相似三角形輔助線(教師版)

1、相似三角形（輔助線的做法）在添加輔助線時(shí)，所添加的輔助線往往能夠構(gòu)造出一組或多組相似三角形，或得到成比例的線段或出等角，等邊，從而為證明三角形相似或進(jìn)行相關(guān)的計(jì)算找到等量關(guān)系。主要的輔助線有以下幾種：作平行線例1：如圖，D是ABC的BC邊上的點(diǎn)，BD：DC=2：1，E是AD的中點(diǎn)，求：BE：EF的值. 解法一：過點(diǎn)D作CA的平行線交BF于點(diǎn)P，則 PE=EF BP=2PF=4EF 所以BE=5EF BE：EF=5：1.解法二：過點(diǎn)D作BF的平行線交AC于點(diǎn)Q， BE：EF=5：1.解法三：過點(diǎn)E作BC的平行線交AC于點(diǎn)S，解法四：過點(diǎn)E作AC的平行線交BC于點(diǎn)T，BD=2DC BE：EF=5：

2、1.練習(xí)：如圖，D是ABC的BC邊上的點(diǎn)，BD：DC=2：1，E是AD的中點(diǎn), 連結(jié)BE并延長(zhǎng)交AC于F, 求AF：CF的值.（答案2：3）解法一：過點(diǎn)D作CA的平行線交BF于點(diǎn)P，解法二：過點(diǎn)D作BF的平行線交AC于點(diǎn)Q，解法三：過點(diǎn)E作BC的平行線交AC于點(diǎn)S，解法四：過點(diǎn)E作AC的平行線交BC于點(diǎn)T，例2：如圖，在ABC的AB邊和AC邊上各取一點(diǎn)D和E，且使ADAE，DE延長(zhǎng)線與BC延長(zhǎng)線相交于F，求證： （證明：過點(diǎn)C作CG/FD交AB于G）（該題關(guān)鍵在于ADAE這個(gè)條件怎樣使用.由這道題還可以增加一種證明線段相等的方法：相似、成比例.）例3：如圖，ABC中，AB<AC，在AB、

3、AC上分別截取BD=CE，DE，BC的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)F，證明：AB·DF=AC·EF.分析：證明等積式問題常常化為比例式，再通過相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例來證明。不相似，因而要通過兩組三角形相似，運(yùn)用中間比代換得到，為構(gòu)造相似三角形，需添加平行線。.方法一：過E作EM/AB，交BC于點(diǎn)M，則EMCABC（兩角對(duì)應(yīng)相等，兩三角形相似）.方法二：過D作DN/EC交BC于N.例4：在ABC中，D為AC上的一點(diǎn)，E為CB延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，BE=AD，DE交AB于F。求證：EF×BC=AC×DF 證明：過D作DGBC交AB于G，則DFG和EFB相似， BEAD, 由DG

4、BC可得ADG和ACB相似， 即EF×BCAC×DF.例5：已知點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，過D點(diǎn)的直線交AC于E,交BA的延長(zhǎng)線于F,求證：分析：利用比例式夠造平行線，通過中間比得結(jié)論 .（或利用中點(diǎn)”倍長(zhǎng)中線”的思想平移線段EC,使得所得四條線段分別構(gòu)成兩個(gè)三角形.）例6：已知：在等腰三角形ABC中，AB=AC，BD是高，求證：BC2=2AC·CD分析：本題的 重點(diǎn)在于如何解決“2”倍的 問題；讓它歸屬一條線段，找到這一線段2倍是哪一線段.例7:已知：從直角三角形ABC的 直角頂點(diǎn)A向斜邊BC引垂線，垂足為D，邊AC的中點(diǎn)為E,直線ED與邊AB的延長(zhǎng)線交于F，求證：AB

5、:AC=DF:AF分析：利用前兩題的 思想方法，借助中點(diǎn)構(gòu)造中位線，利用平行與2倍關(guān)系的 結(jié)論，證明所得結(jié)論. 找到后以比例式所在三角形與哪個(gè)三角形相似. 例8：如圖，ABC中，AD是BC邊上中線，E是AC上一點(diǎn)，連接ED且交AB的延長(zhǎng)線于F點(diǎn).求證：AE：EC=AF：BF.分析：注意觀察圖形的 特殊性，有些像全等中，旋轉(zhuǎn)的基本圖形，因此可以沒有相互關(guān)系的 成比例的四條線段轉(zhuǎn)化為成比例的四條線段（通過全等找相等的線段）關(guān)鍵是要把成比例線段放在兩個(gè)三角形中.例9：如圖，平行四邊形ABCD中，E為AB邊中點(diǎn)，點(diǎn)F在AD邊上，且AF：FD=1：2，EF交AC于G，求AG：GC的值（構(gòu)造線段相等轉(zhuǎn)化比

6、例式）例10：在ABC中，AB=AC,AD是中線，P是AD上一點(diǎn)，過C作CFAB,延長(zhǎng)BP交AC于E，交CF于F,求證：BP²=PE·PF分析：在同一直線上的三條線段成比例，可以通過中間比轉(zhuǎn)化，也可以通過線段相等，把共線的線段轉(zhuǎn)化為兩個(gè)三角形中的線段，通過相似證明.另外在證明等積式時(shí)要先轉(zhuǎn)化為比例式觀察相似關(guān)系，有利于證明. 例11：如圖，梯形ABCD中，ADBC，AC、BD交于O點(diǎn)，BA、CD的延長(zhǎng)線交于E點(diǎn)，連結(jié)EO并延長(zhǎng)分別交AD、BC于N、M求證： BM=CM （證明線段相等的又一方法）作垂線例12：如圖從 ABCD頂點(diǎn)C向AB和AD的延長(zhǎng)線引垂線CE和CF，垂足分

7、別為E、F，求證：證明：過B作BMAC于M，過D作DNAC于N AM：AE=AB：AC （1） （1）+（2）得例13：ABC中，AC=BC，P是AB上一點(diǎn)，Q是PC上一點(diǎn)（不是中點(diǎn)），MN過Q且MNCP，交AC、BC于M、N，求證：證明：過P作PEAC于E，PFCB于F，則CEPF為矩形 PF EC AB=45° RtAEP=RtPFB EC=PF （1） 在ECP和CNM中CPMN于Q QCN+QNC=90°又 QCN+QCM=90° MCQ=CNQRtPECRtMCN 即 （2） 由（1）（2）得作延長(zhǎng)線例14. 如圖，在梯形ABCD中，ADBC，若BCD的

8、平分線CHAB于點(diǎn)H，BH=3AH，且四邊形AHCD的面積為21，求HBC的面積。分析：因?yàn)閱栴}涉及四邊形AHCD，所以可構(gòu)造相似三角形。把問題轉(zhuǎn)化為相似三角形的面積比而加以解決。 解：延長(zhǎng)BA、CD交于點(diǎn)P CHAB，CD平分BCD CB=CP，且BH=PH BH=3AH PA：AB=1：2 PA：PB=1：3 ADBC PADPBC例15. 如圖，RtABC中，CD為斜邊AB上的高，E為CD的中點(diǎn)，AE的延長(zhǎng)線交BC于F，F(xiàn)GAB于G，求證：FG=CF·BF分析：欲證式即 由“三點(diǎn)定形”，BFG與CFG會(huì)相似嗎？顯然不可能。 （因?yàn)锽FG為Rt），但由E為CD的中點(diǎn)，可設(shè)法構(gòu)造一個(gè)與BFG相似的三角形來求解。不妨延長(zhǎng)GF與AC的延長(zhǎng)線交于H，則 又ED=EC FG=FH 又易證RtCFHRtGFB FG·FH=CF·BF FG=FH FG2=CF·BF作中線例16：如圖，中，ABAC，AEBC于E，D在AC邊上，若BD=DC=EC=1，求AC.解：取BC的中點(diǎn)M，連AM ABAC AM=C