淺談矩陣特征值的應(yīng)用

1、淺談矩陣特征值的應(yīng)用摘要:矩陣特征值在很多領(lǐng)域都有廣泛應(yīng)用, 本文主要研究了其中兩方面的應(yīng)用：第一是通過數(shù)列通項和常染色體遺傳問題建模研究特征值在建模中的應(yīng)用，第二是通過特征值在一階線性微分方程組的求解問題研究特征值在微分方程中應(yīng)用.關(guān)鍵字:數(shù)列,特征值,特征向量,特征多項式.Abstract:The theory of matrix eigenvalue has a wide range of applications in many fields. This paper will mainly probe into the applications of two of them. The

2、first one is the application of eigenvalue in model by building the model of formula of term of the Fibonacci sequence and autosomal inheritance. The second one is the application of eigenvalue in differential equation by solving the problem of first-order linear differential equations.Key words:fib

3、onacci sequence,eigenvalue ,eigenvector ,characteristic polynomial目錄1 引言42 矩陣特征值的相關(guān)概念43 矩陣特征值的應(yīng)用43.1 矩陣特征值在建模中的應(yīng)用4 數(shù)列通項4 常染色體遺傳問題63.2 矩陣特征值在一階線性常系數(shù)方程組中的應(yīng)用9 矩陣特征根均為單根的情形9 矩陣特征根有重根的情形12結(jié)論14參考文獻(xiàn)15致謝161 引言矩陣特征值是高等數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容,在很多領(lǐng)域都有廣泛應(yīng)用,尤其在科學(xué)研究與工程設(shè)計的計算工程之中,靈活運(yùn)用矩陣特征值能夠使很多復(fù)雜問題簡化.單純的求解矩陣特征值是一件比較容易的事,但將特征值應(yīng)用到其它

4、領(lǐng)域就并非那么簡單,也正因為此激發(fā)了本作者對矩陣特征值應(yīng)用的興趣.本文作者將簡單介紹矩陣特征值在線性法建模和微分方程中的應(yīng)用,通過一些實例讓大家體會特征值在建模與微分方程求解中所起的作用.2 矩陣特征值的相關(guān)概念定義1設(shè)是數(shù)域上線性空間的一個線性變換,如果對于數(shù)域中一數(shù),存在一個非零向量,使得.那么稱為的一個特征值,而稱為的屬于特征值的一個特征向量。 定義2 設(shè)是數(shù)域上一級矩陣,是一個數(shù),矩陣的行列式=稱為的特征多項式,其中矩陣的特征多項式的根稱為的特征值.3 矩陣特征值的應(yīng)用3.1 矩陣特征值在建模中的應(yīng)用在數(shù)學(xué)模型的建立過程中可能伴隨著比較復(fù)雜的高次計算,而矩陣的高次計算會給我們帶來很多麻

5、煩,但我們可利用矩陣特征值及其特征值向量可將較復(fù)雜的矩陣化為簡單的對角陣,從而簡化計算. 數(shù)列通項在年,斐波那契在一本書中提出一個問題:如果一對兔子出生一個月后開始繁殖,每個月生出一對后代,現(xiàn)有一對新生兔子,假定兔子只繁殖,沒有死亡,問第月月初會有多少兔子? 以”對”為單位,每月兔子組隊數(shù)構(gòu)成一個數(shù)列,這便是著名的數(shù)列,函數(shù)數(shù)列滿足條件,. 試求出通項.解 由數(shù)列滿足式可設(shè) . (*)令=,=,=,則(*)可寫成矩陣形式= . 由式遞歸可得= . 于是求的問題歸結(jié)為求即求的問題.由=得的特征值 =,=. 對應(yīng)于的特征向量分別為:=,=. 設(shè)=,則=.于是= =.所以= =. 將式代入式得:=

6、. 常染色體遺傳問題在常染色體遺傳中,后代是在每個親體的基因?qū)χ懈骼^承一個基因,形成自己的基因?qū)?基因?qū)σ卜Q基因型,如果所考察的遺傳特征是由兩個基因和控制的,那么就可能有三種可能的基因?qū)?分別稱之為,與.當(dāng)一個親體的基因型為,另一個親體的基因型也是時,注意到后代均可以從中等可能地得到基因和,于是運(yùn)用概率中”對于互斥事件,概率具有可加性”以及”對于獨(dú)立事件,概率具有可乘性”知=,. 一般地,經(jīng)過簡單的概率運(yùn)算,可以求得如表1所示的雙親基因型的結(jié)合及其后代后代基因型的概率分布表.表1 雙親體基因型及其后代基因型的概率分布后代(第代)基因型父體-母體(第代)基因型10000100001現(xiàn)有一種植物基

7、因型為,研究人員采用型植物與每種基因型植物相結(jié)合的方案,培育植物后代,求經(jīng)過若干年后,這種植物任一代的三種基因型,的概率分布.解 記,分別表示第代的植物中基因型為,的植物所占的百分率,且記為第代植物的基因分布:=, 這里表示植物基因型的初始分布(即培育開始時的分布),滿足; 若以上述百分率來估計概率,則運(yùn)用全概率公式: 對于型,有,對于型,有, , 對于型,有.顯然.所以.將所得到的關(guān)系式聯(lián)立,有.于是若記,便得到第代基因型分布的數(shù)學(xué)模型, . 進(jìn)而有 ,即.它表明到第代基因型分布可由初始分布和矩陣確定. 對于矩陣,由得矩陣的三個特征根為.從而得到特征值對應(yīng)的特征向量為,.令,運(yùn)用初等變換計算

8、,有=.進(jìn)而有 .所以有(注意到) . 評注 以上兩例都是利用矩陣?yán)碚搧斫?將復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化為求矩陣的高次方問題,直接求矩陣的高次方比較麻煩,我們利用矩陣特征值及其特征向量將矩陣轉(zhuǎn)化為對角陣再求其高次冪就會非常方便.3.2 矩陣特征值在一階線性常系數(shù)微分方程組中的應(yīng)用 矩陣特征值在微分方程中也有廣泛的應(yīng)用,尤其在微分方程的求解方面有重要的作用,接下來我們將從矩陣特征值在求解一階線性微分方程組中的應(yīng)用來研究矩陣特征值的作用.一階線性齊次常系數(shù)微分方程組.令=,.=是方程的系數(shù)矩陣,則寫作矩陣形式為:. 矩陣的特征根均是單根的情形令的解為:=.即=.當(dāng)矩陣可對角化時,由的個特征值, ,及相應(yīng)的個

9、線性無關(guān)的特征向量, ,可求得的個線性無關(guān)的特解(即的基礎(chǔ)解系) . 它們的線性組合=+ + 即為方程組的一般解(其中為任意常數(shù)).其一般解式寫成矩陣形式為:=. 記=,=.令=,=.則方程組一般解式可寫為:=. 例1 求一階常系數(shù)齊次線性方程組的通解.解 令=， , =.則方程組的矩陣形式為.由特征方程=(+)得矩陣的特征值為和,從而得特征值和對應(yīng)的特征向量為=,=.令=.由方程的通解表達(dá)式得:=.即 .評注 求解一階常系數(shù)方程組的關(guān)鍵在求方程組的基本解組,當(dāng)方程組的系數(shù)矩陣特征根均是單根時,其基本組的求解問題,就歸結(jié)為求這些特征根所對應(yīng)的特征向量. 矩陣特征值有重根的情形 引理1 設(shè)是矩陣

10、的個不同的特征根,它們的重數(shù)分別為.那么,對于每一個,方程組有個形如的線性無關(guān)解,這里向量的每一個分量為的次數(shù)不高于的多項式.取遍所有的就得到的基本解組. 如果是的重特征根,則方程組有個形如的線性無關(guān)解,其中向量由矩陣方程所確定.取遍所有的,則得到的一個基本解組. 例2 求解方程組.解 系數(shù)矩陣為.由矩陣特征方程,得特征根為.對應(yīng)的解是.下面求所對應(yīng)的兩個線性無關(guān)解.由引理2,其解形如,并且滿足.由于,.那么由可解出兩個線性無關(guān)量:,.將上述兩個向量分別代入中,均得到為零向量.于是對應(yīng)的兩個線性無關(guān)解是:,.所以方程組的通解為:. 評注 求解一階線性常系數(shù)方程組的基本解組,當(dāng)矩陣特征值有重根時,我們用引理2來求解.結(jié)論矩陣特征值是高等數(shù)學(xué)的重要類容,在很多領(lǐng)域都有廣泛應(yīng)用,本文研究了其在線性代數(shù)法建模與一階線性微分方程組中的應(yīng)用.通過以上實例,我們得出矩陣特征值無論是在建模還是在微分方程中的應(yīng)用,其主要作用是將矩陣對角化,進(jìn)而可以對矩陣進(jìn)行高次運(yùn)算,從而簡化計算的復(fù)雜度.同時,也正由于矩陣特征值這一特性,使其在工程設(shè)計,動力學(xué)等很多方面都得以廣泛應(yīng)用.參考文獻(xiàn)1王萼芳,石生明. 高等代數(shù)(第三版)M.北京:高等教育出版社,2005:290-298.2黃啟昌,史希福等.常微分方程(第二版)M.北京:高