數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法專(zhuān)項(xiàng)訓(xùn)練含答案

1、數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法專(zhuān)項(xiàng)訓(xùn)練1.如圖，曲線上的點(diǎn)與x軸的正半軸上的點(diǎn)及原點(diǎn)構(gòu)成一系列正三角形OP1Q1，Q1P2Q2，Qn-1PnQn設(shè)正三角形的邊長(zhǎng)為,nN(記為),.（1）求的值; （2）求數(shù)列的通項(xiàng)公式。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 2. 設(shè)都是各項(xiàng)為正數(shù)的數(shù)列，對(duì)任意的正整數(shù)，都有成等差數(shù)列，成等比數(shù)列（1）試問(wèn)是否成等差數(shù)列？為什么？（2）如果，求數(shù)列的前項(xiàng)和3. 已知等差數(shù)列中，8，66.（）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（）設(shè)，求證：.4. 已知數(shù)列中，（n2，），數(shù)列，滿足（）（1）求證數(shù)列是等差數(shù)列；（2）求數(shù)列中的最大項(xiàng)與最小項(xiàng)，并說(shuō)明理由；（3）記，求5. 已知數(shù)列an中，a1

2、>0, 且an+1=， ()試求a1的值，使得數(shù)列an是一個(gè)常數(shù)數(shù)列； ()試求a1的取值范圍,使得an+1>an對(duì)任何自然數(shù)n都成立； ()若a1 = 2，設(shè)bn = | an+1an| (n = 1，2，3，)，并以Sn表示數(shù)列bn的前n項(xiàng)的和，求證：Sn<6. （1）已知：，求證；（2）已知：，求證：。7. 已知數(shù)列各項(xiàng)均不為0，其前n項(xiàng)和為，且對(duì)任意，都有（p為大于1的常數(shù)），并記 .（1）求；（2）比較與的大小；（3）求證：().8. 已知，各項(xiàng)為正的等差數(shù)列滿足，又?jǐn)?shù)列的前項(xiàng)和是。（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求證數(shù)列是等比數(shù)列；（3）設(shè)，試問(wèn)數(shù)列有沒(méi)有最大項(xiàng)？如

3、果有，求出這個(gè)最大項(xiàng)，如果沒(méi)有，說(shuō)明理由。9. 設(shè)數(shù)列前項(xiàng)和為,且(3,其中m為常數(shù),m(1) 求證:是等比數(shù)列;若數(shù)列的公比q=f(m),數(shù)列滿足求證:為等差數(shù)列,求.10. 已知數(shù)列滿足：且，（）求，的值及數(shù)列的通項(xiàng)公式；（）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和；11. 將等差數(shù)列所有項(xiàng)依次排列，并作如下分組：第一組1項(xiàng)，第二組2項(xiàng)，第三組4項(xiàng)，第n組項(xiàng)。記為第n組中各項(xiàng)的和。已知。（1）求數(shù)列的通項(xiàng)；（2）求的通項(xiàng)公式；（3）設(shè)的前n項(xiàng)的和為，求。12. 設(shè)各項(xiàng)為正數(shù)的等比數(shù)列的首項(xiàng)，前n項(xiàng)和為，且。（）求的通項(xiàng)；（）求的前n項(xiàng)和。13. 設(shè)數(shù)列是首項(xiàng)為0的遞增數(shù)列，（）， 滿足：對(duì)于任意的總有兩個(gè)不同的

4、根。（1）試寫(xiě)出，并求出；（2）求，并求出的通項(xiàng)公式；（3）設(shè)，求。14. 已知數(shù)列，其中是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列；是公差為的等差數(shù)列；是公差為的等差數(shù)列（）.()若，求；（）試寫(xiě)出關(guān)于的關(guān)系式，并求的取值范圍；（）續(xù)寫(xiě)已知數(shù)列，使得是公差為的等差數(shù)列，依次類(lèi)推，把已知數(shù)列推廣為無(wú)窮數(shù)列. 提出同（2）類(lèi)似的問(wèn)題（2）應(yīng)當(dāng)作為特例），并進(jìn)行研究，你能得到什么樣的結(jié)論？ (所得的結(jié)論不必證明)15. 一種計(jì)算裝置，有一數(shù)據(jù)入口A和一個(gè)運(yùn)算出口B ，按照某種運(yùn)算程序：當(dāng)從A口輸入自然數(shù)1時(shí)，從B口得到 ，記為 ；當(dāng)從A口輸入自然數(shù)時(shí)，在B口得到的結(jié)果是前一個(gè)結(jié)果的倍.（1）當(dāng)從A口分別輸入自

5、然數(shù)2 ，3 ，4 時(shí)，從B口分別得到什么數(shù)？試猜想的關(guān)系式，并證明你的結(jié)論；（2）記為數(shù)列的前項(xiàng)的和。當(dāng)從B口得到16112195的倒數(shù)時(shí)，求此時(shí)對(duì)應(yīng)的的值.16. 已知數(shù)列，其前n項(xiàng)和Sn滿足是大于0的常數(shù)），且a1=1，a3=4.（1）求的值；（2）求數(shù)列的通項(xiàng)公式an；（3）設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為T(mén)n，試比較與Sn的大小.17. 定義：若數(shù)列滿足，則稱(chēng)數(shù)列為“平方遞推數(shù)列”已知數(shù)列中，且，其中為正整數(shù)(1)設(shè)，證明：數(shù)列是“平方遞推數(shù)列”，且數(shù)列為等比數(shù)列；(2)設(shè)(1)中“平方遞推數(shù)列” 的前項(xiàng)之積為，即，求數(shù)列的通項(xiàng)及關(guān)于的表達(dá)式；(3)記，求數(shù)列的前項(xiàng)之和，并求使的的最小值18. 在

6、不等邊ABC中，設(shè)A、B、C所對(duì)的邊分別為a，b，c，已知，依次成等差數(shù)列，給定數(shù)列，（1）試根據(jù)下列選項(xiàng)作出判斷，并在括號(hào)內(nèi)填上你認(rèn)為是正確選項(xiàng)的代號(hào)：數(shù)列，（）A是等比數(shù)列而不是等差數(shù)列B是等差數(shù)列而不是等比數(shù)列C既是等比數(shù)列也是等差數(shù)列D既非等比數(shù)列也非等差數(shù)列（2）證明你的判斷19. 已知是等差數(shù)列，其前n項(xiàng)和為Sn，已知a2=8，S10=185， （1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式； （2）設(shè)，證明是等比數(shù)列，并求其前n項(xiàng)和Tn.20. 已知數(shù)列an中，（n2，3，4，） （I）求的值； （II）證明當(dāng)n2，3，4，時(shí)，21. 已知等差數(shù)列中，是其前n項(xiàng)的和且 （I）求數(shù)列的通項(xiàng)公式。 （II）

7、若從數(shù)列中依次取出第2項(xiàng)，第4項(xiàng)，第8項(xiàng)，第項(xiàng)，按原來(lái)的順序組成一個(gè)新數(shù)列，求數(shù)列的前n項(xiàng)和。22. 已知正項(xiàng)等比數(shù)列滿足條件：；，求的通項(xiàng)公式23. 已知函數(shù)f（x）（axb）圖象過(guò)點(diǎn)A（2，1）和B（5，2）（1）求函數(shù)f（x）的解析式；（2）記，是否存在正數(shù)k，使得對(duì)一切均成立，若存在，求出k的最大值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由24. 已知f(x)=log2(x+m),mR（1）如果f(1)，f(2)，f(4)成等差數(shù)列，求m的值；（2）如果a,b,c是兩兩不等的正數(shù)，且a,b,c依次成等比數(shù)列，試判斷f(a)+f(c)與2f(b)的大小關(guān)系，并證明你的結(jié)論。25. 已知等差數(shù)列an的公差d&

8、gt;0.Sn是它的前n項(xiàng)和，又與的等比中項(xiàng)是，與的等差中項(xiàng)是6，求an。26. 和分別是等比數(shù)列和等差數(shù)列，它們的前四項(xiàng)和分別為120和60，而第二項(xiàng)與第四項(xiàng)的和分別是90和34，令集合，求證：27. 已知曲線C：， ： （）。從上的點(diǎn)作軸的垂線，交于點(diǎn)，再?gòu)狞c(diǎn)作軸的垂線，交于點(diǎn)，設(shè)。 （I）求的坐標(biāo)； （II）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（III）記數(shù)列的前項(xiàng)和為，求證：答案：1. 解：由條件可得,代入得 ；代入曲線并整理得,于是當(dāng)時(shí),即又當(dāng)；,故 所以數(shù)列是首項(xiàng)為、公差為的等差數(shù)列, 。2. 由題意，得， （1） （2） （1）因?yàn)?，所以由式?）得，從而當(dāng)時(shí)，代入式（1）得，即，故是等差數(shù)列（2

9、）由及式（1），式（2），易得 因此的公差，從而，得 （3）又也適合式（3），得，所以，從而 3. 解：（）（）， = 而是遞增數(shù)列 ， . 4. （1），而，是首項(xiàng)為，公差為1的等差數(shù)列（2）依題意有，而，對(duì)于函數(shù)，在x3.5時(shí)，y0，在（3.5，）上為減函數(shù)故當(dāng)n4時(shí)，取最大值3而函數(shù)在x3.5時(shí)，y0，在（，3.5）上也為減函數(shù)故當(dāng)n3時(shí)，取最小值，-1（3），5. ()欲使數(shù)列an是一個(gè)常數(shù)數(shù)列，則an+1= an 又依a1>0，可得an>0并解出：an=，即a1 = an = ()研究an+1an= (n2) 注意到>0因此，可以得出：an+1an，anan1，an

10、1an2，a2a1有相同的符號(hào)7要使an+1>an對(duì)任意自然數(shù)都成立,只須a2a1>0即可.由>0，解得：0<a1<()用與()中相同的方法，可得當(dāng)a1>時(shí)，an+1<an對(duì)任何自然數(shù)n都成立.因此當(dāng)a1=2時(shí)，an+1an<0 Sn= b1+b2+bn=|a2a1| + |a3a2| + |an+1an|=a1a2a2a3anan+1=a1an+1=2an+1 又：an+2=< an+1，可解得an+1>, 故Sn<2=6. （1）令，由x>0，t>1，原不等式等價(jià)于令f(t)=t-1-lnt，當(dāng)時(shí)，有，函數(shù)f(t

11、)在遞增f(t)>f(1)即t-1<lnt另令，則有g(shù)(t)在上遞增，g(t)>g(1)=0綜上得（2）由（1）令x=1,2,(n-1)并相加得即得7. (1)易求得（2）作差比較易得：（3）當(dāng)時(shí)，不等式組顯然成立. 當(dāng)由（2）知 再證而同理：，以上各式相加得：即 .8. （1），又 或 若，則，與矛盾； 若，則，顯然， （2）， 當(dāng)時(shí)，歐 時(shí)， 數(shù)列是以9為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列。 （3），設(shè)是數(shù)列中的最大項(xiàng)，則 由 可得數(shù)列有最大項(xiàng)，最大項(xiàng)是。9. （1）由是等比數(shù)列。（2）10. （）經(jīng)計(jì)算， 當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，即數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)成等差數(shù)列，； 當(dāng)為偶數(shù)，即數(shù)列的偶數(shù)項(xiàng)成等比數(shù)列

12、， 因此，數(shù)列的通項(xiàng)公式為 （）， （1） （2）（1）、（2）兩式相減，得 11. 設(shè)的公差為d，首項(xiàng)為，則 （1） （2）解得，則。（2）當(dāng)時(shí)，在前n-1組中共有項(xiàng)數(shù)為：。故第n組中的第一項(xiàng)是數(shù)列中的第項(xiàng)，且第n組中共有項(xiàng)。所以當(dāng)n=1時(shí)，也適合上式，故。（3）。即數(shù)列前8組元素之和，且這8組總共有項(xiàng)數(shù)。則12. （）由 得 即可得因?yàn)?，所?解得，因而 （）因?yàn)槭鞘醉?xiàng)、公比的等比數(shù)列，故則數(shù)列的前n項(xiàng)和 前兩式相減，得 即 13. （1）,當(dāng)時(shí), 又對(duì)任意的,總有兩個(gè)不同的根,， 由(1), 對(duì)任意的,總有兩個(gè)不同的根, 對(duì)任意的,總有兩個(gè)不同的根, 由此可得， （1） 當(dāng)， 當(dāng)，14.

13、 （1）. （2），當(dāng)時(shí)，. （3）所給數(shù)列可推廣為無(wú)窮數(shù)列，其中是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列，當(dāng)時(shí)，數(shù)列是公差為的等差數(shù)列. 研究的問(wèn)題可以是：試寫(xiě)出關(guān)于的關(guān)系式，并求的取值范圍 15. （1）由已知得 當(dāng)時(shí)， 1分同理可得 3分 猜想 下面用數(shù)學(xué)歸納法證明成立當(dāng)時(shí)，由上面的計(jì)算結(jié)果知成立 6分假設(shè)時(shí)，成立，即 ，那么當(dāng)時(shí)，即 當(dāng)時(shí)，也成立 綜合所述，對(duì) ，成立。 （2）由（1）可得 16. （I）解：由得， （II）由，數(shù)列是以S1+1=2為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列，當(dāng)n=1時(shí)a1=1滿足 （III），得，則. 當(dāng)n=1時(shí)，即當(dāng)n=1或2時(shí)，當(dāng)n>2時(shí)， 17. （1）由條件an

14、12an22an， 得2an114an24an1(2an1)2bn是“平方遞推數(shù)列”lgbn12lgbnlg(2a11)lg50，2lg(2an1)為等比數(shù)列（2）lg(2a11)lg5，lg(2an1)2n1×lg5，2an15，an(51)lgTnlg(2a11)lg(2a21)lg(2an1)(2n1)lg5Tn5（3）cn2，Sn2n12n2n212n22由Sn2008得2n222008，n1005，當(dāng)n1004時(shí)，n1005，當(dāng)n1005時(shí)，n1005，n的最小值為100518. （1）B（2）因?yàn)?、成等差?shù)列，所以，所以又，顯然，即、成等差數(shù)列若其為等比數(shù)列，有，所以，與

15、題設(shè)矛盾19. （1） 解得 （2）7分 是公比為8的等比數(shù)列10分 20. （I）， 4分 （II）當(dāng)k2，3，4，5，時(shí)， ， ， ， ， 21. （I）設(shè)數(shù)列的公差為d，則， 又 由（1）（2）得 數(shù)列的通項(xiàng)公式 （II） 數(shù)列的前n項(xiàng)和22. 設(shè)等比數(shù)列的公比為q，由已知條件，得÷得：，所以×，得，即或（舍去）由得：23. （1）由已知，得解得：（2）設(shè)存在正數(shù)k，使得對(duì)一切均成立，則記，則，F(xiàn)（n）是隨n的增大而增大，當(dāng)時(shí)，即k的最大值為24. （1）f(1),f(2),f(4)成等差數(shù)列，f(1)+f(4)=2f(2).即log2(1+m)+log2(4+m)=

16、log2(2+m)2(m+1)(m+4)=(m+2)2即m2+5m+4=m2+4m+4m=0(2) f(a)+f(c)=log2(a+m)+log2(c+m)=log2(a+m)(c+m),2f(b)=2log2(b+m)=log2(b+m)2,a,b,c成等比數(shù)列，(a+m)(c+m)-(b+m)2=ac+am+cm+m2-b2-2bm-m2=ac+m(a+c)-b2-2bm=m(a+c)-2ma>0,c>0.a+c2m>0時(shí)，(a+m)(c+m)-(b+m)2>0, log2(a+m)(c+m)>log2(b+m)2f(a)+f(c)>2f(b);m<0時(shí)，(a+m)(c+m)-(b+m)2<0,log2(a+m)(c+m)<log2(b+m)2f(a)+f(c)<2f(b);m=0時(shí)，(a+m)(c+m)-(b+m)2=0log2(a+m)(c