,且可以用坐標來運算,向量運算問題可以完全坐標化. 刻劃每一種運算都可以有三種表

3、現(xiàn)形式：圖形、符號、坐標語言。主要內容列表如下：運 算圖形語言符號語言坐標語言加法與減法+=記=(x1,y1),=(x1,y2)則=(x1+x2,y1+y2)=（x2-x1,y2-y1）+=實數(shù)與向量的乘積=R記=(x,y)則=(x,y)兩個向量的數(shù)量積記則·=x1x2+y1y2(二)運算律加法：(交換律); (結合律)實數(shù)與向量的乘積：; ;兩個向量的數(shù)量積: ·=· ()·=·()=(·);(+)·=·+·注：根據(jù)向量運算律可知，兩個向量之間的線性運算滿足實數(shù)多項式乘積的運算法則，正確遷移實數(shù)的運算性

4、質可以簡化向量的運算，例如(±)2=(三)運算性質及重要結論（1）平面向量基本定理:如果是同一平面內兩個不共線的向量,那么對于這個平面內任一向量,有且只有一對實數(shù),使，稱為的線性組合。其中叫做表示這一平面內所有向量的基底;平面內任一向量都可以沿兩個不共線向量的方向分解為兩個向量的和,并且這種分解是唯一的.這說明如果且,那么.當基底是兩個互相垂直的單位向量時,就建立了平面直角坐標系,因此平面向量基本定理實際上是平面向量坐標表示的基礎.向量坐標與點坐標的關系：當向量起點在原點時，定義向量坐標為終點坐標，即若A(x，y)，則=（x,y）；當向量起點不在原點時，向量坐標為終點坐標減去起點坐標

5、，即若A（x1,y1），B（x2,y2），則=(x2-x1,y2-y1)（2）兩個向量平行的充要條件符號語言：坐標語言為：設非零向量,則(x1,y1)=(x2,y2)，即,或x1y2-x2y1=0, 在這里,實數(shù)是唯一存在的,當與同向時,>0；當與異向時,<0。|=,的大小由及的大小確定。因此,當,確定時，的符號與大小就確定了.這就是實數(shù)乘向量中的幾何意義。（3）兩個向量數(shù)量積的重要性質： 即 (求線段的長度); (求角度)。以上結論可以(從向量角度)有效地分析有關垂直、長度、角度等問題,由此可以看到向量知識的重要價值.注:兩向量,的數(shù)量積運算結果是一個數(shù)(其中),這個數(shù)的大小與兩

6、個向量的長度及其夾角的余弦有關. 叫做向量在方向上的投影（如圖）.數(shù)量積的幾何意義是數(shù)量積等于的模與在方向上的投影的積.如果,則=, B AC O F D E圖1典型例題一、平面向量的實際背景與基本概念例題1.如圖1，設O是正六邊形的中心，分別寫出圖中與、相等的向量。二、平面向量的線性運算例題2. D CA B如圖，在平行四邊形ABCD中，a ，b ，你能用a，b表示向量 ，嗎？變式1：如圖，在五邊形ABCDE中，a ，b ，c ，d ， D E C A B試用a ，b ， c ， d表示向量和. D C OA B變式2：如圖，在平行四邊形ABCD中，若，a ，b則下列各表述是正確的為（ ）A

7、 B Ca + b D(a + b)變式3：已知=a，=b, =c,=d, 且四邊形ABCD為平行四邊形，則（ ）A. a+b+c+d=0 B. ab+cd=0C. a+bcd=0 D. abc+d=0變式4：在四邊形ABCD中，若，則此四邊形是()A平行四邊形B菱形C梯形 D矩形例題3 ba如圖，已知任意兩個非零向量a 、b ，試作a + b，a + 2b，a + 3b，你能判斷A、B、C三點之間的位置關系嗎？為什么？變式1：已知a + 2b，2a + 4b，3a + 6b (其中a 、b是兩個任意非零向量) ，證明：A、B、C三點共線證明：a + 2b，2a + 4b， 所以，A、B、C三

8、點共線例題4.已知四邊形ABCD，點E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA的中點，求證：變式1：已知任意四邊形ABCD的邊AD和BC的中點分別為E、F， D C E FA B求證：.三、平面向量的基本定理及坐標表示例題5.已知a = (4，2)，b = (6，y)，且a / b ，求 y 變式1：與向量a = (12，5) 平行的單位向量為（ ）A BC 或 D 或變式2：已知a，b，當a+2b與2ab共線時，值為 （ ）A1 B2 C D四、平面向量的數(shù)量積例題6.已知|a|6，|b| 4且a與b的夾角為，求 (a + 2b)·(ab) 變式1：已知向量a和b的夾角為60

9、76;，| a | 3，| b | 4，則（2a b）·a等于 （A）15 （B）12 （C）6 （D）3變式2：在ABC中，已知|=4，|=1，SABC=，則·等于（ ）A.2B.2C.±2D.±4例題7.已知A (1，2)，B (2，3)，C (，5)，試判斷的形狀，并給出證明綜合練習：一、選擇題（每小題3分，共36分）1、下列物理量不是向量的是 ( )A速度 B質量 C加速度 D位移2、將向量，的起點放在一起，則從的終點到的終點的向量是 ( )A + B C D 3、已知A( 3 , 4 ) , B ( 5 , 7 ) , 則 ( )A（8，3）

10、B（ 8 ，3 ） C（8，3 ） D（ 8，3）4、已知P(1,2),Q(5, 4),則線段PQ的中點坐標為 ( )A（3，3） B（3，3） C（2，1） D（2，1）5、化簡 ( )A B C D6、已知 則 ( )A30 B20 C15 D107、已知 ( )A13 B7 C7 D118、與向量（3,5）垂直的向量是 ( )A（3，5） B（3，5） C（3，5） D（3，5）9、在平行四邊形ABCD中，點A(-1,-2),B(3,-1),C(3,1),則點D坐標為 （ ）A（7，2） B （1，0） C（7，2） D（1，0）10、已知且/，則x= ( )A3 B C D11、已知的坐標正確的是 （ ）A BC D12、已知=(1,2), =(1,x),若,則x等于 ( )A B. C. 2 D. 2二、填空題（每小格2分，共18分）1、如果 則與的關系是 .2、已知=（1，2），=（3，y）：（1）若/ 則y= .（2）若則y= .3、已知=(1, 5), =(2,6)則：（1） . （2） .4、已知點A（1，2），B（-1,3），且，則點C的坐標為 （ ）