平面向量與解三角形單元檢測題含答案

1、平面向量與解三角形單元檢測題一、選擇題(本大題共10小題,每小題5分,共50分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的)1設(shè)x，yR，向量a(x,1)，b(1，y)，c(2，4)，且ac, bc，則|ab|()A.B. C2 D102在ABC中，N是AC邊上一點(diǎn)，且，P是BN上的一點(diǎn)，若m，則實(shí)數(shù)m的值為()A. B. C1 D33已知點(diǎn)A(1，1)，B(1，2)，C(2，1)，D(3，4)，則向量在方向上的投影為A. B. C D4在直角坐標(biāo)系xOy中，(2,1)，(3，k)，若三角形ABC是直角三角形，則k的可能值個(gè)數(shù)是()A1 B2 C3 D45已知向量a與b的夾角為120&

2、#176;，|a|3，|ab|，則|b| 等于 ()A5 B4 C3 D16在四邊形ABCD中，(1， 2)，(4，2)，則該四邊形的面積為A. B2 C 5 D107如圖所示,非零向量OA=a,OB=b,且BCOA,C為垂足,若OC=a(0),則=() 8在ABC中,sin2Asin2B+sin2C-sin Bsin C,則A的取值范圍是()(A)（0,(B),）(C)(0,(D),)9設(shè)ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)邊分別為a，b，c.若bc2a,3sin A5sin B，則角CA. B. C. D.10在平面直角坐標(biāo)系中，若O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則A，B，C三點(diǎn)在同一直線上的等價(jià)條件為存在唯一的實(shí)數(shù)

3、，使得(1)成立，此時(shí)稱實(shí)數(shù)為“向量關(guān)于和的終點(diǎn)共線分解系數(shù)”若已知P1(3, 1)，P2(1,3)，且向量與向量a(1,1)垂直，則“向量關(guān)于和的終點(diǎn)共線分解系數(shù)”為()A3 B3 C1 D1二、填空題(本大題共5小題,每小題5分,共25分.請(qǐng)把正確答案填在題中橫線上)11在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知(1，t)，(2,2)若ABO90°，則實(shí)數(shù)t的值為_12已知a(1,2)，b(1，)，若a與b的夾角為鈍角，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 13已知正方形ABCD的邊長為2，E為CD的中點(diǎn)，則·_14設(shè)e1，e2為單位向量，且e1，e2的夾角為，若ae13e2，b2e1，則向量a在b

4、方向上的射影為_15若非零向量a，b滿足|a|b|，(2ab)·b0，則a與b的夾角為_三、解答題(本大題共6小題,共75分.解答時(shí)應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟)16已知ABC的角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c，設(shè)向量m(a，b)，n(sin B，sin A)，p(b2，a2)(1)若mn，求證：ABC為等腰三角形；(2)若mp，邊長c2，角C，求ABC的面積17在ABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知sin Asin B+sin Bsin C+cos 2B=1.(1)求證:a,b,c成等差數(shù)列; (2)若C=,求的值.18在ABC中,a、b、c分別是角A

5、、B、C所對(duì)的邊,且a=c+bcos C.(1)求角B的大小; (2)若SABC=,求b的最小值.19在ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若acos2ccos2b.(1)求證：a，b，c成等差數(shù)列；(2)若B60°，b4，求ABC的面積20ABC為一個(gè)等腰三角形形狀的空地,腰AC的長為3(百米),底AB的長為4(百米).現(xiàn)決定在空地內(nèi)筑一條筆直的小路EF(寬度不計(jì)),將該空地分成一個(gè)四邊形和一個(gè)三角形,設(shè)分成的四邊形和三角形的周長相等,面積分別為S1和S2.(1)若小路一端E為AC的中點(diǎn),求此時(shí)小路的長度;(2)若小路的端點(diǎn)E、F兩點(diǎn)分別在兩腰上,求的最小值.21已知AB

6、C的角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c，且滿足。（1）證明：；（2）如圖，點(diǎn)O是ABC外一點(diǎn)，設(shè)，OA=2OB=2，當(dāng)時(shí)，求平面四邊形OACB面積的最最大值。參考答案：1 B由題意可知解得故ab(3，1)，|ab|.2.選B如圖，因?yàn)椋?，mm，因?yàn)锽，P，N三點(diǎn)共線，所以m1，所以m.3. A解析(2，1)，(5，5)，所以在方向上的投.4. B解析：.若A90°，則·6k0，k6；若B90°，則··()0，6k50，k1；若C90°，則··()0，k2k30無解綜上，k可能取6，1兩個(gè)數(shù)故選B.5. B解析

7、向量a與b的夾角為120°，|a|3，|ab|，則a·b|a|b|·cos 120°|b|，|ab|2|a|22a·b|b|2.所以1393|b|b|2，則|b|1(舍去)或|b|4.6. C解析因?yàn)?#183;0，所以.故四邊形ABCD的面積S|××25.7. A【解析】.BCOA,即BCOC,所以(OC-OB)·OC=0,所以|OC|2-OB·OC=0,即2|a|2-a·b=0,又0,解得=a·b|a|2.8 C.解析:根據(jù)正弦定理,由sin2Asin2B+sin2C-sin Bs

8、in C得a2b2+c2-bc,根據(jù)余弦定理cos A=,又0<A<,0<A,故選C.9. B 【解析】由3sin A5sin B，得3a5b.又因?yàn)閎c2a，所以ab，cb，所以cos C.因?yàn)镃(0，)，所以C.10. D.解析：設(shè)(x，y)，則由a知xy0，于是(x，x)，設(shè)(1)，(x，x)(3,1)(1)(1,3)(41,32)于是41320，1.11. 5解析：(3,2t)，由題意知0，所以2×32(2t)0，t5.12 .因?yàn)閍與b的夾角為鈍角，所以cos<0且cos1，所以a·b<0且a與b不反向由a·b<0得1

9、2<0，故<，由a與b共線得2，故a與b不可能反向所以的取值范圍為.13.2解析由題意知：·()·()()·()2·24022.14.解析a在b方向上的射影為|a|cosa，b.a·b(e13e2)·2e12e6e1·e25.|b|2e1|2.15. 120°【解析】(2ab)·b0，2a·bb20，a·bb2，設(shè)a與b的夾角為，又|a|b|，cos ，120°.16.解：(1)證明：mn，asin Absin B.即a·b·，其中R是三角形A

10、BC外接圓半徑，故ab，即ABC為等腰三角形(2)由題意可知m·p0，即a(b2)b(a2)0.abab.由余弦定理可知4a2b2ab(ab)23ab，即(ab)23ab40，ab4(舍去ab1)故Sabsin C·4·sin.17.(1)證明:由sin Asin B+sin Bsin C+1-2sin2B=1得sin A+sin C-2sin B=0.因?yàn)?,所以a+c-2b=0,所以2b=a+c,即a、b、c成等差數(shù)列.(2)解:由余弦定理c2=a2+b2-2ab·cos C及2b=a+c,c=,得(a-2b)2=a2+b2-2ab.即a2+4b2-

11、4ab=a2+b2+ab,也即3b2=5ab,所以=.18.解:(1)由正弦定理可得sin A=sin C+sin Bcos C,又因?yàn)锳=-(B+C),所以sin A=sin(B+C),可得sin Bcos C+cos Bsin C=sin C+sin Bcos C,又sin C0,即cos B=,所以B=.(2)因?yàn)镾ABC=,所以acsin=,所以ac=4,由余弦定理可知b2=a2+c2-ac2ac-ac=ac,當(dāng)且僅當(dāng)a=c時(shí)等號(hào)成立.所以b24,即b2,所以b的最小值為2.19.解析：(1)acos2ccos2a·c·b，即a(1cos C)c(1cos A)3b.由正弦定理得：sin Asin Acos Csin Ccos Asin C3sin B，即sin Asin Csin(AC)3sin B，sin Asin C2sin B.由正弦定理得，ac2b，故a，b，c成等差數(shù)列(2)由B60°，b4及余弦定理得：42a2c22accos 60°，(ac)23ac16，又由(1)知ac2b，代入上式得4b23ac16，解得ac16，ABC的面積Sacsin Bacsin 60°4.20.解:(1)E為AC中點(diǎn)時(shí),則AE=EC=,