沿著“大長(zhǎng)河”露營(yíng)

1、2012高教社杯全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽承 諾 書(shū)我們仔細(xì)閱讀了中國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽的競(jìng)賽規(guī)則.我們完全明白，在競(jìng)賽開(kāi)始后參賽隊(duì)員不能以任何方式（包括電話、電子郵件、網(wǎng)上咨詢等）與隊(duì)外的任何人（包括指導(dǎo)教師）研究、討論與賽題有關(guān)的問(wèn)題。我們知道，抄襲別人的成果是違反競(jìng)賽規(guī)則的, 如果引用別人的成果或其他公開(kāi)的資料（包括網(wǎng)上查到的資料），必須按照規(guī)定的參考文獻(xiàn)的表述方式在正文引用處和參考文獻(xiàn)中明確列出。我們鄭重承諾，嚴(yán)格遵守競(jìng)賽規(guī)則，以保證競(jìng)賽的公正、公平性。如有違反競(jìng)賽規(guī)則的行為，我們將受到嚴(yán)肅處理。我們參賽選擇的題號(hào)是（從A/B/C/D中選擇一項(xiàng)填寫(xiě)）： 我們的參賽報(bào)名號(hào)為（如果賽區(qū)設(shè)置報(bào)名

2、號(hào)的話）： 所屬學(xué)校（請(qǐng)?zhí)顚?xiě)完整的全名）： 參賽隊(duì)員 (打印并簽名) ：1. 2. 3. 指導(dǎo)教師或指導(dǎo)教師組負(fù)責(zé)人 (打印并簽名)： 日期： 2012 年 8 月 11 日賽區(qū)評(píng)閱編號(hào)（由賽區(qū)組委會(huì)評(píng)閱前進(jìn)行編號(hào)）：2012高教社杯全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽編 號(hào) 專 用 頁(yè)賽區(qū)評(píng)閱編號(hào)（由賽區(qū)組委會(huì)評(píng)閱前進(jìn)行編號(hào)）：賽區(qū)評(píng)閱記錄（可供賽區(qū)評(píng)閱時(shí)使用）：評(píng)閱人評(píng)分備注全國(guó)統(tǒng)一編號(hào)（由賽區(qū)組委會(huì)送交全國(guó)前編號(hào)）：全國(guó)評(píng)閱編號(hào)（由全國(guó)組委會(huì)評(píng)閱前進(jìn)行編號(hào)沿著“大長(zhǎng)河”露營(yíng).摘要最近幾年來(lái)，戶外露營(yíng)的人越來(lái)越多，而水上旅游也成了當(dāng)今一大熱門。由于游客的不斷上升，則我們必然要有一個(gè)合理的安排使得游客盡興

3、的同時(shí)也不浪費(fèi)露營(yíng)地，這樣才是雙贏的局面。在模型建立之前，我們提出了兩個(gè)問(wèn)題：一、安排一個(gè)最優(yōu)的混合旅行方案，使得最大限度的利用露營(yíng)地，并且要是船只盡可能少的接觸到河上其它的船只；二、對(duì)河流的承載能力提出我們自己的建議，以及向河流管理者描述我們的主要發(fā)現(xiàn)。在該模型中，首先，我們考慮的是一次旅行怎么選擇兩種船只，這樣可以確定船只的平均行駛速度，以及露營(yíng)地是否被占用、兩個(gè)露營(yíng)地間漂流所需時(shí)間等問(wèn)題。其次，我們考慮的是任意兩次旅行中兩艘船只是否相遇的問(wèn)題。最后，運(yùn)用計(jì)算機(jī)模擬的原理考慮任意船只是否相遇，模擬整個(gè)漂流過(guò)程。對(duì)于第一個(gè)問(wèn)題，我們將問(wèn)題進(jìn)行簡(jiǎn)化，求解任意一艘船漂流的過(guò)程，建立了模型。在模型

4、的基礎(chǔ)上進(jìn)行改進(jìn)，對(duì)任意兩艘船漂流的動(dòng)態(tài)進(jìn)行分析，建立模型。在模型的基礎(chǔ)上，我們推廣到了模擬任意多艘船的漂流過(guò)程，由此建立了模型。由于在求解模型的時(shí)候遇到一些問(wèn)題，所以我們另外建立模型，將整個(gè)問(wèn)題中所要考慮的幾個(gè)方面簡(jiǎn)化為幾個(gè)因素，分別考慮各個(gè)因素，然后用蒙特卡洛法模擬出選擇不同種類的旅行總的航行時(shí)間、每天漂流時(shí)間所服從的近似的概率分布，然后運(yùn)用整數(shù)規(guī)劃與遺傳算法對(duì)模型進(jìn)行求解，得出結(jié)果：河流的最大承載能力：；此時(shí)機(jī)動(dòng)帆船每天發(fā)的船次： ；橡膠筏每天所發(fā)的船次：；每天一共所發(fā)的船次：。關(guān)鍵詞：水上漂流、計(jì)算機(jī)模擬、蒙特卡洛法、整數(shù)規(guī)劃、遺傳算法目錄摘要1一、問(wèn)題重述3二、問(wèn)題分析3三、模型假設(shè)

5、4四、定義與符號(hào)說(shuō)明5五、模型建立與求解75.1 模型75.2 模型85.3 模型105.4 模型11（1）預(yù)定發(fā)船方案模型14（2）船只在河上漂流總時(shí)間的模型14（3）旅行每天的漂流時(shí)間的模擬15（4）船只到達(dá)露營(yíng)點(diǎn)的模擬16（5）船只在露營(yíng)地相遇的模擬17（6）河流的承載能力的模擬18六、模型評(píng)價(jià)與推廣20七、參考文獻(xiàn)20八、給河運(yùn)管理人員的信21一、問(wèn)題重述在一條長(zhǎng)為225英里且順流而下的河上，人們開(kāi)始了他們的水上露營(yíng)旅游。本次旅游可以選擇兩種不同的船只：一種為平均4英里/小時(shí)的以漿作為動(dòng)力的橡膠筏；另一種為平均8英里/小時(shí)的機(jī)動(dòng)帆船。目前，每年在六個(gè)月的旅游開(kāi)放時(shí)段內(nèi)(一年的其余部分的

6、天氣對(duì)于河流旅行來(lái)說(shuō)太冷)，共可安排X次旅行。整個(gè)旅行河道上共有Y處露營(yíng)地，露營(yíng)地均勻的分布在整個(gè)河道，整個(gè)旅行從開(kāi)始到結(jié)束會(huì)經(jīng)歷6至18個(gè)夜晚。所以，我們提出了兩個(gè)問(wèn)題。問(wèn)題一：如何安排一個(gè)最優(yōu)的混合旅行方案，在露營(yíng)地一定的條件下，不同的時(shí)間(單位為夜)和推動(dòng)方式(馬達(dá)或漿)，最大限度的利用露營(yíng)地，同時(shí)使得行駛的船只最少的接觸到在河上其它的船只。問(wèn)題二：對(duì)河流的承載能力提出相關(guān)的意見(jiàn)，以及向河流的管理者描述我們自己的主要發(fā)現(xiàn)。二、問(wèn)題分析2.1 問(wèn)題1的分析：?jiǎn)栴}1在數(shù)學(xué)上屬于一種優(yōu)化問(wèn)題，即在不同的時(shí)間、不同的推動(dòng)方式(馬達(dá)或漿)下，安排一個(gè)最優(yōu)的混合旅行方案，使得最大限度的利用露營(yíng)地，并

7、且要使船只盡可能少的接觸到河上其它的船只。本次論文我們采用了計(jì)算機(jī)模擬、蒙特卡洛法、整數(shù)規(guī)劃、遺傳算法等相關(guān)理論來(lái)建立與求解模型。首先，我們考慮一艘船在河上行駛的情況，明確如何選擇船只以及確定船的速度，建立模型；其次，我們考慮的是任意兩次旅行中兩艘船只是否相遇的問(wèn)題，建立模型；最后，運(yùn)用計(jì)算機(jī)模擬的方法建立數(shù)學(xué)模型，考慮任意船只是否相遇的問(wèn)題。在模型的求解過(guò)程中，遇到了一些問(wèn)題以至于無(wú)法進(jìn)行下去，所以我們建立了另一種模型（模型）進(jìn)行求解。首先將問(wèn)題簡(jiǎn)化成為各個(gè)不同因素，然后分別對(duì)不同的因素進(jìn)行分析，最后將他們綜合起來(lái)，建立模型并求解。2.2 問(wèn)題2的分析：?jiǎn)栴}2中們是要對(duì)河流的承載能力提出建議

8、，所以必須在問(wèn)題1的基礎(chǔ)上得出每天最多可以進(jìn)行幾次水上旅行，才能最大限度的利用露營(yíng)地，從而進(jìn)一步求出這六個(gè)月最多能夠進(jìn)行多少次水上次旅行，得出該河流的承載能力。實(shí)現(xiàn)河的承載能力最大化，既要考慮每天所發(fā)船次的最大化，又要考慮不合理船次的最小化，之后，對(duì)求出的河流承載能力進(jìn)行分析，給出自己的意見(jiàn)。三、模型假設(shè)3.1 模型假設(shè)1每艘船行駛過(guò)程中不考慮換船的問(wèn)題。2每艘船一天只?？恳粋€(gè)露營(yíng)地，兩個(gè)露營(yíng)者不能在同一時(shí)間內(nèi)占據(jù)同一個(gè)露營(yíng)地。3假設(shè)在這六個(gè)月中的游客數(shù)量認(rèn)為是服從正態(tài)分布。4考慮到漂流帶來(lái)的身體疲勞，所以我們假設(shè)一天行駛時(shí)間為8：0016：00，其余時(shí)間為休息時(shí)間。5不考慮外界自然因素給船帶

9、來(lái)的影響。 注：月份的正態(tài)分布參數(shù)為了便于計(jì)算，我們不妨設(shè)每個(gè)月為30天，共有180天，題中所描述的河流是在全年比較熱的六個(gè)月才開(kāi)放旅游的，容易想象，在開(kāi)放旅游的開(kāi)始和結(jié)束這段期間，天氣會(huì)較冷，游客自然就偏少，所以游客在這六個(gè)月的分布我們不妨認(rèn)為是中間高兩邊低的正態(tài)分布的。正態(tài)分布：據(jù)此可得到的游客在每月份旅游的概率，將其歸一化后作為游客在每月份旅游的真正概率。所以我們選定旅游的月份為3月到9月，每月30天，總共180天。3.2 模型前提考慮到游客在河上的瀏覽時(shí)間不宜過(guò)長(zhǎng)，所以我們將漂流時(shí)間定為8小時(shí)，從8：0016：00。我們假設(shè)游客選擇游覽的天數(shù)為天，已知總河長(zhǎng)為225英里，橡膠筏的速度為

10、4英里/每小時(shí)，機(jī)動(dòng)帆船速度為8英里/每小時(shí)。 則：機(jī)動(dòng)帆船平均每天漂流的時(shí)間： （3.1）橡膠筏平均每天漂流的時(shí)間： （3.2）其中為船只完成整段旅行所停留的夜晚。夜晚個(gè)數(shù)為6至18個(gè)。據(jù)此可得不同類型漂流的船次如下表：表31 不同類型漂流的船次夜6789101112131415161718橡膠筏9.487.036.35.635.114.74.343.753.53.33.13機(jī)動(dòng)帆船4.743.523.12.812.562.32.221.881.81.71.56從表中可知，總共有26種不同的旅行方式，但由于我們假設(shè)最多漂流時(shí)間為8個(gè)小時(shí)，所以橡膠筏用六夜完成整個(gè)旅游幾乎不可能，則將其排除。所

11、以我們可以看到，共有25種不同的旅行方式。四、定義與符號(hào)說(shuō)明符號(hào)定義單位第i次旅行的速度英里/小時(shí)第i次選擇推動(dòng)方式(馬達(dá)或漿)的變量（0或1）選擇露營(yíng)地是否被占的變量（0或1）S河的長(zhǎng)度英里d兩露營(yíng)地之間的平均距離英里Y露營(yíng)地的數(shù)量個(gè)X安排的旅行次數(shù)次第i次旅行從出發(fā)到第j個(gè)露營(yíng)地的時(shí)間小時(shí)隨機(jī)在營(yíng)地停留是時(shí)間小時(shí)在六個(gè)月開(kāi)放期間的中第天（）y一天中的第y班機(jī)動(dòng)帆船Y一天中的第Y班橡皮筏每天的首班機(jī)動(dòng)帆船出發(fā)時(shí)間小時(shí)每天的首班橡皮筏出發(fā)時(shí)間小時(shí)第j班摩托艇距離上一艘的發(fā)船間距（）英里第j班橡皮筏距離上一艘的發(fā)船間距（）英里M每天一共所發(fā)的船次機(jī)動(dòng)帆船每天發(fā)的船次b機(jī)動(dòng)帆船每天的的行駛時(shí)間小時(shí)

12、B橡皮筏每天的的行駛時(shí)間小時(shí)第x天時(shí)第y班摩托艇的漂流的天數(shù)天第x天時(shí)第Y班橡皮筏的漂流的天數(shù)天j第j個(gè)露營(yíng)地第x天時(shí)第y班摩托艇在其航行的第k天到達(dá)第j個(gè)露營(yíng)地這一事件第x天時(shí)第Y班橡皮筏在其航行的第k天到達(dá)第j個(gè)露營(yíng)地這一事件第x天時(shí)第y班摩托艇在其航行的第k天到達(dá)第j個(gè)露營(yíng)地的概率第x天時(shí)第Y班摩托艇在其航行的第k天到達(dá)第j個(gè)露營(yíng)地的概率五、模型建立與求解在我們建模之前，我們必須對(duì)旅游方針制定一些原則：原則1：兩個(gè)露營(yíng)者不能在同一時(shí)間內(nèi)占據(jù)同一個(gè)露營(yíng)地。原則2：由于氣候原因，這六個(gè)月在開(kāi)頭和末尾會(huì)比較冷，游客的數(shù)量顯然是比較少的，這點(diǎn)可以從模型中體現(xiàn)出來(lái)。原則3：在旅游人數(shù)達(dá)到最大的時(shí)候

13、，我們要盡可能的降低游客在河中的碰面率。5.1 模型：一次旅行漂流過(guò)程為了簡(jiǎn)化整個(gè)復(fù)雜混合的旅行方式，我們必須分析每一次旅行的狀態(tài)與時(shí)間的關(guān)聯(lián)。在這個(gè)模型里，從開(kāi)始的下水點(diǎn)到最終結(jié)束點(diǎn)，共225英里，且是順流而下的，是單向的行駛。所以我們首先關(guān)注一次旅行。在這一次單種工具的旅行的模型中，模型需要明確表明之前狀態(tài)與之后狀態(tài)的關(guān)聯(lián)。這里的狀態(tài)是指：第i次旅行的船到達(dá)第j個(gè)露營(yíng)點(diǎn)的時(shí)候，船只能否在這個(gè)露營(yíng)地露營(yíng)休息。在一次的旅行中我們只能選擇一種船只，選擇橡膠筏（）或機(jī)動(dòng)帆船（）。由此，我們可以得到以下等式： （i=1，2，3，X） （5.1）其中是指第i次旅行的速度，是指第i次選擇推動(dòng)方式(馬達(dá)或

14、漿)的變量（0或1）。這里由決定，當(dāng)=0時(shí)，則等于8，可以知道這次旅行所使用的船只為機(jī)動(dòng)帆船。而當(dāng)=1時(shí)，等于4，則此次旅行選用的船只為橡膠筏。等式（1）表示這第i次的旅行所選用的推動(dòng)方式。這一次的旅行不僅與它的推動(dòng)方式有關(guān)，而且與它到達(dá)某一露營(yíng)地是否被占而選擇露宿與否有關(guān)。于是我們引入一個(gè)變量，來(lái)表示露營(yíng)地是否已被占領(lǐng)，等式如下： （5.2）其中表示選擇露營(yíng)地是否被占領(lǐng)的變量，i=1，2，3，X ；j=1，2，3，Y 。由于露營(yíng)者不能在同一時(shí)間內(nèi)占據(jù)同一個(gè)露營(yíng)地，所以當(dāng)這個(gè)露營(yíng)地被前一只船只占領(lǐng)，后一只到的船只則會(huì)穿過(guò)該露營(yíng)地，向下一個(gè)露營(yíng)地前進(jìn)。我們知道整個(gè)旅行河道上共有Y處露營(yíng)地，露營(yíng)地

15、均勻的分布在整個(gè)河道。我們?cè)O(shè)兩個(gè)相鄰的露營(yíng)地之間的相距d英里，如此我們就可以得到關(guān)于d與Y之間的關(guān)系式： （5.3）這里S為整條河流的長(zhǎng)度，并知道S=225 英里。另外，一次旅行的時(shí)間不是無(wú)限的，規(guī)定整個(gè)旅行從開(kāi)始到結(jié)束會(huì)經(jīng)歷6至18個(gè)夜晚。所以我們?cè)O(shè)定第i次旅行從出發(fā)到終點(diǎn)所經(jīng)歷的時(shí)間為（單位：小時(shí)），我們得到以下不等式： （5.4）我們由上面式子（5. 1），（5. 2），（5. 3）得到以下式子： （5.5）其中表示第i次的旅行船只到達(dá)第j個(gè)露營(yíng)點(diǎn)的時(shí)間；表示該船只到達(dá)第j-1個(gè)的露營(yíng)點(diǎn)的時(shí)間；船只在兩露營(yíng)地移動(dòng)所花費(fèi)的時(shí)間；為船只在第j-1個(gè)露營(yíng)地所停留的時(shí)間。第j-1個(gè)露營(yíng)地所停留是

16、時(shí)間為隨機(jī)數(shù)，我們通過(guò)計(jì)算機(jī)得到。我們把單次旅行的看作是動(dòng)態(tài)的而且與之前船只的旅行狀況有關(guān)。 5.2 模型：兩艘船在河中相遇的動(dòng)態(tài)分析我們?yōu)榱烁酶嗟睦酶鱾€(gè)露營(yíng)地，因此，我們應(yīng)該盡可能多的安排旅行總次數(shù)X，讓游客最少的接觸到在河上其它的船只。我們可以先將模型簡(jiǎn)化，設(shè)定為兩艘船在河上行駛。相遇是指在某一時(shí)間兩艘船只在同一地點(diǎn)。這樣，我們將它們細(xì)化到在兩相鄰露營(yíng)地的中間河域上相遇，即在兩艘船只在第j個(gè)露營(yíng)點(diǎn)與第j+1個(gè)露營(yíng)地之間相遇。我們通過(guò)函數(shù)來(lái)明確的表示這一過(guò)程所帶來(lái)的相關(guān)的時(shí)間與地點(diǎn)，以及它們的關(guān)系。下圖表示兩船只在這中間河域相遇的發(fā)生圖：d第i次旅行第k次旅行第(j+1)個(gè)露營(yíng)地第j個(gè)

17、露營(yíng)地出發(fā)地相遇地圖51 兩船在河上相遇的發(fā)生圖如圖51中所示，我們假設(shè)第i次旅行先經(jīng)過(guò)這第j點(diǎn)時(shí)間為，而后，經(jīng)過(guò)時(shí)間（）后第k次旅行經(jīng)過(guò)j點(diǎn)。接著經(jīng)過(guò)時(shí)間t小時(shí)后，第i旅行跟第k次旅行的船只相遇。因此，我們可以聯(lián)系上下得到以下式子： （5.6）其中。這兩次旅游的船只是否?？康趈或第j+1個(gè)露營(yíng)地與他們經(jīng)過(guò)露營(yíng)地時(shí)露營(yíng)地是否被占有關(guān)，于是我們假設(shè)得到以下式子： （5.7）其中表示第次旅行到達(dá)第個(gè)露營(yíng)地時(shí)露營(yíng)地是否被占領(lǐng)的變量；表示第次旅行到達(dá)第個(gè)露營(yíng)地時(shí)露營(yíng)地是否被占領(lǐng)的變量。我們根據(jù)以上式子（5.6），（5.7），我們假設(shè)不同的情況，分成以下三種，來(lái)考慮兩船只相遇的情況：情況一： 假設(shè)： （

18、5.8）這種假設(shè)里，當(dāng)=0時(shí)，則兩船相遇，而兩只船都未占領(lǐng)這j點(diǎn)露營(yíng)，即是這第j個(gè)露營(yíng)地并沒(méi)有被他們?nèi)我庖恢淮？?。因此，?dāng)這兩只船都并未在這個(gè)露營(yíng)地停留，所以當(dāng)=0時(shí)，經(jīng)過(guò)時(shí)間t小時(shí)后，他們?cè)趦陕稜I(yíng)地之間的這段河域上相遇了。情況二： 假設(shè)： （5.9）在這個(gè)假設(shè)中，則得到他們其中一組在這個(gè)j露營(yíng)地停留過(guò)。所以，我們就可以知道他們其中一只旅行船只在這個(gè)露營(yíng)地停止宿營(yíng)，而另一只繼續(xù)前進(jìn)。所以，他們不會(huì)在這兩個(gè)宿營(yíng)地之間相遇。情況三：假設(shè)： （5.10）當(dāng)，不管露營(yíng)地是否被占領(lǐng)，他們都不會(huì)在同一時(shí)間在同一地點(diǎn)相遇，所以這種假設(shè)兩艘船都不會(huì)相遇。5.3 模型：多次旅游的漂流過(guò)程 計(jì)算機(jī)模擬計(jì)算機(jī)模擬

19、是一種用來(lái)幫助人們?cè)诓淮_定的條件下進(jìn)行決策的方法。人們?cè)谕耆涣私馐录陌l(fā)生及其影響如何的條件下，從若干方案中選出一種行動(dòng)方案來(lái)。計(jì)算機(jī)模擬可以反復(fù)進(jìn)行，改變系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和系數(shù)都比較容易。在實(shí)際問(wèn)題中，面對(duì)一些帶隨機(jī)因素的復(fù)雜系統(tǒng)，用分析方法建模常常需要作許多簡(jiǎn)化假設(shè)，與面臨的實(shí)際問(wèn)題可能相差甚遠(yuǎn)，以致解答根本無(wú)法應(yīng)用。這時(shí)，計(jì)算機(jī)模擬幾乎成為唯一的選擇。5.3.2 整個(gè)漂流過(guò)程的模擬由模型和模型可知，當(dāng)我們只進(jìn)行一次旅游的時(shí)候，我們并不需要考慮露營(yíng)地是否已經(jīng)被占領(lǐng)的問(wèn)題，船只可以停在每一個(gè)露營(yíng)地；當(dāng)我們考慮兩次旅游的時(shí)候，我們就要考慮兩艘船的距離間隔，以至于推斷出它們是否會(huì)相遇、露營(yíng)地怎么安排

20、的問(wèn)題；當(dāng)我們考慮整個(gè)漂流過(guò)程的時(shí)候，船與船之間的相遇問(wèn)題就是我們重點(diǎn)要解決的問(wèn)題，同時(shí)還有它們的碰面率。所以，為了確定典型的旅游行程，如漂流艇的類型、露營(yíng)地、時(shí)間間隔等，我們需要做一系列的軌道運(yùn)行的實(shí)際流程圖，一個(gè)重要的流程圖如圖2所示：經(jīng)過(guò)幾次的模擬，獲得最優(yōu)的X（露營(yíng)旅游次數(shù)）、最小的E（遇到的次數(shù)）以及最小的TP（旅行時(shí)間）。另一個(gè)重要流程圖如圖3所示：由于在建立該模型的時(shí)候，我們還沒(méi)有考慮到一些實(shí)際的問(wèn)題以及程序上遇到一些問(wèn)題，知識(shí)還不夠全面，所以我們建立了另外一種模型來(lái)尋求解答，即是模型。5.4 模型：將整個(gè)問(wèn)題中所要考慮的幾個(gè)方面簡(jiǎn)化為以下幾個(gè)因素（1）發(fā)船方案（發(fā)船的時(shí)刻表）；

21、（2）船只在河上漂流的總時(shí)間；（3）船只每天的漂流時(shí)間；（4）單次旅行到達(dá)露營(yíng)點(diǎn)的概率；（5）多次旅行在露營(yíng)點(diǎn)的相遇的概率；（6）河流的承載能力；各個(gè)因素之間的相互影響如下： 圖52 各個(gè)因素之間的影響關(guān)系 圖54 軌道運(yùn)行的實(shí)際流程圖 模型的建立（1）預(yù)定發(fā)船方案模型如下：我們最終的目的是建立這樣的一個(gè)每天發(fā)船的時(shí)刻表來(lái)調(diào)度船只：表51 每天發(fā)船的時(shí)刻表首班船發(fā)船時(shí)間第二班船發(fā)船時(shí)間第三班船發(fā)船時(shí)間第四班船發(fā)船時(shí)間末班船發(fā)船時(shí)間（2）船只在河上漂流總時(shí)間的模型如下：考慮橡皮筏為人力驅(qū)動(dòng)，機(jī)動(dòng)帆船為機(jī)械驅(qū)動(dòng)他們?cè)谒俣确矫娲嬖诓町?，必然?huì)導(dǎo)致船只在河上漂流時(shí)間的長(zhǎng)短不一，同時(shí)公園管理方面的調(diào)度方

22、式對(duì)船只在河上漂流總時(shí)間也有一定影響。我們知道整個(gè)旅行河道上共有Y處露營(yíng)地，露營(yíng)地均勻的分布在整個(gè)河道。我們?cè)O(shè)兩個(gè)相鄰的露營(yíng)地之間的相距d英里，如此我們就可以得到關(guān)于d與Y之間的關(guān)系式，公式（5.3）：這里S為整條河流的長(zhǎng)度，并知道S=225英里。每天每只隊(duì)伍都得到達(dá)一個(gè)露營(yíng)點(diǎn)休息，補(bǔ)充第二天漂流的精力，所以我們可以知道每天船只行駛的距離為d的整數(shù)倍，則設(shè)，表示為這一次旅行在第k天所完成的路程，其中為整數(shù)，又因?yàn)閷?duì)于每一隊(duì)在某一天旅行的路程小于每隊(duì)每天可能行駛的最大路程，且每只船只在每一天所走的路程一定為正數(shù)，通過(guò)排列我們得到下表：表52 不同類型漂流的船次678910111213141516

23、1718橡膠筏9.487.036.35.635.114.74.343.753.53.33.13機(jī)動(dòng)帆船4.743.523.12.812.562.32.221.881.81.71.56從表中可知，符合條件的共有25種旅行方式。所以綜上考慮上述各個(gè)因素用蒙特卡洛法模擬出選擇不同種類的旅行總的航行時(shí)間所服從的近似的概率分布。得到以下兩幅圖：（其中縱坐標(biāo)為概率，橫坐標(biāo)為天數(shù)。）圖55 不同種類的旅行航行時(shí)間所服從的概率分布折線圖圖56 不同種類的旅行航行時(shí)間所服從的概率分布柱形圖（3）旅行每天的漂流時(shí)間的模擬如下：如果旅行總的漂流時(shí)間是隨機(jī)的，那么旅行每天的漂流時(shí)間也是隨機(jī)的，在已知總的漂流時(shí)間分布的

24、基礎(chǔ)上，我們?cè)儆妹商乜宸▉?lái)模擬旅行每天漂流時(shí)間的概率分布。得到如下的分布曲線：（橫坐標(biāo)表示每天船只行駛的時(shí)間，縱坐標(biāo)表示他們的概率）圖57 每天漂流時(shí)間的概率分布折線圖圖58每天漂流時(shí)間的概率分布柱形圖（4）船只到達(dá)露營(yíng)點(diǎn)的模擬如下：首先將河流簡(jiǎn)化為一條數(shù)軸，露營(yíng)地均勻分布在數(shù)軸上，將定義為第天時(shí)第班發(fā)的船在其航行的第天進(jìn)入了第個(gè)露營(yíng)地這一事件。（5.11）船只按照其每天航行時(shí)間的分布，結(jié)束一天的航行后，距離哪一個(gè)露營(yíng)地最近，則認(rèn)為其到達(dá)了該露營(yíng)地（因?yàn)樵趯?shí)際情況中，旅行會(huì)發(fā)揮自身的主觀能動(dòng)性前往距離自己最近的露營(yíng)地休息，把這段時(shí)間考慮在休息時(shí)間段內(nèi)，不影響漂流時(shí)間）。將以上情況反映在數(shù)軸上

25、，以每個(gè)露營(yíng)地為中心建立一個(gè)長(zhǎng)度為的閉區(qū)間，由于漂流時(shí)間的不確定性，船在一天漂流結(jié)束后，以一定的概率進(jìn)入一個(gè)區(qū)間，我們?yōu)檫@個(gè)概率設(shè)定一個(gè)下限Pmin1，大于這個(gè)下限時(shí)認(rèn)為船到達(dá)露營(yíng)地；低于這個(gè)下限，則認(rèn)為船未進(jìn)入該露營(yíng)地。得出以下相關(guān)關(guān)系： （5.12）（5）船只在露營(yíng)地相遇的模擬如下：將第x天在第j個(gè)露營(yíng)地發(fā)生相遇事件記為 （5.13）如果兩組的船只在同一天都以一定的概率進(jìn)入到同一個(gè)露營(yíng)地的區(qū)間內(nèi)，并且此事件的概率超過(guò)一個(gè)下限，則認(rèn)為這兩組船只相遇。分析船只到達(dá)露營(yíng)點(diǎn)的模型中的，在 的條件下，只要x、j相等、y、k不等或者船的種類不相同即認(rèn)為這是一個(gè)相遇事件，即： （5.14）將某一天在所有

26、露營(yíng)地發(fā)生相遇事件時(shí)，在場(chǎng)的船次乘以此次事件發(fā)生的概率的累加和所得到的結(jié)果定義為該天的不合理船次，記為 。 （5.15） ：第天第個(gè)露營(yíng)地發(fā)生相遇事件時(shí)現(xiàn)場(chǎng)的船的數(shù)目。 ：第天第個(gè)露營(yíng)地發(fā)生相遇事件時(shí)現(xiàn)場(chǎng)的概率，即。如果在一個(gè)露營(yíng)地不同數(shù)量的船都滿足相遇條件，則選擇其中概率與船數(shù)乘積最大的一組作為該露營(yíng)地的相遇事件。（6）河流的承載能力的模擬如下：實(shí)現(xiàn)河的承載能力最大化，既要考慮每天所發(fā)船次的最大化，又要考慮不合理船次的最小化，即 ， 。引入兩個(gè)非負(fù)加權(quán)因子,， 用一天中一共的所發(fā)的船次和不合理船數(shù)乘以各自的權(quán)數(shù)之后相減所得的差，我們定義為河流的承載能力，記作,將六個(gè)月中每一天的的累加和定義為

27、河流的承載能力，記作C ： （5.16）將兩目標(biāo)優(yōu)化模型轉(zhuǎn)化為單目標(biāo)優(yōu)化模型： （5.17） 為每天的不合理船數(shù)設(shè)定一個(gè)上限S使公園管理者和旅行者都可容忍，則當(dāng)每天的達(dá)到上限時(shí)，此時(shí)的取得最大值。用六個(gè)月中總的船次數(shù)減去當(dāng)前已有的組數(shù)X即為河中可以再增開(kāi)的船只。 模型的求解（1）求解以及整數(shù)規(guī)劃令、 （5.18）求解模型時(shí)如果將船只所有調(diào)度時(shí)刻進(jìn)行檢驗(yàn)，那么求解過(guò)程中的計(jì)算次數(shù)的數(shù)量級(jí)預(yù)估將會(huì)達(dá)到1018以上，因此使計(jì)算無(wú)法實(shí)現(xiàn)。所以我們換用遺傳算法來(lái)進(jìn)行解：1）首先設(shè)定若干組具體的船只調(diào)度時(shí)刻表。 2）作河流承載能力C的適值函數(shù)。3）將時(shí)刻表代入模型中，選擇F (C )較大的可行解進(jìn)行交叉,

28、，變異。4）重復(fù)進(jìn)行數(shù)次后, 所得的解應(yīng)趨于穩(wěn)定, 此時(shí)便為所求的最優(yōu)解。（2）求解結(jié)果：河流的最大承載能力： （5.19） 此時(shí)機(jī)動(dòng)帆船每天發(fā)的船次： （5.20）橡膠筏每天所發(fā)的船次： （5.21）每天一共所發(fā)的船次： （5.22）在容忍度時(shí)，整個(gè)漂流時(shí)間內(nèi)河流還可以另外加派的一天發(fā)船時(shí)刻表如下：表53 發(fā)船時(shí)刻表時(shí)間機(jī)動(dòng)帆船橡膠筏08:00:00-9：00 AM3110:00:00-11：00 AM1214:00:00-15：00 PM1114:00:00-15:00 PM11 綜上可知，我們已經(jīng)得出了每天發(fā)船的時(shí)刻表，并求得河流在這六個(gè)月中最大的承載能力為1854艘船，每天總發(fā)船11艘

29、，其中機(jī)動(dòng)帆船6艘，橡膠筏5艘。六、模型評(píng)價(jià)與推廣對(duì)于本文的數(shù)學(xué)模型，既有相應(yīng)的優(yōu)點(diǎn)也有一定的缺點(diǎn)。我們已經(jīng)完成了兩個(gè)主要的問(wèn)題，尋找出了我們認(rèn)為相對(duì)較優(yōu)的排程方式，以及提出了我們對(duì)河流承載能力的意見(jiàn)。優(yōu)點(diǎn)和缺點(diǎn)如下所示：優(yōu)點(diǎn)：我們建立的數(shù)學(xué)模型并沒(méi)有運(yùn)用到大量的數(shù)據(jù)，但是基于一般假設(shè)，我們?cè)谥暗娜蝿?wù)中，先考慮了一次漂流旅行的情況，慢慢變?yōu)閮纱温眯行旭偟那闆r，最后模擬整個(gè)漂流過(guò)程，步步推進(jìn)，使得結(jié)果顯而易懂。接著我們建立了另一種模型，該模型先將問(wèn)題分成六個(gè)不同的因素，然后分別對(duì)六個(gè)因素進(jìn)行徹底的分析，最后將他們?nèi)烤C合起來(lái)，具有一定的可信度。缺點(diǎn)：在模型中，由于我們考慮不夠周全，數(shù)據(jù)與知識(shí)技能的局限性導(dǎo)致我們無(wú)法繼續(xù)下去。對(duì)于我們的模型，可以推廣到班輪調(diào)度、列車優(yōu)化調(diào)度等數(shù)