群論初步習題

1、第十二章 群論簡介習題§12.1群的定義和例子設為一切不等于零的有理數(shù)所成的集合，證明對于數(shù)的乘法作成一個群【證明】）任意兩個非零的有理數(shù)的乘積為非零有理數(shù)，故對數(shù)的乘法封閉；）數(shù)的乘法結(jié)合律對一切數(shù)都成立，自然對也成立；）是非零有理數(shù)，且對任何一個非零有理數(shù)a，說明是的單位元素；）對任意的非零有理數(shù)a，則是非零有理數(shù)，且，說明a的逆元是，根據(jù)群的定義，即知集合對數(shù)的乘法作成一個群是由a，b，c三個元素所作成的集合，它的乘法表是abcabcabcbcacab判別是否成群？【解】由乘法表容易看到，對規(guī)定的乘法是封閉的，a是的單位元素，a、b、c的逆元分別是a、c、b以下只要證明結(jié)合律成

2、立即可因為(ab)cbca，a(bc)aaa，故(ab)ca(bc)；同法可知a(cb)(ac)ba，(ba)cb(ac)a，(bc)ab(ca)a，(ca)bc(ab)a，(cb)ac(ba)a，以上個式子說明結(jié)合律對規(guī)定的乘法是成立的，因此對規(guī)定的乘法作成一個群證明下列四個方陣，對于矩陣乘法作成一個群，寫出的乘法表是否循環(huán)群？是否交換群？，【證明】先寫出乘法表由乘法表看出，集合，對矩陣乘法封閉，結(jié)合律對任何矩陣的乘法滿足，自然對中的矩陣也滿足，而矩陣是單位元，元素、的逆元素分別是它們自身，故對矩陣的乘法作成群但（），（），（），（），它們都不等于，從而不是循環(huán)群由乘法表的對稱性，可知群是一

3、個交換群§12.2置換群求置換的乘積：【解】把置換表為輪換的乘積：（），【解】；（）【解】證明：（）；（）設，為兩個不相交的輪換，則【證明】（）,（恒等變換）同理可證，所以（）設，其中沒有相同的數(shù)字則 .寫出四次對稱群的所有置換【解】四次對稱群的全體置換（共個）用輪換的形式表示就是：（）；（），（），（），（），（），（）；（），（），（），（），（），（），（），（）；（），（），（），（），（）（）；（）（），（）（），（）（）§12.3子群及其陪集求出三次對稱群的所有子群【解】，它的平凡子群為單位元群及本身；其階子群有個，即，；三階子群只有個，即，由拉格朗日定理，不可

4、能有其它階數(shù)的真子群，因此以上所列就是的所有子群證明：階為質(zhì)數(shù)的群一定是循環(huán)群【證明】設群的階為質(zhì)數(shù)p，則必含有周期大于的元素，不妨設為a，其周期為m，故由a生成的循環(huán)群（a）是群的子群，其階數(shù)為m，由拉格朗日定理知，m整除p，但p是質(zhì)數(shù)，故mp，從而（a），即是循環(huán)群證明：階為質(zhì)數(shù)冪的群中包含一個階為p的子群【證明】設群的階為，因p為質(zhì)數(shù)，故群含有非單位元素a設a的周期為n，由拉格朗日定理的推論，知n整除，即，若r，則循環(huán)群（a）是的p階子群；若，那么循環(huán)群（）是的p階子群證完證明：循環(huán)群的子群也是循環(huán)群【證明】設是循環(huán)群，是其子群若是單位元群，則顯然，故結(jié)論成立下面討論不是單位元群的情況若

5、（），其中不是單位元，是的子群，但不是單位元群，那么中必含有m的冪不妨就設是中a的最小正冪，顯然包含的任何乘冪若是中的任意元素，由stmr，可知也是中的元素，但m是最小正整數(shù)，而且，故r，于是，這就是說，中的任意元素都是的冪，即只含有的任意乘冪，所以是由生成的循環(huán)群，即（）這樣就證明了命題證明：群的一個元素a是恒等元的充分必要條件為a適合關系【證明】必要性是顯然的下面只證充分性設群的恒等元為e，由于，在關系式兩端同時乘a的逆元，有而，所以，即a是群的單位元§12.4共軛類與子群設，求【解】使用教材頁的方法，對置換的上下兩行分別施行置換，得設四階群，的乘法表為求出的所有共軛類【解】由的

6、乘法表看出，群是可換群，故群的每一個元素就是一個共軛類即群有四個共軛類：，證明：指數(shù)為的子群一定是正規(guī)子群【證明】設為群的子群，由于：，則群按子群的左分解為按的右分解為，其中因此，即對任意的，都有若，則，即顯然成立依正規(guī)子群的定義，是正規(guī)子群證明：交換群的每一個子群都是正規(guī)子群【證明】設為交換群，為的子群，則對任意的，都有，即，所以是正規(guī)子群求四次對稱群的所有共軛類【解】由§的習題，知的所有置換（共個）為（）；（），（），（），（），（），（）；（），（），（），（），（），（），（），（）；（），（），（），（），（）（）；（）（），（）（），（）（）再由教材頁的定理，具有相同的輪

7、換結(jié)構的置換必共軛，知共有個共軛類，即上面的每一行的置換組成一個共軛類§12.5點群證明：點群含有三個共軛類【證明】點群有一個三重軸（取為z軸）及三條二重軸（與z軸垂直），其元素為，其中,這個群的乘法表為 由教材頁例給出的方法，可知：屬于一個共軛類這是因為有共同的旋轉(zhuǎn)軸，而變換即保持它不變屬于另一個共軛類因為只要作變換或，反映的對稱平面即可互相轉(zhuǎn)化而是恒等變換，它單獨成一類 所以兩面體群共有三個共軛類求出點群的元素和它的乘法表【解】把反映加到旋轉(zhuǎn)群上去，并用分別乘，即得點群它的乘法表為注意上述乘法表使用了可換性設為以原點為對稱中心的反演，證明是一個群【證明】寫出的乘法表則顯然是一個群

8、§126同構對應和同態(tài)對應證明：三次對稱群與點群兩面體群同構【證明】三次對稱群元素為（），（），（），（），（），（）其乘法表為而的乘法表為（上節(jié)習題）：作從對應到的對應：，比較兩個群，發(fā)現(xiàn)它們有共同的乘法表，故與同構證明：點群與點群同構【證明】點群與點群，它們的乘法表分別為 作兩個群之間的對應：則由兩個群的乘法表可知，是一個同構對應，從而點群與點群同構證明：點群與下面的矩陣乘群同構，【證明】的乘法表參見教材頁作矩陣乘群的乘法表，作與矩陣乘群之間的一一對應：比較它們的乘法表，知與矩陣乘群同構證明：群的子群與每一個左陪集之間存在對應【證明】假如，則下面分兩種情況討論）的情形，此時有，則

9、的元素與自身的對應（即恒等對應）就是一個一一對應；）的情形，作到的對應，則可證是一一對應事實上，對中不同的元素，則它們的象，否則將會有，這說明不同元素的象也不同，即是一個單射；另一方面，如果ah是aH的一個元素，則按aH的定義，即知是的一個原象，這說明是從到上的對應，即是一個滿射，從而是一一對應綜上所述，與之間存在對應證明：存在一個從點群到點群上的同態(tài)對應【證明】點群和點群的乘法表分別是作對應，則，表示中的任意一個變換，注意到兩個群都是交換群，故是從點群到點群的一個同態(tài)對應證明：除同構對應外，只有兩個四階群【證明】設四階群，則由拉格朗日定理的推論，即知群的元素的周期只能是或或，但a，b，c的周期不能是，故它們的周期必為或） 若a，b，c之中有一個元素（比如說a）的周期