相似三角形的判定方法

1、(一)相似三角形1、定義：對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例的兩個(gè)三角形，叫做相似三角形當(dāng)一個(gè)三角形的三個(gè)角與另一個(gè)(或幾個(gè))三角形的三個(gè)角對應(yīng)相等，且三條對應(yīng)邊的比相等時(shí)，這兩個(gè)(或幾個(gè))三角形叫做相似三角形，即定義中的兩個(gè)條件，缺一不可；相似三角形的特征：形狀一樣，但大小不一定相等；相似三角形的定義，可得相似三角形的基本性質(zhì)：對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例2、相似三角形對應(yīng)邊的比叫做相似比全等三角形一定是相似三角形，其相似比k=1所以全等三角形是相似三角形的特例其區(qū)別在于全等要求對應(yīng)邊相等，而相似要求對應(yīng)邊成比例相似比具有順序性例如ABCABC的對應(yīng)邊的比，即相似比為k，則ABCABC的相似比，當(dāng)它們?nèi)?/p>

2、時(shí)，才有k=k=1相似比是一個(gè)重要概念，后繼學(xué)習(xí)時(shí)出現(xiàn)的頻率較高，其實(shí)質(zhì)它是將一個(gè)圖形放大或縮小的倍數(shù)，這一點(diǎn)借助相似三角形可觀察得出3、如果兩個(gè)邊數(shù)相同的多邊形的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例，那么這兩個(gè)多邊形叫做相似多邊形4、相似三角形的預(yù)備定理：平行于三角形的一條邊直線，截其它兩邊所在的直線，截得的三角形與原三角形相似定理的基本圖形有三種情況，如圖其符號語言：DEBC，ABCADE；（雙A型）這個(gè)定理是用相似三角形定義推導(dǎo)出來的三角形相似的判定定理它不但本身有著廣泛的應(yīng)用，同時(shí)也是證明相似三角形三個(gè)判定定理的基礎(chǔ)，故把它稱為“預(yù)備定理”；有了預(yù)備定理后，在解題時(shí)不但要想到 “見平行，想比例”，

3、還要想到“見平行，想相似”(二)相似三角形的判定1、相似三角形的判定：判定定理1：如果一個(gè)三角形的兩個(gè)角與另一個(gè)三角形的兩個(gè)角對應(yīng)相等，那么這兩個(gè)三角形相似?？珊唵握f成：兩角對應(yīng)相等，兩三角形相似。例1、已知：如圖，1=2=3，求證：ABCADEABCDEF第4題例2、如圖，E、F分別是ABC的邊BC上的點(diǎn)，DEAB,DFAC ,求證：ABCDEF. 判定定理2：如果三角形的兩組對應(yīng)邊的比相等，并且相應(yīng)的夾角相等，那么這兩個(gè)三角形相似。簡單說成：兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等，兩三角形相似例1、ABC中，點(diǎn)D在AB上，如果AC2=ADAB，那么ACD與ABC相似嗎？說說你的理由例2、如圖，點(diǎn)C、D在

4、線段AB上，PCD是等邊三角形。（1）當(dāng)AC、CD、DB滿足怎樣的關(guān)系時(shí)，ACPPDB？（2）當(dāng)ACPPDB時(shí)，求APB的度數(shù)。判定定理3：如果三角形的三組對應(yīng)邊的比相等，那么這兩個(gè)三角形相似。簡單說成：三邊對應(yīng)成比例，兩三角形相似強(qiáng)調(diào)：有平行線時(shí)，用預(yù)備定理；已有一對對應(yīng)角相等(包括隱含的公共角或?qū)斀?時(shí)，可考慮利用判定定理1或判定定理2；已有兩邊對應(yīng)成比例時(shí)，可考慮利用判定定理2或判定定理3但是，在選擇利用判定定理2時(shí)，一對對應(yīng)角相等必須是成比例兩邊的夾角對應(yīng)相等2、直角三角形相似的判定：斜邊和一條直角邊對應(yīng)成比例，兩直角三角形相似例1、已知：如圖，在正方形ABCD中，P是BC上的點(diǎn)，且

5、BP3PC，Q是CD的中點(diǎn)求證：ADQQCP例2、如圖,ABBD,CDBD,P為BD上一動點(diǎn),AB=60 cm,CD=40 cm,BD=140 cm,當(dāng)P點(diǎn)在BD上由B點(diǎn)向D點(diǎn)運(yùn)動時(shí),PB的長滿足什么條件,可以使圖中的兩個(gè)三角形相似?請說明理由.例3、如圖ADAB于D，CEAB于E交AB于F，則圖中相似三角形的對數(shù)有對。例4、已知：AD是RtABC中A的平分線，C=90°，EF是AD的垂直平分線交AD于M，EF、BC的延長線交于一點(diǎn)N。求證：(1)AMENMD (2)ND2=NC·NB由于直角三角形有一個(gè)角為直角，因此，在判定兩個(gè)直角三角形相似時(shí)，只需再找一對對應(yīng)角相等，用

6、判定定理1，或兩條直角邊對應(yīng)成比例，用判定定理2，一般不用判定定理3判定兩個(gè)直角三角形相似；如圖是一個(gè)十分重要的相似三角形的基本圖形，圖中的三角形，可稱為“母子相似三角形”，其應(yīng)用較為廣泛（直角三角形被斜邊上的高分成的兩個(gè)直三角形的與原三角形相似）如圖，可簡單記為：在RtABC中，CDAB，則ABCCBDACD補(bǔ)充射影定理。特殊情況：第一：頂角（或底角）相等的兩個(gè)等腰三角形相似。 第二：腰和底對應(yīng)成比例的兩個(gè)等腰三角形相似。第三：有一個(gè)銳角相等的兩個(gè)直角三角形相似。第四：直角三角形被斜邊上的高分成的兩個(gè)直角三角形和原三角形相似。第五：如果一個(gè)三角形的兩邊和其中一邊上的中線與另一個(gè)三角形的兩邊和

7、其中一邊上的中線對應(yīng)成比例，那么這兩個(gè)三角形相似。三角形相似的判定方法與全等的判定方法的聯(lián)系列表如下：類型斜三角形直角三角形全等三角形的判定SASSSSAAS（ASA）HL相似三角形 的判定兩邊對應(yīng)成比例夾角相等三邊對應(yīng)成比例兩角對應(yīng)相等一條直角邊與斜邊對應(yīng)成比例二、重點(diǎn)難點(diǎn)疑點(diǎn)突破1、尋找相似三角形對應(yīng)元素的方法與技巧正確尋找相似三角形的對應(yīng)元素是分析與解決相似三角形問題的一項(xiàng)基本功通常有以下幾種方法：(1)相似三角形有公共角或?qū)斀菚r(shí)，公共角或?qū)斀鞘亲蠲黠@的對應(yīng)角；相似三角形中最大的角(或最小的角)一定是對應(yīng)角；相似三角形中，一對相等的角是對應(yīng)角，對應(yīng)角所對的邊是對應(yīng)邊，對應(yīng)角的夾邊是對

8、應(yīng)邊；(2)相似三角形中，一對最長的邊(或最短的邊)一定是對應(yīng)邊；對應(yīng)邊所對的角是對應(yīng)角；對應(yīng)邊所夾的角是對應(yīng)角（3）對應(yīng)字母要寫在對應(yīng)的位置上，可直接得出對應(yīng)邊，對應(yīng)角。2、常見的相似三角形的基本圖形：學(xué)習(xí)三角形相似的判定，要與三角形全等的判定相比較，把證明三角形全等的思想方法遷移到相似三角形中來；對一些出現(xiàn)頻率較高的圖形，要善于歸納和記憶；對相似三角形的判定思路要善于總結(jié)，形成一整套完整的判定方法如： (1)“平行線型”相似三角形，基本圖形見前圖“見平行，想相似”是解這類題的基本思路；(2)“相交線型”相似三角形，如上圖其中各圖中都有一個(gè)公共角或?qū)斀恰耙娨粚Φ冉牵伊硪粚Φ冉腔驃A等角的兩

9、邊成比例”是解這類題的基本思路；(3)“旋轉(zhuǎn)型”相似三角形，如圖若圖中1=2，B=D(或C=E)，則ADEABC，該圖可看成把第一個(gè)圖中的ADE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)某一角度而形成的從基本圖形入手能較順利地找到解決問題的思路和方法，能幫助我們盡快地找到添加的輔助線以上“平行線型”是常見的，這類相似三角形的對應(yīng)元素有較明顯的順序，“相交線型”識圖較困難，解題時(shí)要注意從復(fù)雜圖形中分解或添加輔助線構(gòu)造出基本圖形練習(xí)：1、如圖，下列每個(gè)圖形中，存不存在相似的三角形，如果存在，把它們用字母表示出來，并簡要說明識別的根據(jù)。2、如圖27-2-1-12,在大小為4×4的正方形方格中,ABC的頂點(diǎn)A,B,C在單位

10、正方形的頂點(diǎn)上,請?jiān)趫D中畫一個(gè)A1B1C1,使A1B1C1ABC(相似比不為1),且點(diǎn)A1,B1,C1都在單位正方形的頂點(diǎn)上.圖27-2-1-121、尋找相似三角形的個(gè)數(shù)例1、(吉林)將兩塊完全相同的等腰直角三角形擺成如圖的樣子，假設(shè)圖形中所有點(diǎn)、線都在同一平面內(nèi)，回答下列問題：(1)圖中共有多少個(gè)三角形？把它們一一寫出來；(2)圖中有相似(不包括全等)三角形嗎？如果有，就把它們一一寫出來如圖，ABC中，點(diǎn)D、E分別在邊AB、AC上，連接并延長DE交BC的延長線于點(diǎn)F，連接DC、BE，若BDEBCE180°。寫出圖中3對相似三角形（注意：不得添加字母和線）請?jiān)谀闼页龅南嗨迫切沃羞x

11、取1對，說明它們相似的理由。1、如圖，在正方形網(wǎng)格上有6個(gè)三角形：，其中-中與相似的是 。2、畫符合要求的相似三角形例1、(上海)在大小為4×4的正方形方格中，ABC的頂點(diǎn)A、B、C在單位正方形的頂點(diǎn)上，請?jiān)趫D中畫出一個(gè)A1B1C1，使得A1B1C1ABC(相似比不為1)，且點(diǎn)A1、B1、C1都在單位正方形的頂點(diǎn)上3、相似三角形的判定例1、(1)如圖，O是ABC內(nèi)任一點(diǎn)，D、E、F分別是OA、OB、OC的中點(diǎn)，求證：DEFABC；(2)如圖，正方形ABCD中，E是BC的中點(diǎn)，DF=3CF，寫出圖中所有相似三角形，并證明例2、如圖，在ABC中，DF經(jīng)過ABC的重心G，且DFAB，DEA

12、C，連接EF，如果BC=5，AC=AB.求證:DEFABC 4、直角三角形中相似的判定例1、如圖，ABC中，BAC=90°，ADBC于D，DE為AC的中線，延長線交AB的延長于F，求證：AB·AF=AC·DF。例2、已知：如圖，在ABC中，ACB=90°，CDAB于D，E是AC上一點(diǎn)，CFBE于F。求證：EB·DF=AE·DB5、相似三角形的綜合運(yùn)用例1、如圖，CD是RtABC斜邊AB上的中線，過點(diǎn)D垂直于AB的直線交BC于E，交AC延長線于F求證：(1)ADFEDB；(2)CD2=DE·DF例2、如圖，AD是ABC的角平分線，BEAD于E，CFAD于F求證：例3、如圖，在正方形ABCD中，M、N分別是AB、BC上的點(diǎn)，BM=BN，BPMC于點(diǎn)P求證： PNPD6、相似三角形中輔助線的添加（1）、作垂線3. 如圖從 ABCD頂點(diǎn)C向AB和AD的延長線引垂線CE和CF，垂足分別為E、F，求證：。（2）、作延長線例1、 如圖，RtABC中，CD為斜邊AB上的高，E為CD的中點(diǎn)，AE的延長線交BC于F，F(xiàn)GAB于G，求證：FG=CFBF（3）、作中線例1、 如圖，中，ABAC