高考數(shù)列問題近五年分析

1、高考數(shù)列題命題趨勢(shì)分析及復(fù)習(xí)建議一近五年浙江高考數(shù)學(xué)數(shù)列部分在整卷中的題位（難度）、分值情況及考查的主要內(nèi)容分析。數(shù)列是高考的必考內(nèi)容。由于數(shù)列在測(cè)試學(xué)生邏輯推理能力和理性思維水平方面有不可替代的作用，所以在歷年浙江高考試題中都占有一定的比重，有低、中和高檔題。數(shù)列不僅是重要的基礎(chǔ)知識(shí)，且含有主要的數(shù)學(xué)思想方法和技巧，而且與函數(shù)、方程、不等式有著十分密切的聯(lián)系?？v觀近五年的浙江高考數(shù)列題呈現(xiàn)出新趨勢(shì)、新特點(diǎn)、新變化。以下是近五年的浙江高考數(shù)列題的題位、分值其及考查內(nèi)容的分析：年份科類選擇題填空題解答題2007年理科無無第21題，15分，綜合考查等差等比數(shù)列的性質(zhì)及數(shù)列求和，其中第二問通過數(shù)列求

2、和與不等式放縮相結(jié)合來考查學(xué)生分析問題和解決問題的能力。文科無無第19題，14分，主要考查等差等比數(shù)列的性質(zhì)，能根據(jù)通項(xiàng)寫出數(shù)列的前幾項(xiàng)，并能運(yùn)用等差等比公式求和2008年理科第6題，5分，主要考查等比數(shù)列的基本性質(zhì)及等比數(shù)列求和無第22題，15分，主要考查數(shù)列的遞推關(guān)系，數(shù)學(xué)歸納法、不等式證明等基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能，同時(shí)考查邏輯推理能力文科第4題，5分，主要考查主要考查等比數(shù)列通項(xiàng)的性質(zhì)無第18題，14分，主要考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的基礎(chǔ)知識(shí)（通項(xiàng)性質(zhì)與求和公式），考查運(yùn)算及推理能力2009年理科無第11題，4分，主要考查等比數(shù)列基本概念及基礎(chǔ)知識(shí)無文科無同理科第20題，14分，主要考查數(shù)列前

3、n項(xiàng)和與通項(xiàng)的關(guān)系，基本模型仍然是等差數(shù)列與等比數(shù)列。2010年理科第3題，5分，主要考察了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式。第15題，主要考查等差數(shù)列前n項(xiàng)和及通項(xiàng)公式，考查基本運(yùn)算能力無文科同理科第14題，4分，本題主要考察了等差數(shù)列的概念和通項(xiàng)公式，以及運(yùn)用等差關(guān)系解決問題的能力。第19題，14分，本題主要考查等差數(shù)列概念、求和公式等基礎(chǔ)知識(shí)，同時(shí)考查運(yùn)算求解能力及分析問題解決問題的能力。第二問同理第15題。2011年理科無無第19題，14分，本題主要考查等差數(shù)列、等比數(shù)列、求和公式、不等式等基礎(chǔ)知識(shí)。文科無第17題，4分，主要考查一般數(shù)列的最值問題。第19題，14分，本題主要考查等差數(shù)

4、列等比數(shù)列的概念以及通項(xiàng)公式、等比數(shù)列的求和公式等基礎(chǔ)知識(shí)，同時(shí)考查運(yùn)算求解能力及推理論證能力。通過以上對(duì)數(shù)列題的縱向?qū)Ρ扰c橫向的對(duì)比后的幾點(diǎn)思考： （1）從理科來看， 2007年和2008年把數(shù)列做為壓軸題，其難度非常大，需要較強(qiáng)的分析問題的能力和解決問題的能力，知識(shí)綜合性較強(qiáng)，不僅要考查等比等差數(shù)列的基礎(chǔ)知識(shí)，還要考查運(yùn)用不等式的知識(shí)來解決數(shù)列求和問題，解決這些問題時(shí)思維的跳躍性大，技巧性強(qiáng)，一般沒有經(jīng)過平時(shí)的類似訓(xùn)練不易想到，但那些經(jīng)過競(jìng)賽輔導(dǎo)，訓(xùn)練有素的學(xué)生卻占了一定的優(yōu)勢(shì)。2009年和2010年針對(duì)前兩年的數(shù)列作為壓軸題難度過大，公平性略顯缺失，加上廣大教師和學(xué)生在數(shù)列上進(jìn)行了一系列

5、的研究，應(yīng)對(duì)數(shù)列壓軸題基本有了解題的方向和策略，于是高考數(shù)列不在作為壓軸題，慢慢的從高考試卷中淡出，2009年只有一道填題，分值降為4分，然而，4分顯然影響了教師對(duì)數(shù)列教學(xué)的熱情，學(xué)生也會(huì)在數(shù)列知識(shí)掌握方面有所欠缺，同時(shí)也與目前教學(xué)課時(shí)不相襯，2010年出現(xiàn)了一道選擇題，5分，一道填題4分，共9分的分值，這樣慢慢的把數(shù)列又撿了回來，2011年出現(xiàn)了一道解答題，題位是在第19題，分值提高到14分，基本把數(shù)列安放在合理的位置，合理的分值，合理的難度。通過第一問屬于容易題，主要考查一些等差等比數(shù)列的基本概念，基本性質(zhì)，讓學(xué)生能上手，能得基本分，但第二問屬于中檔題，主要考查數(shù)列的前n項(xiàng)和、隔相應(yīng)項(xiàng)求和

6、等稍有難度的問題，具有一定的區(qū)分度。那么2012年在數(shù)列方面會(huì)有怎么樣的面貌出現(xiàn)呢？最大的可能性是一道填空題或是選擇題，題位大概會(huì)在第15、16題或是第7、8題，稍有難度，一道大題大概會(huì)在第19題，仍然會(huì)沿襲2011年的風(fēng)格，會(huì)有兩問一問容易題，一問中檔題。我們的復(fù)習(xí)方面依然應(yīng)該放在等差等比數(shù)列的基本概念和基本方法上，同時(shí)也要結(jié)合不等式的知識(shí)解決數(shù)列求和問題，不等式的簡單放縮要特別注意。從五年的高考數(shù)列來看，運(yùn)用較高技巧求通項(xiàng)的一些方法（如累加法，累乘法，轉(zhuǎn)化成等差等比等）一般不要作為重點(diǎn)復(fù)習(xí)，一般數(shù)列較高技巧的遞推問題可以不作為復(fù)習(xí)的主要方面。（2）從文科來看，近五年文科從來沒有把數(shù)列作為壓

7、軸題，但必有一題中檔題，題位應(yīng)該在解答題的前三題，一般都是兩問，第一問比較基礎(chǔ)，主要考查等差等比數(shù)列的基本概念，常見的一些基本性質(zhì)，第二問會(huì)是數(shù)列求和問題，沒有像理科一樣把數(shù)列求和問題與不等式的知識(shí)相結(jié)合。除2010年出現(xiàn)過在三種題型中對(duì)數(shù)列都有考查和2007年只出現(xiàn)在解答題中現(xiàn)現(xiàn)一題之外，其他年份的數(shù)列考查中均是有兩題，選擇題一般會(huì)出現(xiàn)在前6題的位置，填空題各個(gè)位置都有可能出現(xiàn)，從2011年的對(duì)數(shù)列考查來看，文科對(duì)數(shù)列考查難度有一定的上升，特別是在填空選擇題中，所以在2012年的數(shù)列部分考查難度不會(huì)下降，也許會(huì)有一道選擇題，位置會(huì)是在前5題，但解答題中出現(xiàn)的數(shù)列題第二問會(huì)稍有難度，一般會(huì)偏向

8、理科一樣把數(shù)列求和問題與簡單的不等式知識(shí)相結(jié)合。（3）從考查的知識(shí)內(nèi)容來看，主要是考查等差數(shù)列等比數(shù)列的概念以及通項(xiàng)公式、等差等比數(shù)列的求和公式等基礎(chǔ)知識(shí)，同時(shí)考查運(yùn)算求解能力及推理論證能力。從近五年的浙江高考數(shù)列題來看，很多試題最終都回歸到對(duì)基本概念和基本公式的理解和掌握，這一點(diǎn)是毋庸置疑的，尤其是數(shù)列的選擇和填空以及解答題中的第一問。因此在復(fù)習(xí)中，基本概念和基本公式依舊應(yīng)該是復(fù)習(xí)的主陣地，只有掌握好基礎(chǔ)知識(shí)，才能靈活加以應(yīng)用，那些具有較高技巧求通項(xiàng)方法，求和方法將不會(huì)在高考題中出現(xiàn)。另外，浙江卷中考查數(shù)列的重點(diǎn)是純等差等比的問題，那些需要轉(zhuǎn)化成等差等比的數(shù)列問題從來沒有出現(xiàn)過，稍難題最多也

9、是從所給的等差等比中隔項(xiàng)取出的一個(gè)新數(shù)列的問題。或是數(shù)列求和中與不等式相結(jié)合的問題，這些問題需要學(xué)生有一定的分析問題和解決問題的能力，一般定位于能力的考查。二對(duì)照教學(xué)大綱、新課程標(biāo)準(zhǔn)、學(xué)科指導(dǎo)意見、教材及考試說明，分析2012高考數(shù)列命題趨勢(shì)。2.1教學(xué)大綱對(duì)數(shù)列教學(xué)目標(biāo)的表述：（1）理解數(shù)列的概念，了解數(shù)列通項(xiàng)公式的意義；了解遞推公式是給出數(shù)列的一種方法，并能根據(jù)遞推公式寫出數(shù)列的前幾項(xiàng)。（2）理解等差數(shù)列的概念，掌握等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式，并能解決簡單的實(shí)際問題。（3）理解等比數(shù)列的概念，掌握等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式，并能解決簡單的實(shí)際問題。2.2新課程標(biāo)準(zhǔn)對(duì)數(shù)列教學(xué)要求

10、的表述：數(shù)列作為一種特殊的函數(shù)，是反映自然規(guī)律的基本數(shù)學(xué)模型。在本模塊中，學(xué)生將通過對(duì)日常生活中大量實(shí)際問題的分析，建立等差數(shù)列和等比數(shù)列這兩種數(shù)列模型，探索并掌握它們的一些基本數(shù)量關(guān)系，感受這兩種數(shù)列模型的廣泛應(yīng)用，并利用它們解決一些實(shí)際問題。（1）數(shù)列的概念和簡單表示法：通過日常生活中的實(shí)例，了解數(shù)列的概念和幾種簡單的表示方法（列表、圖像、通項(xiàng)公式），了解數(shù)列是一種特殊函數(shù)。（2）等差數(shù)列、等比數(shù)列：通過實(shí)例，理解等差數(shù)列、等比數(shù)列的概念。探索并掌握等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和的公式。能在具體的問題情境中，發(fā)現(xiàn)數(shù)列的等差關(guān)系或等比關(guān)系，并能用有關(guān)知識(shí)解決相應(yīng)的問題。體會(huì)等差數(shù)列、

11、等比數(shù)列與一次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)的關(guān)系。2.3學(xué)科指導(dǎo)意見對(duì)數(shù)列教學(xué)要求的表述：發(fā)展要求：（1）能根據(jù)數(shù)列的前幾項(xiàng)寫出一個(gè)通項(xiàng)公式。說明：復(fù)雜的遞推關(guān)系式不作要求。（2）掌握等差數(shù)列的典型性質(zhì)及應(yīng)用。（3）能靈活運(yùn)用等差數(shù)列的求和公式。（4）掌握等比數(shù)列的典型性質(zhì)及應(yīng)用；能用類比觀點(diǎn)推導(dǎo)等比數(shù)列的性質(zhì)。（5）理解等差數(shù)列與等比數(shù)列簡單組合的數(shù)列的前n項(xiàng)和。2.4教材所提供的一些啟示（1）關(guān)于Sn和an：大綱教材并沒有明確出現(xiàn)，課標(biāo)教材必修2第64頁則明確給出了該關(guān)系：（2）關(guān)于數(shù)列的問題：課標(biāo)教材較之大綱教材在更多的地方涉及，比如教材的“閱讀與思考”等欄目，在選修22推理與證明中也有關(guān)于數(shù)列的問題

12、。2.5考試說明中數(shù)列部分內(nèi)容（1）理解數(shù)列的概念，了解數(shù)列通項(xiàng)公式的意義，了解遞推是給出數(shù)列的一種方法，并能根據(jù)遞推公式寫出數(shù)列的前幾項(xiàng)。（2）理解等差數(shù)列的概念，掌握等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)公式，并能解決簡單的實(shí)際問題。（3）理解等比數(shù)列的概念，掌握等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)公式，并能解決簡單的實(shí)際問題。2.6 2012年高考數(shù)列部分命題趨勢(shì)及思考 （1）近幾年高考數(shù)列題命題一般定位在等差等比數(shù)列兩類重要數(shù)列上，考查的內(nèi)容均與考試說明，教學(xué)指導(dǎo)意見，教學(xué)大綱相符，比如教學(xué)指導(dǎo)意見中提出“復(fù)雜的遞推關(guān)系式不作要求?！保拇_在這幾年的高考數(shù)列題中未出現(xiàn)過應(yīng)用復(fù)雜的遞推關(guān)系求數(shù)列通項(xiàng)、求和等一

13、些問題。數(shù)列作為中檔題一般能給出的遞推關(guān)系僅會(huì)局限于等差或等比數(shù)列的一般遞推關(guān)系。又如教學(xué)指導(dǎo)意見中提出的“能用類比觀點(diǎn)推導(dǎo)等比數(shù)列的性質(zhì)”，教材選修22推理與證明中也有關(guān)于數(shù)列的問題。兩者的相結(jié)合就出現(xiàn)了高考題中的類比推理題。 再如教學(xué)大綱及考試說明中指出的“能解決簡單的實(shí)際問題。”指的是能應(yīng)用等差等比的性質(zhì)來解決問題，如數(shù)列中的最值問題，單調(diào)性問題等等，像2011年文科填空題最后一題。（2）考查的知識(shí)內(nèi)容主要定位于兩大塊，一塊是對(duì)數(shù)列概念的認(rèn)識(shí)，如何從有序和函數(shù)的觀點(diǎn)認(rèn)識(shí)數(shù)列。特別是等差等比數(shù)列的概念及應(yīng)用等差等比數(shù)列的基本性質(zhì)解決數(shù)列的一些問題，如求數(shù)列通項(xiàng)，求公比公差的值及范圍，求數(shù)列

14、中的某些項(xiàng)，等差等比數(shù)列求和等，另一塊是這兩類重要數(shù)列與不等式等相關(guān)知識(shí)的把握和綜合運(yùn)用，從近幾年高考數(shù)列題可以看出如果數(shù)列問題稍有難度，則一定和不等式聯(lián)系在一起，特別是數(shù)列求和問題，數(shù)列最大項(xiàng)問題，數(shù)列的單調(diào)性問題等均需要不等式的知識(shí)來分析問題和解決問題，因?yàn)橹挥羞@樣才能考查出學(xué)生的運(yùn)算求解能力，推理論證能力，邏輯思辨能力，才能達(dá)到選拔人才的目的，所以在這一塊上需要更多的研究。三數(shù)列復(fù)習(xí)的一些建議（1）理解數(shù)列的概念，熟練掌握等差數(shù)列、等比數(shù)列的性質(zhì)、公式及公式的延伸，應(yīng)用性質(zhì)解題，往往可以回避求首項(xiàng)和公差或公比，使問題得到整體解決，能夠減少運(yùn)算量，應(yīng)引起考生重視。（2）解決數(shù)列綜合問題要注

15、意函數(shù)思想、分類論思想、等價(jià)轉(zhuǎn)化思想等。注重?cái)?shù)列與函數(shù)、方程、不等式等其他知識(shí)的綜合。（3）不可過于強(qiáng)調(diào)難題和技巧性的解法，注意通性通法。適當(dāng)?shù)臅r(shí)候還應(yīng)該回歸課本，也許高考題的本源仍然是教材。附近五年浙江高考數(shù)列題2007浙江（理）21.（本題15分）已知數(shù)列中的相鄰兩項(xiàng)是關(guān)于的方程的兩個(gè)根，且（I）求，；（II）求數(shù)列的前項(xiàng)和；（）記【解析】（I）解：方程的兩個(gè)根為，當(dāng)時(shí)，所以；當(dāng)時(shí)，所以；當(dāng)時(shí)，所以時(shí)；當(dāng)時(shí)，所以（II）解：（III）證明：，所以，當(dāng)時(shí)，同時(shí)，綜上，當(dāng)時(shí)，2007浙江（文）19（本題14分）已知數(shù)列中的相鄰兩項(xiàng)是關(guān)于的方程的兩個(gè)根，且（I）求，及（）（不必證明）；（II）求

16、數(shù)列的前項(xiàng)和【解析】（I）解：方程的兩個(gè)根為，當(dāng)時(shí)，所以；當(dāng)時(shí)，所以；當(dāng)時(shí)，所以；當(dāng)時(shí)，所以因?yàn)楫?dāng)時(shí)，所以（II）解：2008年浙江（理）（6）已知是等比數(shù)列，則=（A）16（） （B）16（） （C）（） （D）（）【解析】本小題主要考查等比數(shù)列通項(xiàng)的性質(zhì)。由，解得 數(shù)列仍是等比數(shù)列:其首項(xiàng)是公比為所以, 2008年浙江（理）（22）（本題14分）已知數(shù)列，記求證：當(dāng)時(shí)，（）；（）；（）【解析】22本題主要考查數(shù)列的遞推關(guān)系，數(shù)學(xué)歸納法、不等式證明等基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能，同時(shí)考查邏輯推理能力滿分14分（）證明：用數(shù)學(xué)歸納法證明當(dāng)時(shí)，因?yàn)槭欠匠痰恼约僭O(shè)當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，所以即當(dāng)時(shí)，也成立根據(jù)

17、和，可知對(duì)任何都成立（）證明：由，（），得因?yàn)?，所以由及得，所以（）證明：由，得所以，于是，故當(dāng)時(shí)，又因?yàn)?，所?008年浙江（文）（4）已知是等比數(shù)列，則公比=（A） （B） （C）2 （D）【解析】本小題主要考查等比數(shù)列通項(xiàng)的性質(zhì)。由，解得2008年浙江（文）18.（14分）已知數(shù)列的首項(xiàng)，通項(xiàng)（為常數(shù)），且成等差數(shù)列，求：（）的值；（）數(shù)列的前項(xiàng)的和的公式。【解析】（）解：由，得，又，且，得，解得，（）解：2009年浙江（理、文）（11）設(shè)等比數(shù)列的公比，前n項(xiàng)和為，則_. w.w.w.k.s.5.u.c.o.【解析】對(duì)于2009年浙江（文）20（本題滿分14分）設(shè)為數(shù)列的前n項(xiàng)和， +

18、n，nN，其中k是常數(shù).（I）求及；（）若對(duì)于任意的m N,a,a,a成等比數(shù)列，求k的值.【解析】（）當(dāng)， （） 經(jīng)驗(yàn)，（）式成立， （）成等比數(shù)列，即，整理得：，對(duì)任意的成立， 2010年浙江（理、文）（3）設(shè)為等比數(shù)列的前項(xiàng)和，則（A）11 （B）5 （C） （D）【解析】通過，設(shè)公比為，將該式轉(zhuǎn)化為，解得=-2，（15）設(shè)為實(shí)數(shù)，首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，滿足，則的取值范圍是_ .2010年浙江（文）（14）在如下數(shù)表中，已知每行、每列中的樹都成等差數(shù)列，那么，位于下表中的第n行第n+1列的數(shù)是 第一列第二列第三列第一行123第二行246第三行369【解析】第n行第一列的數(shù)為n，觀察得，第n行的公差為n，所以第n0行的通項(xiàng)公式為，又因?yàn)闉榈趎+1列，故可得答案為。（19）（本題滿分14分）設(shè)a1，d為實(shí)數(shù)，首項(xiàng)為a1，公差為d的等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，滿足+15=0。（）若=5，求及a1；（）求d的取值范圍?！窘馕觥?)解：由題意知S6=-3, 所以 解得a1=7所以 ()解：因?yàn)镾5S6+15=0, 所以(5a1+10d)(6a1+15d)+15=0, 即2a12+9da1+10d2+1=0.故(4a1+9d)2=d2-8. 所以d28. 故d的取值范圍為d-2或d2.2011年浙江（理）（19）（本題滿分14分）已知