等邊三角形的性質(zhì)與判定

1、 等邊三角形和等腰三角形的性質(zhì)知識梳理等腰三角形：（）等腰三角形的性質(zhì) 1. 有關(guān)定理及其推論 定理：等腰三角形有兩邊相等； 定理：等腰三角形的兩個底角相等（簡寫成“等邊對等角”）。 推論1：等腰三角形頂角的平分線平分底邊并且垂直于底邊，這就是說，等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合。推論2：等邊三角形的各角都相等，并且每一個角都等于60°。等腰三角形是以底邊的垂直平分線為對稱軸的軸對稱圖形； （二）等腰三角形的判定 1. 有關(guān)的定理及其推論 定理：如果一個三角形有兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等（簡寫成“等角對等邊”。） 推論1：三個角都相等的三角形是等邊

2、三角形。 推論2：有一個角等于60°的等腰三角形是等邊三角形。推論3：在直角三角形中，如果一個銳角等于30°，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半。等邊三角形：定義：三條邊都相等的三角形 性質(zhì)：三邊相等，三角相等且都為60度，加等腰三角形性質(zhì)。判定：三條邊相等的三角形，三個角都為60度的三角形，有一個角是60度的等腰三角形。等邊三角形的判定方法：（1）有 邊相等的三角形叫做等邊三角形；（2）有 角相等的三角形叫做等邊三角形；（3）有 個內(nèi)角都等于600的三角形叫做等邊三角形；（4）有 個內(nèi)角等于600的 三角形叫做等邊三角形。典型例題例1. 如圖，已知在等邊三角形ABC中，D是

3、AC的中點，E為BC延長線上一點，且CECD，DMBC，垂足為M。求證：M是BE的中點。 例2. 如圖，已知：中，D是BC上一點，且，求的度數(shù)。 例3. 已知：如圖，中，于D。求證：。 例4. 如圖，中，BD平分。求證：。 例5. 如圖，已知點B、C、D在同一條直線上，ABC和CDE都是等邊三角形BE交AC于F，AD交CE于H，求證：（1）BCEACD （2） CF=CH （3）FH/BD線段的垂直平分線與角平分線專題學(xué)習(xí)【知識總結(jié)】1、線段的垂直平分線的性質(zhì)定理：_.如右圖，幾何語言表述為：_.2、線段的垂直平分線的性質(zhì)定理的逆定理：_.如右圖，幾何語言表述為：_.3、線段中垂線的尺規(guī)作圖法

4、：4、三角心的外心： 三角形三邊的中垂線交于一點，它到_距離相等，這個點就叫做三角形的外心.5、角分線的性質(zhì)定理：_.如右圖，幾何語言表述為：_.6、角平分線性質(zhì)定理的逆定理：_.如右圖，幾何語言表述為：_.7、角平分線的尺規(guī)作圖法：8、三角心的內(nèi)心： 三角形三邊的角平分線交于一點，它到_距離相等，這個點就叫做三角形的內(nèi)心.【例題解析】例1：如圖，在ABC中，AC=27，DE為AB的中垂線，BCE的周長等于50，求BC的長. 例2：如圖，A、B是兩個倉庫，直線CD是河，要在河上建碼頭，使碼頭到兩個倉庫的距離相等，問倉庫應(yīng)建在什么地方？(保留作圖痕跡即可) 例3：如圖，求作點P，使P到C、D的距

5、離相等，同時到角兩邊的距離也相等. 例4：如圖，已知ACB、ADB都是直角，且ACAD，P是AB上任意一點求證：CPDP例5：如圖，ABC的外角平分線DBC、ECB的平分線相交于點F.求證：點F在A的平分線上. 例6：如圖，AD是ABC的角平分線，EF是AD的中垂線，求證：(1)EAD=EDA；(2)DFAC；(3)EAC=B.例7：如圖，A、B、C三點在同一直線上，分別以AB、BC為邊在直線的同旁作等邊三角形ABD、BCE，連結(jié)AE交BD于M，連結(jié)CD交BE于N，連結(jié)MN，求證：BMN是等邊三角形。例8：如圖，已知在ABC中，ABAC，A120°，AB的垂直平分線MN分別交BC、A

6、B于點M、N求證：CM2BM題組一：1、 如圖，AP平分BAC，且PEAB，PFAC，PE=，則PF=_. 第1題 第3題 第4題2、 在ABC中，C=90º，BD是ABC的平分線.已知，AC=32，且AD：DC=5：3，則點D到AB的距離為_.3、如圖，在RtABC中，C=90º，AC=BC，AD是CAB的角平分線，DEAB.若AB=8，則DEB的周長是_.4、如圖，在ABC中，OB平分ABC，OC平分ABC，MNBC且過點O.若AB=8，AC=7，則AMN的周長是_.5、如圖，在ABC中，AB=AC，AD是中線，且DEAB，DFAC，求證：BE=DF.(要求證明過程中要

7、用到角平分線性質(zhì)定理)6、如圖，已知：ADOB于D，BDOA于C，AD、BC相交于E，且EA=EB.求證：EO為AOB的平分線.題組二：1、如圖，0P是AOB的角平分線，PCAO，PDOB，則PD與PC的大小關(guān)系為( )APC>PD BPC=PD CPC<PD D不能確定 第1題 第2題 第3題2、如圖，有A、B、C三個居民小區(qū)的位置成三角形，現(xiàn)決定在三個小區(qū)之間修一個超市，使超市到三個小區(qū)的距離相等，則超市應(yīng)建在( )A在AC、BC兩邊高線的交點處 B.在AC、BC兩邊中線的交點處C在AC、BC兩邊垂直平分線的交點處 D.在A、B的角平分線的交點處3、如圖，CD是RtABC斜邊A

8、B上的高，將BCD沿CD折疊，B點恰好落在AB的中點E處，則A等于( )A25º B.30º C.45º D.60º 4、如圖，直線L過正方形ABCD的頂點B，點A、C到直線L的距離分別是1和2，則正方形的面積是_.5、如圖，CEAB于點E，BDAC于點D，BD、CE交于點O，且AO平分BAC求證：OBOC6、如圖，BDA、HDC都是等腰直角三角形，且D在BC上，BH的延長線與 AC交于點E，請你判斷線段AC與BH有什么關(guān)系？并說明理由.課堂練習(xí)1如圖，在等邊中，點分別在邊上，且，與交于點DAEFBC（1）求證：； （2）求的度數(shù) 2. 已知：如圖，在A

9、BC中，ABAC，D是BC的中點，DEAB，DFAC，E、F分別是垂足。求證：AEAF。 3如圖 ABC中，ACB=900，AC=BC，AE是BC邊上的中線，過C作CFAE于F ，過B作BDBC交CF的 延長線于D.求證 ：AE=CD 4. 中，AB的中垂線交AB于D，交CA延長線于E，求證：。5. 如圖，在ABC中，D在AB上，且CAD和CBE都是等邊三角形，說明：（1）DE=AB，（2）EDB=60°6如圖所示，在ABC中，AB=AC，ADB和ACE都是等邊三角形，且DAE=DBC，求BAC的度數(shù)。課后作業(yè)一、選擇題1正ABC的兩條角平分線BD和CE交于點I，則BIC等于（ ）

10、A60° B90° C120° D150°2下列三角形：有兩個角等于60°；有一個角等于60°的等腰三角形；三個外角（每個頂點處各取一個外角）都相等的三角形；一腰上的中線也是這條腰上的高的等腰三角形其中是等邊三角形的有（ ） A B C D3RtABC中，CD是斜邊AB上的高，B=30°，AD=2cm，則AB的長度是（ ）A2cm B4cm C8cm D16cm4如圖，D、E、F分別是等邊ABC各邊上的點，且AD=BE=CF，則DEF的形狀是（ ） A等邊三角形 B腰和底邊不相等的等腰三角形 C直角三角形 D不等邊三角形 第

11、4題圖 第5題圖 第6題圖5如圖，E是等邊ABC中AC邊上的點，1=2，BE=CD，則ADE的形狀是（ ）A等腰三角形 B等邊三角形 C不等邊三角形 D不能確定形狀6. 如圖，ABC中，ABAC，A36°，BD、CE分別為ABC與ACB的角平分線，且相交于點F，則圖中的等腰三角形有（ ） A. 6個 B. 7個 C. 8個 D. 9個7. 等腰三角形底邊長為5cm，一腰上的中線把其周長分為兩部分的差為3cm，則腰長為（ ） A. 2cmB. 8cmC. 2cm或8cmD. 以上都不對二、填空題1ABC中，AB=AC，A=C，則B=_2已知AD是等邊ABC的高，BE是AC邊的中線，AD與BE交于點F，則AFE=_3等邊三角形是軸對稱圖形，它有_條對稱軸，分別是