管道包扎問題的數(shù)學模型

1、管道包扎問題的數(shù)學模型潘龍飛 摘要: 本論文討論管道的包扎問題.此問題是一個三維空間問題,我們采用剪切的方法把空間問題變?yōu)槠矫鎲栴},建立剛好全部包扎所用帶子最短模型和管道包扎出現(xiàn)接縫處重疊模型,然后利用數(shù)學軟件Matlab求解。在圖1中，求得最短帶子包扎的通用表達式,并代入題目給出的數(shù)據(jù)得到第一個問題的最短長度為 50.4 米。在圖2和圖3中，采用近似的處理方法求出管道包扎接縫處重疊帶子寬度的表達式,代入第二個問題的數(shù)據(jù),得到帶子的重疊寬度為 0.004 米。論文的最后對臨界角和截面是正多邊形的管道的情況作進一步的討論,并得到更一般的模型。關鍵詞: 臨界角；臨界點；臨界長度；等量關系 1 問題

2、的提出用寬度為0.3m的帶子纏繞包扎圓柱型管道，管道長30m，截面周長為0.5m.(1) 如果用帶子全部包住管道，最少要用多長的帶子，請你給出計算這個最小長度的公式，并且依次計算出所需長度數(shù)值.(2) 現(xiàn)有一條長度為51m的帶子，想將這條帶子全部用于纏繞包扎這個管道，可以使帶子的接縫處重疊瘩接.請你給出用這條帶子纏繞包扎這個管道的方案.（計算結果精確到0.001m）(3) 如果管道截面是正三邊形,正四邊形,或邊數(shù)更多的正多邊形.2 問題的分析生活的經(jīng)驗告訴我們,在包扎圓形管道的過程中, 如果開始包扎時帶子邊緣所在的直線與管道母線的夾角過小,就可能出現(xiàn)不能把管道全部包扎的現(xiàn)象; 如果夾角過大,就

3、可能出現(xiàn)包扎帶子在接縫處重疊的現(xiàn)象. 所以, 隨著夾角的增大,總會出現(xiàn)在接縫處剛好接合而沒有重疊的情況.這種特殊的情況就是第一問的求解問題,稱此時包扎帶子的長度為臨界長度, 帶子邊緣所在的直線與管道母線的夾角為臨界角,管道任一端的帶子截口所在邊與管道截面的交點稱為臨界點.如果給定一段帶子的長度大于臨界長度,則總能找到一種包扎方案,使得整條帶子全都包扎完,其中接縫處有重疊.當管道的截面為正多邊形時,我們把正多邊形的直棱柱管道看作圓形管道的變形來處理,即正多邊形的直棱柱管道的平面展開圖與圓形管道的平面展開圖是同樣的.3 模型的假設3.1管道沒有厚度(即把管道剪開圖看成平面,不考慮空間結構)；3.2

4、管道是剛性物體,帶子也不具備彈性；3.3管道截面是圓形,整條管道粗細均勻，帶子的寬度也不變；3.4包扎過程中帶子不能切斷；3.5帶子兩端截口垂直于它的邊：4 符號的約定a -帶子的寬度；b -管道的長度；c -管道截面的周長；- 帶子的長度；- 帶子截口所在的直線與管道母線的夾角；- 直角三角形AED的面積；- 直角三角形OBF的面積；S- 四邊形COHG的面積；x - 帶子重疊部分的寬度；- 重疊部分的帶子長度；m- 截面正多邊形的邊長；n - 截面正多邊形的邊數(shù).5 模型的建立和求解5.1 剛好全部包扎所用帶子最短模型經(jīng)過臨界點,沿著管道的母線切開得到截面,如下圖1: 圖1其中矩形ABCD

5、 為管道的側面展開圖,三角形AED為直角三角形.定理1 直角三角形AED的面積等于直角三角形OBF和四邊形OHGC之和.證明 線段BF和線段CG在空間圖形中是重合的,故這兩線段相等.把直角三角形OBF向右移動,使BF與CG重合,則構成直角三角形OHO .又 ED=OHOB+OC=AD故, 即定理成立.推論1 沿著管道任一母線剪開得到的平面展開圖中,管道截面界線的兩端分別能組成兩個直角三角形, 且這兩個直角三角形的面積相等.由上面的定理1和推論可以得出剛好包扎管道所用帶子最短的模型: 求得一般表達式為:把題目中給出的數(shù)據(jù)代入一般表達式求得第一問題的臨界長度為: =50.4 (米)5.2 管道包扎

6、出現(xiàn)接縫處重疊的模型按圖1的剪開方法,得到管道平面展開圖,如圖2: 圖2其中陰影為帶子重疊部分.命題1 在帶子寬度不變的條件下,帶子相接處重疊的寬度一定相等(即圖2中陰影部分的平行四邊形的寬度不改變).求陰影部分的帶子的長度.命題2 陰影部分的長度比整條包扎帶子的長度短線段AE的長度.證明 由推論2, 陰影部分的寬度相等, 故可以過圖2的A點,垂直AE剪切, 再把剪切的左邊部分圖形補到右邊,如下圖3: 圖3由圖3可以看出, 利用陰影部分的面積相等得到模型: 化簡此方程組得: (1)利用Matlab解方程(1)得到的結果過繁,所以為了得到一個比較簡單而又接近實際的答案,我們作以下處理: 在生活和

7、工作中,為了節(jié)省材料,包扎管道的帶子一般不會比臨界長度長太多,所以可用近似代替,求得結果為: (2)把第二問題的數(shù)據(jù)代入方程(1)得:x=0.00357把第二問題的數(shù)據(jù)代入方程(2)得:x=0.0036由以上計算得到的結果可以看出,當帶子的長度不太長時,用 代替這個模型的結果是可以的.且取得第二問題的結果為: x=0.004 (米)5.3 截面為正多邊形的直棱柱管道模型 推理1 對于任何正多邊直棱柱的包扎面,從臨界點沿棱柱的母線剪開得到的剪開平面如圖1所示(包扎方案為臨界時),如果有帶子重合的情形如圖2.類似以上圖1 圓柱管道包扎方案的方法建立模型如下:、包扎正多邊直棱柱的臨界模型:解得: 、

8、包扎正多邊直棱柱的有重疊的模型: 以代替解得, 6 模型的分析6.1、臨界角的討論臨界角 (3)6.1.1 當時,帶子不能全部包扎整條管道.如果要在角增大(即臨界角增大的情況下實現(xiàn)全部包扎,由(3) 式可以看出應加大帶子的寬度或減小管道截面的周長.6.1.2 當時,帶子在包扎過程中出現(xiàn)接縫處重疊.如果要在角減小(即臨界角減小的情況下實現(xiàn)全部包扎,由(3) 式可以看出應減小帶子的寬度或增加管道截面的周長.故有以下推理:推理2 包扎管道的臨界角隨帶子寬度的增大而增大,管道截面周長的減小而增大;隨帶子寬度的減小而減小,管道截面周長的增大而減小.6.2、管道的討論 由推論1、命題1和推理1,可知無論求解模型是圓柱模型或是截面為正多邊形的直棱柱,其求解過程都是相同的,故有以下推理.推理3 管道的包扎方