概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)復(fù)習(xí)提綱

1、第一章 隨機(jī)事件及其概率一、隨機(jī)事件及其運(yùn)算1. 樣本空間、隨機(jī)事件樣本點(diǎn)：隨機(jī)試驗(yàn)的每一個(gè)可能結(jié)果，用表示；樣本空間：樣本點(diǎn)的全集，用表示；注：樣本空間不唯一.隨機(jī)事件：樣本點(diǎn)的某個(gè)集合或樣本空間的某個(gè)子集，用A,B,C,表示；必然事件就等于樣本空間；不可能事件是不包含任何樣本點(diǎn)的空集；基本事件就是僅包含單個(gè)樣本點(diǎn)的子集。2. 事件的四種關(guān)系包含關(guān)系：，事件A發(fā)生必有事件B發(fā)生；等價(jià)關(guān)系：， 事件A發(fā)生必有事件B發(fā)生，且事件B發(fā)生必有事件A 發(fā)生；互不相容（互斥）： ，事件A與事件B一定不會(huì)同時(shí)發(fā)生。對立關(guān)系（互逆）：，事件發(fā)生事件A 必不發(fā)生，反之也成立； 互逆滿足注：互不相容和對立的關(guān)系

2、（對立事件一定是互不相容事件，但互不相容事件不一定是對立事件。）3. 事件的三大運(yùn)算事件的并：，事件A與事件B至少有一個(gè)發(fā)生。若，則；事件的交：，事件A與事件B都發(fā)生； 事件的差：，事件A發(fā)生且事件B不發(fā)生。4. 事件的運(yùn)算規(guī)律交換律：結(jié)合律：分配律：德摩根（De Morgan）定律： 對于n個(gè)事件，有二、隨機(jī)事件的概率定義和性質(zhì)1公理化定義：設(shè)試驗(yàn)的樣本空間為，對于任一隨機(jī)事件都有確定的實(shí)值P(A)，滿足下列性質(zhì)：(1) 非負(fù)性： (2) 規(guī)范性：(3)有限可加性(概率加法公式)：對于k個(gè)互不相容事件，有.則稱P(A)為隨機(jī)事件A的概率.2概率的性質(zhì) 若，則注：性質(zhì)的逆命題不一定成立的. 如

3、若則。（×） 若，則。（×）三、 古典概型的概率計(jì)算古典概型：若隨機(jī)試驗(yàn)滿足兩個(gè)條件： 只有有限個(gè)樣本點(diǎn), 每個(gè)樣本點(diǎn)發(fā)生的概率相同，則稱該概率模型為古典概型,。典型例題：設(shè)一批產(chǎn)品共N件，其中有M件次品，從這批產(chǎn)品中隨機(jī)抽取n件樣品，則(1)在放回抽樣的方式下, 取出的n件樣品中恰好有m件次品（不妨設(shè)事件A1）的概率為(2)在不放回抽樣的方式下, 取出的n件樣品中恰好有m件次品（不妨設(shè)事件A2）的概率為四、條件概率及其三大公式1.條件概率：2.乘法公式： 3.全概率公式：若，則。4.貝葉斯公式：若事件如全概率公式所述，且 .五、事件的獨(dú)立 1. 定義：.推廣：若相互獨(dú)立，

4、2. 在四對事件中，只要有一對獨(dú)立，則其余三對也獨(dú)立。3. 三個(gè)事件A, B, C兩兩獨(dú)立：注：n個(gè)事件的兩兩獨(dú)立與相互獨(dú)立的區(qū)別。（相互獨(dú)立兩兩獨(dú)立，反之不成立。）4.伯努利概型：1.事件的對立與互不相容是等價(jià)的。（X）2.若 則。（X）3.。 (X)4.A,B,C三個(gè)事件恰有一個(gè)發(fā)生可表示為。()5. n個(gè)事件若滿足，則n個(gè)事件相互獨(dú)立。(X)6. 當(dāng)時(shí)，有P(B-A)=P(B)-P(A)。（）第二章 隨機(jī)變量及其分布一、隨機(jī)變量的定義：設(shè)樣本空間為，變量為定義在上的單值實(shí)值函數(shù)，則稱為隨機(jī)變量，通常用大寫英文字母，用小寫英文字母表示其取值。二、分布函數(shù)及其性質(zhì)1. 定義：設(shè)隨機(jī)變量，對于

5、任意實(shí)數(shù)，函數(shù)稱為隨機(jī)變量的概率分布函數(shù)，簡稱分布函數(shù)。 注：當(dāng)時(shí)，(1)X是離散隨機(jī)變量，并有概率函數(shù)則有(2) X連續(xù)隨機(jī)變量，并有概率密度f (x)，則.2. 分布函數(shù)性質(zhì)：（1 F(x)是單調(diào)非減函數(shù)，即對于任意x1 <x2，有；（2 ；且；（3離散隨機(jī)變量X，F(xiàn) (x)是右連續(xù)函數(shù), 即；連續(xù)隨機(jī)變量X，F(xiàn)(x)在（-，+）上處處連續(xù)。注：一個(gè)函數(shù)若滿足上述3個(gè)條件，則它必是某個(gè)隨機(jī)變量的分布函數(shù)。三、離散隨機(jī)變量及其分布1. 定義. 設(shè)隨機(jī)變量X只能取得有限個(gè)數(shù)值，或可列無窮多個(gè)數(shù)值且，則稱X為離散隨機(jī)變量, pi (i=1,2,)為X的概率分布，或概率函數(shù) (分布律).注：

6、概率函數(shù)pi的性質(zhì): 2. 幾種常見的離散隨機(jī)變量的分布：（1）超幾何分布，XH(N,M,n)，（2）二項(xiàng)分布，XB(n.,p)，當(dāng)n=1時(shí)稱X服從參數(shù)為p的兩點(diǎn)分布（或01分布）。若Xi(i=1,2,n)服從同一兩點(diǎn)分布且獨(dú)立，則服從二項(xiàng)分布。（3）泊松(Poisson)分布，四、連續(xù)隨機(jī)變量及其分布1.定義.若隨機(jī)變量X的取值范圍是某個(gè)實(shí)數(shù)區(qū)間I，且存在非負(fù)函數(shù)f(x)，使得對于任意區(qū)間，有則稱X為連續(xù)隨機(jī)變量; 函數(shù)f (x)稱為連續(xù)隨機(jī)變量X的概率密度函數(shù)，簡稱概率密度。注1：連續(xù)隨機(jī)變量X任取某一確定值的概率等于0, 即注2：2. 概率密度f (x)的性質(zhì)：性質(zhì)1： 性質(zhì)2：注1：一

7、個(gè)函數(shù)若滿足上述2個(gè)條件，則它必是某個(gè)隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)。注2：當(dāng)時(shí)，且在f(x)的連續(xù)點(diǎn)x處，有3.幾種常見的連續(xù)隨機(jī)變量的分布：(1) 均勻分布 ， (2) 指數(shù)分布, (3) 正態(tài)分布 ， 1. 概率函數(shù)與密度函數(shù)是同一個(gè)概念。（ X ）2.當(dāng)N充分大時(shí)，超幾何分布H (n, M, N)可近似成泊松分布。( X )3.設(shè)X是隨機(jī)變量，有。( X )4.若的密度函數(shù)為=，則 ( X )第三章 隨機(jī)變量的數(shù)字特征一、期望（或均值）1定義： 2期望的性質(zhì)：3. 隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望4. 計(jì)算數(shù)學(xué)期望的方法(1) 利用數(shù)學(xué)期望的定義； (2) 利用數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)；常見的基本方法： 將一個(gè)比

8、較復(fù)雜的隨機(jī)變量X 拆成有限多個(gè)比較簡單的隨機(jī)變量Xi之和,再利用期望性質(zhì)求得X的期望.(3)利用常見分布的期望；1方差 注：D(X)=EX-E(X)20；它反映了隨機(jī)變量X取值分散的程度,如果D(X)值越大(小)，表示X取值越分散(集中)。2方差的性質(zhì)(4) 對于任意實(shí)數(shù)CR，有 E ( X-C )2D( X )當(dāng)且僅當(dāng)C = E(X)時(shí), E ( X-C )2取得最小值D(X).(5) (切比雪夫不等式): 設(shè)X的數(shù)學(xué)期望 E(X) 與方差D(X) 存在,對于任意的正數(shù)有或 3. 計(jì)算(1) 利用方差定義；(2) 常用計(jì)算公式(3) 方差的性質(zhì)；(4) 常見分布的方差.注：常見分布的期望與

9、方差1. 若XB(n, p), 則 E(X)=np, D(X) = npq; 2. 若3. 若XU(a, b), 則 4. 若5. 若三、原點(diǎn)矩與中心矩（總體）X的k階原點(diǎn)矩： （總體）X的k階中心矩：1.只要是隨機(jī)變量，都能計(jì)算期望和方差。( X )2.期望反映的是隨機(jī)變量取值的中心位置，方差反映的是隨機(jī)變量取值的分散程度。()3.方差越小，隨機(jī)變量取值越分散，方差越大越集中。( X )4.方差的實(shí)質(zhì)是隨機(jī)變量函數(shù)的期望。()5.對于任意的X,Y，都有成立。( X )第四章 正態(tài)分布一、正態(tài)分布的定義1. 正態(tài)分布 概率密度為其分布函數(shù)為注：.正態(tài)密度函數(shù)的幾何特性： 2. 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布當(dāng)時(shí)

10、，其密度函數(shù)為且其分布函數(shù)為的性質(zhì)： 3.正態(tài)分布與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的關(guān)系定理：若 則.定理：設(shè)則二、正態(tài)分布的數(shù)字特征設(shè) 則1. 期望E(X) 2.方差D(X) 3.標(biāo)準(zhǔn)差三、正態(tài)分布的性質(zhì)1線性性. 設(shè)則；2可加性. 設(shè)且X和Y相互獨(dú)立，則3線性組合性 設(shè)，且相互獨(dú)立，則四、中心極限定理1.獨(dú)立同分布的中心極限定理設(shè)隨機(jī)變量相互獨(dú)立，服從相同的分布，且則對于任何實(shí)數(shù)x，有定理解釋：若滿足上述條件，有（1）；（3）2. 棣莫弗-拉普拉斯中心極限定理設(shè)則定理解釋：若當(dāng)n充分大時(shí)，有（1）； （2）1.若則（ X ）2.若則 （ ）3. 設(shè)隨機(jī)變量X與Y均服從正態(tài)分布：4.已知連續(xù)隨機(jī)變量X的概率密

11、度函數(shù)為 則X的數(shù)學(xué)期望為_1_; X的方差為_1/2_.第五章 數(shù)理統(tǒng)計(jì)的基本知識(shí)一、總體 個(gè)體 樣本1.總體：把研究對象的全體稱為總體 (或母體).它是一個(gè)隨機(jī)變量，記X. 2.個(gè)體：總體中每個(gè)研究對象稱為個(gè)體.即每一個(gè)可能的觀察值.3.樣本：從總體X中，隨機(jī)地抽取n個(gè)個(gè)體, 稱為總體X的容量為n的樣本。注： 樣本是一個(gè)n維的隨機(jī)變量； 本書中提到的樣本都是指簡單隨機(jī)樣本，其滿足2個(gè)特性： 代表性：中每一個(gè)與總體X有相同的分布. 獨(dú)立性：是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量.4.樣本的聯(lián)合分布設(shè)總體X的分布函數(shù)為F(x)，則樣本的聯(lián)合分布函數(shù)為(1) 設(shè)總體X的概率密度函數(shù)為f (x), 則樣本的聯(lián)合密度

12、函數(shù)為 (2) 設(shè)總體X的概率函數(shù)為, 則樣本的聯(lián)合概率函數(shù)為二、統(tǒng)計(jì)量1. 定義 不含總體分布中任何未知參數(shù)的樣本函數(shù)稱為統(tǒng)計(jì)量,是的觀測值.注：（1）統(tǒng)計(jì)量是隨機(jī)變量； （2）統(tǒng)計(jì)量不含總體分布中任何未知參數(shù)； （3）統(tǒng)計(jì)量的分布稱為抽樣分布.2. 常用統(tǒng)計(jì)量（1）樣本矩：樣本均值 ； 其觀測值 . 可用于推斷：總體均值 E(X).樣本方差 ; 其觀測值 可用于推斷：總體方差D(X).樣本標(biāo)準(zhǔn)差 其觀測值 樣本k 階原點(diǎn)矩 其觀測值 樣本 k 階中心矩 其觀測值 注：比較樣本矩與總體矩，如樣本均值和總體均值E(X)；樣本方差與總體方差D(X)；樣本k階原點(diǎn)矩與總體k階原點(diǎn)矩；樣本k階中心矩

13、與總體k階原點(diǎn)矩. 前者是隨機(jī)變量，后者是常數(shù).(2)樣本矩的性質(zhì):設(shè)總體X的數(shù)學(xué)期望和方差分別為，為樣本均值、樣本方差，則 3.抽樣分布：統(tǒng)計(jì)量的分布稱為抽樣分布.三、 3大抽樣分布： 定義.設(shè)相互獨(dú)立，且，則注：若則（2）性質(zhì)（可加性）設(shè)相互獨(dú)立，且則2. t分布： 設(shè)X 與Y 相互獨(dú)立,且則注：t分布的密度圖像關(guān)于t=0對稱；當(dāng)n充分大時(shí)，t分布趨向于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N(0,1).3. F分布: 定義. 設(shè)X與Y相互獨(dú)立，且則(2) 性質(zhì). 設(shè)則.四、分位點(diǎn)定義：對于總體X和給定的若存在，使得則稱為X分布的分位點(diǎn)。注：常見分布的分位點(diǎn)表示方法（1）分布的分位點(diǎn) （2）分布的分位點(diǎn) 其性質(zhì)：

14、（3）分布的分位點(diǎn)其性質(zhì)（4）N(0,1)分布的分位點(diǎn)有第六章 參數(shù)估計(jì)一、點(diǎn)估計(jì):設(shè)為來自總體X的樣本，為X中的未知參數(shù)，為樣本值，構(gòu)造某個(gè)統(tǒng)計(jì)量作為參數(shù)的估計(jì)，則稱為的點(diǎn)估計(jì)量，為的估計(jì)值.2.常用點(diǎn)估計(jì)的方法：矩估計(jì)法和最大似然估計(jì)法.二、矩估計(jì)法1.基本思想: 用樣本矩（原點(diǎn)矩或中心矩）代替相應(yīng)的總體矩.2.求總體X的分布中包含的m個(gè)未知參數(shù)的矩估計(jì)步驟： 求出總體矩,即； 用樣本矩代替總體矩，列出矩估計(jì)方程： 解上述方程（或方程組）得到的矩估計(jì)量為： 的矩估計(jì)值為：3. 矩估計(jì)法的優(yōu)缺點(diǎn)： 優(yōu)點(diǎn)：直觀、簡單; 只須知道總體的矩,不須知道總體的分布形式. 缺點(diǎn)：沒有充分利用總體分布提供的信息；矩估計(jì)量不具有唯一性；可能估計(jì)結(jié)果的精度比其它估計(jì)法的低三、最大似然估計(jì)法1. 直觀想法：在試驗(yàn)中，事件A的概率P(A)最大, 則A出現(xiàn)的可能性就大；如果事件A出現(xiàn)了，我們認(rèn)為事件A的概率最大.2. 定義 設(shè)總體X的概率函數(shù)或密度函數(shù)為（或），其中參數(shù)未知，則X的樣本的聯(lián)合概率函數(shù)（或聯(lián)合密度函數(shù)）（或稱為似然函數(shù).3. 求最大似然估計(jì)的步驟：（1）求似然函數(shù):X離散： X連續(xù)： （2）求和似然方程：（3）解似然方程，得到最大似然估計(jì)值：（4）最后得到最大似然估計(jì)量：4. 最大似然估計(jì)法是在各種