高考真題——文科數(shù)學(xué)全國大綱

1、2014年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試大綱版卷一選擇題：本大題共12小題，每小題5分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1設(shè)集合，則中元素的個(gè)數(shù)為（ ） （A）2 （B）3 （C）5 （D）72已知角的終邊經(jīng)過點(diǎn)，則（ ） （A） （B） （C） （D）3不等式組的解集為（ ） （A） （B） （C） （D）4已知正四面體中，是的中點(diǎn)，則異面直線與所成角的余弦值為（ ） （A） （B） （C） （D）5函數(shù)的反函數(shù)是（ ） （A） （B） （C） （D）6已知為單位向量，其夾角為，則（ ） （A） （B）0 （C）1 （D）27有6名男醫(yī)生、5名女醫(yī)生，從中選出2名男醫(yī)生、1

2、名女醫(yī)生組成一個(gè)醫(yī)療小組，則不同的選法共有（ ） （A）60種 （B）70種 （C）75種 （D）150種8設(shè)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則（ ） （A）31 （B）32 （C）63 （D）649已知橢圓：的左右焦點(diǎn)為，離心率為，過的直線交于兩點(diǎn)，若的周長為，則的方程為（ ） （A） （B） （C） （D）10正四棱錐的頂點(diǎn)都在同一球面上，若該棱錐的高為4，底面邊長為2，則該球的表面積是（ ） （A） （B） （C） （D）11雙曲線：的離心率為2，焦點(diǎn)到漸近線的距離為，則的焦距等于( ) （ ） （A）2 （B） （C）4 （D）12奇函數(shù)的定義域?yàn)?，若為偶函?shù)，則 （ ） （A） （B） （C

3、）0 （D）1二填空題：本大題共4小題，每小題5分。13的展開式中的系數(shù)為 。（用數(shù)字作答）14函數(shù)的最大值為 。15設(shè)滿足約束條件，則的最大值為 。16直線和是圓的兩條切線，若與的交點(diǎn)為，則與的夾角的正切值等于 。三解答題：解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17（本小題滿分10分）數(shù)列滿足，。設(shè)，證明是等差數(shù)列；求數(shù)列的通項(xiàng)公式。18（本小題滿分12分）設(shè)的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知，求。19（本小題滿分12分）如圖，三棱柱中，點(diǎn)在平面內(nèi)的射影在上，。證明：；設(shè)直線與平面的距離為，求二面角的大小。20（本小題滿分12分）設(shè)每個(gè)工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某種設(shè)備的概率分別為，各人是否需使

4、用設(shè)備相互獨(dú)立。求同一工作日至少3人需使用設(shè)備的概率；實(shí)驗(yàn)室計(jì)劃購買臺(tái)設(shè)備供甲、乙、丙、丁使用，若要求“同一工作日需使用設(shè)備的人數(shù)大于”的概率小于，求的最小值。21（本小題滿分12分）函數(shù)。討論函數(shù)的單調(diào)性；若函數(shù)在區(qū)間是增函數(shù)，求的取值范圍。22（本小題滿分12分）已知拋物線：的焦點(diǎn)為，直線與軸的交點(diǎn)為，與的交點(diǎn)為，且。求的方程；過的直線與相交于兩點(diǎn)，若的垂直平分線與相較于兩點(diǎn)，且四點(diǎn)在同一圓上，求的方程。2014年普通高校招生全國統(tǒng)考數(shù)學(xué)試卷全國大綱版卷解答一BDCBD BCCAA CD二13；14；155；1617解：由題得，即。又，所以是首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列；由得，即。于是當(dāng)時(shí)

5、，。又，故的通項(xiàng)公式為。18解：由題設(shè)和正弦定理得，故。因，故，即，有。又，故。19解：平面，平面，故平面平面。又，故平面。連結(jié)，因側(cè)面為菱形，故。由三垂線定理得；平面，平面，故平面平面。作，為垂足，則平面。又直線平面，因而為直線與平面的距離，。因?yàn)榈慕瞧椒志€，故。作，為垂足，連結(jié)，由三垂線定理得，故為二面角的平面角。由得為的中點(diǎn)，。故二面角為。20解：記表示事件：同一工作日乙、丙恰有人需使用設(shè)備，；表示事件：甲需使用設(shè)備；表示事件：丁需使用設(shè)備；表示事件：同一工作日至少3人需使用設(shè)備；表示事件：同一工作日4人需使用設(shè)備；表示事件：同一工作日需使用設(shè)備的人數(shù)大于。因，故；由知，若，則。又，故；若，則。所以的最小值為3。21解：，其判別式。若，則，當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)取等號(hào)。故此時(shí)在上是增函數(shù)；故當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)根：。若，則當(dāng)或時(shí)，故在，上是增函數(shù)；當(dāng)時(shí)，故在上是減函數(shù)；若，則當(dāng)或時(shí)，故在，上是減函數(shù)；當(dāng)時(shí)，故在上是增函數(shù)； 當(dāng)，時(shí)，所以當(dāng)時(shí)，在區(qū)間是增函數(shù)。若時(shí)，在區(qū)間是增函數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)且，解得。綜上，的取值范圍是。22解：設(shè)，代入得，故，。由題設(shè)得，解得（舍去）或，故；由題設(shè)知與坐標(biāo)軸不垂直，故可