平面向量復習提綱

1、平面向量全章復習【教學目標】復習平面向量的概念，向量的加法、減法、數(shù)乘、向量共線定理、平面向量基本定理，平面向量坐標表示向量的數(shù)量積、數(shù)量積的坐標表示，向量的應用。本章知識框架向量的定義符號表示幾何表示向量的表示基底表示相等向量坐標表示向向量間的關系相反向量量加法減法共線向量向量的運算數(shù)乘平行與共線數(shù)量 積垂直向量的應用長度一基本知識點回顧夾角1向量的定義：既有大小又有方向的量叫做向量2向量的表示：用有向線段表示；用有向線段的長度表示向量的大小，用箭頭所指的方向表示向量的方向用字母a、 b（黑體，印刷用）等表示；用有向線段的起點與終點字母：AB ；3向量的長度：向量的大小稱為向量的長度（或稱為

2、模），記作AB 說明： (1)不能說向量就是有向線段；向量只有大小和方向兩個要素，與起點無關，只要大小和方向相同，則這兩個向量就是相同的向量；有向線段有起點、大小和方向三個要素，起點不同，盡管大小和方向相同，也是不同的有向線段(2)向量不同于數(shù)量數(shù)量之間可以比較大小，向量由模、方向來確定，由于方向不能比較大小，因此“大于”、“小于”對向量來說是沒有意義的(3)向量的模（是正數(shù)或零）可以比較大小4幾組特殊的向量：零向量：長度為零的向量叫做零向量，記作0或0說明： 零向量的方向不確定，是任意的，有無窮多個規(guī)定所有的零向量都相等單位向量 ：長度等于1 個單位長度的向量叫做單位向量平行向量（即共線向量

3、）：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量記作ab 說明：（ 1）平行向量可以在同一直線上，要區(qū)別于兩平行線的位置關系；（2）共線向量可以相互平行，要區(qū)別于在同一直線上的線段的位置關系（3）規(guī)定：零向量與任意向量平行相等向量 ：長度相等且方向相同的向量叫做相等向量若a 與 b 相等，記作 ab 相反向量 ：長度相等且方向相反的向量叫做相反向量向量a 的相反向量記為a5向量加法的概念： 已知向量 a 和 b ，在平面內任取一點O ，作 OA a ， AB b ，則向量 OB 叫做 a與 b 的和，記作 a b ，即 a bOAABOB 求兩個向量和的運算叫做 向量的加法 規(guī)定： 0 a a ， a

4、aaa0，即 ABBA 0 ；向量加法的三角形法則：在使用三角形法則求和時，必須要求向量首位相連，和向量是由第一個向量的起點指向最后一個向量終點的有向線段所表示的向量；向量加法的平行四邊形法則：說明： (1)求和向量必須共起點 (2)向量加法的平行四邊形法則，只適合于對兩個不共線向量相加，兩個共線向量相加，仍用三角形法則6向量加法的運算律：交換律： abba ；結合律：a bc abc 向量減法的有關概念:若 bx a ，則向量 x 叫做 a 與 b 的差，記作 ab ，求兩個向量差的運算，7叫做向量的減法8向量減法的作圖方法:在平面內任取一點O ，作 OA a ， OBb ，則 BA BO

5、OAOB OA a b ，即 a b 表示從向量 b 的終點指向被減向量a 的終點的向量9向量的數(shù)乘的定義：一般的，實數(shù)與向量 a 的積是一個向量，記作a ，它的長度和方向規(guī)定如下：（ 1） aa ；(2 ) 當0 時，a 與 a 方向相同，當0 時，a 與 a ，方向相反，當 0時， a 0 實數(shù)與向量 a 相乘，叫做向量的 數(shù)乘10向量數(shù)乘的運算律： （ ）( )a ()a(結合律)；1（2） () aaa(分配律 )；（ 3）(ab)ab(分配律 )11a（a0），b，如果有一個實數(shù)，使得 ba(a0) ，向量共線定理： 一般地，對于兩個向量那么 b 與 a 是共線向量， 反之，如果 b

6、 與 a（ a0 ）是共線向量， 那么有且只有一個實數(shù)，使得 ba 12平面向量基本定理：如果 e1 ， e2 是同一平面內的兩個不共線向量，那么對于這一平面內的任一向量 a ，有且只有一對實數(shù)1 ，2 ，使 a =1 e1 +2e2 我們把不共線的向量e1 ， e2 叫做表示這個平面內所有向量的一組基底13向量的坐標表示：在直角坐標系內，分別取與x 軸、 y 軸方向相同的兩個單位向量i、 j 作為基底，任取一個向量a，有且只有一對實數(shù)x、 y，使得 a=xi+yj ， 則把（ x，y）叫做向量的直角坐標，記作：a=(x， y) 其中 x 叫做 a 在 x 軸上的坐標， y 叫做 a 在 y

7、軸上的坐標，式為向量的坐標表示14 向量坐 標運算 ：已知 a(x1, y1) ， b(x2 , y2 ) ， ab (x1x2,y1 y2) ， ab (x1x2, y1y2 ) ，a( x1 , y1 ) 兩個向量和（差）的坐標分別等于這兩個向量相應坐標的和（差），實數(shù)與向量的積的坐標等于用這個實數(shù)乘原來向量的相應坐標15共線向量坐標表示的一般性結論：設a( x1 , y1 ) ， b(x2 , y2 ) （ a ），如果a b，那么x1 y2 x2 y1 0 ；反過來，如果 x1 y2x2 y10 ，那么 a b結論（簡單表示） ：向量 a 與 b 共線 b0abx1 y2x2 y10

8、16.向量的夾角： 對于兩個 非零向量 a 和 b，作 OA = a ， OB = b ，則AOB（ 0 180 ）叫做向量 a 和 b 的夾角 特別地，當=0 時， a 與 b 同向；當=180 時， a 與 b 反向；當=90 時，則稱向量a 與 b 垂直，記作a b17. 平面向量數(shù)量積： 已知兩個 非零 向量 a 和 b，它們的夾角是 ，我們把數(shù)量 |a|b|cos叫做向量 a 和 b的數(shù)量積（或內積）（ scalar product of vectors ），記作 ab，即： a b=|a|b|cos我們規(guī)定 ：零向量與任一向量的數(shù)量積為0向量數(shù)量積模的性質：當 a 與 b 同向時，

9、 a b=|a|b|；當 a 與 b 反向時， a b= |a|b|2特別地， a a=|a| 或 |a|=a a向量數(shù)量積的運算律：設向量 a， b， c 和實數(shù) ，則向量的數(shù)量積滿足下列運算律：（ 1） a b=b a；（交換律）； （ 2）（ a）b=a（ b） =（ ab） =ab；（結合律）；（ 3）（a+b） c=a c+b c（分配律）。18.平面向量數(shù)量積的坐標表示：若兩個向量為a= (x1,y1)， b= (x2,y2 )，則 a b=x1x2+y1y2 即兩個向量的數(shù)量積等于它們對應坐標的乘積的和推論及公式：22222設 a=（x， y），則 a =x +y ，即 |a|=

10、x+y 兩點 A（ x1， y1）， B（x2， y2）間的距離公式為 AB =1xa=(x1 1，2 2 ，它們的夾角為，則有 cosa b,y )b= ( x ,y )a b221y22 xyx1x2y1 y2x12y12x22y22aba b0x1 x2y1 y2 =019.請寫出向量有關運算（加、減、數(shù)乘、數(shù)量積等）的幾何意義與物理學原型：向量運算 /定理 /定義幾何意義物理學原型相反向量： a作用力與反作用力加法： a + b三角形法則（平行四邊形法則）位移的合成、力的合成減法： a b三角形法則 （減法是加法的逆運算）數(shù)乘： a共線向量（ b = a (a 0)b/a）位移 =速度

11、時間平面向量基本定理力的分解數(shù)量積：功a b = |a| |b| cos二典型例題分析例 1. 在四邊形 ABCD 中 , 已知 ACAB AD , 試判斷四邊形ABCD 是什么樣的四邊形 ?例 2.化簡：（1） ABBC CD _；（ 2） AB AD DC_；（ 3） ( AB CD)( ACBD) _例 3.若 AB=3e11 且，判斷四邊形ABCD的形狀,CD =5e ,|AD |=|BC|例 4.若 2( x11c 3x) b 0 ，則 x_ a)(b32例 5.已知向量a 、 b不 共 線 ， 實 數(shù) x 、 y滿足向量等式3xa+(10 y)b=2 xb+(4y+4)a, 則x=

12、_, y=_ 例 6.向量 a (1,1)，且與 a2b 的方向相同，則ab 的取值范圍是(1, )例 7. 已知 OA =(-1 ， 2)， OB =(3 ，m)，若 OA OB ，則 m 的值為 _ 例 8. 已知 | OA| 1,|OB|2,OA OB0, 點 C 在AOB內，且AOC 450 ，設 OC mOA nOB，其中 m,nR ，則 m 等于 _. n例 9. 已知向量 a(3,1), b( 1,2), 則3a2b 的坐標是 _例 10.已知平面內三點A(2,2), B(1,3), C(7, x)滿足 BAAC ，則 x 的值為 _例 11.設 向 量 OA (3,1),OB(

13、 1,2)，向量OC 垂直于向量OB ，向量 BC 平行于OA，試求ODOAOC時, OD 的坐標例 12.已知 a(1,2), b(3,2), kab與a3b 垂直，求實數(shù)k 的值例 13.已知 |p|= 22 ， |q|=3， p、 q 的夾角為45，求以 a=5p+2q， b=p3q 為鄰邊的平行四邊形過a、 b起點的對角線長例 14.設平面上有四個互異的點A、B、C、D，已知（ DBDC2DA) (AB AC)0, 試判斷 ABC的形狀例15.已知a|=3，b，(且 a 與 b 不共線， 當且僅當k為何值時， 向量 a+kb 與 a kb 互相垂|=4)直 ?例 16.已知向量 a、

14、b 滿足 a3，ab5 , ab5求 b例 17.若向量 a ， b 滿足 a1，b2 且 a 與 b 的夾角為3，則 ab _例 18.已知 A, B, C 為平面上不共線的三點，若向量 AB =（ 1，1），n =（ 1， 1），且 n AC =2，則 n BC等于 _例 19.ABC 中， | AB |3，|AC| 4，|BC|5，則 AB BC_（答： 9）例 20. 已知點 A(2,3), B(5,4) ， C(7,10) ，若 APABAC (R) ，則當 _時，點 P 在第一、三象限的角平分線上（答：1 ）；2例 21. 已知 a(1,1),b(4, x) ， ua2b ， v2

15、ab ，且 u / v ，則 x_（答： 4）；例 22.已知 ABC 中， A（2， 1），B（ 3，2），C（ 3， 1）， BC 邊上的高為 AD ，求點 D 和向量 AD的坐標例 23.已知 a、 b 都是非零向量，且a 3b 與 7a 5b 垂直， a4b 與 7a2b 垂直，求 a 與 b 的夾角例 24.把一個函數(shù)圖像按向量a(,2)平移后，得到的圖象的表達式為y sin( x)2，則原函數(shù)36的解析式為（ ycos x）例 25.設向量 a 與 b 的夾角為， a(3，3) ， 2b a (11)， ，則 cos_(310)10例26.設 向 量O A( 3, 1)O, B(，向量OC 垂直于向量 OB ，向量BC 平行于OA ，試求1, 2O DO AO時C,O的D坐標例 27.已知 a( 3,1),b (13), 若存在不為零的實數(shù)k 和角 ，使得,22c asin3 b,dkasinb ，且 cd ，試求實數(shù) k 的取值范圍例 28.已知 M (1+cos2x，1)，N (1，3 sin2x+a)(x，aR，a 是常數(shù) )，且 y= OM ON(O 是坐標原點 )求 y 關于 x 的函數(shù)關系式y(tǒng)=f(x)；若 x 0， ，f(x) 的最大值為4，求 a 的值，并說明此時 f(x