【高考數(shù)學(xué)秘籍】正弦定理、余弦定理的綜合應(yīng)用

1、第 29 講正弦定理、余弦定理的綜合應(yīng)用1. 在 ABC 中，若 sin2A+ sin2Bc)，貝 U b c= 2, cos A = 5，則 sin A = 5,所以SBC= qbcsin2 A=匚 bc= 14,所以 bc= 35.5所以 b= 7, c= 5.3.如圖，從氣球 A 上測(cè)得正前方的河流的兩岸B, C 的俯角分別為 75 30此時(shí)氣 球的高是 60 m,則河流的寬度 BC 等于(C)A . 240( .3 1)m B . 180( ,2 1)mC. 120( .3 1)m D . 30( 3 + 1)m如圖，/ ACD = 30 ZABD = 75 AD = 60 m ,在

2、RtABD 中，BD =tan /ABD=60(2 ,3)m ,所以 BC = CD BD = 60 .3 60(2 .3) = 120( .3 1)m.4. (2016 山東卷) ABC 中，角 A, B, C 的對(duì)邊分別是 a, b, c.已知 b= c, a2= 2b2。 sin A)，貝 U A= (C)A3 3nBnA.A.4B.B.3nnCD.-46在 Rt ACD中,CD =ADtan /ACD60tan 3060 = 60tan 75 = 2+ . 3Ajp*=60 . 3m,因?yàn)?b= c,所以 B = C.nA又由 A + B + C =n得 B = .由正弦定理及 a2=

3、 2b2(1 sin A)得si n2A= 2si n2B(1 sin A), 即 sin2A= 2sin2(扌一 A)(1 sin A), 即 sin2A=2COS2A(1 sin A),即 4sin22COS2A=2COS2A(1 sin A), 整理得COS2AA(1 sin A 2sin2A)= 0, 即COS2A(COSA sinA)= 0.AnA因?yàn)?0An所以 022，所以 cosg豐0,n所以 cos A= sin A .又 0A ac= 6.當(dāng)且僅當(dāng) a = c 時(shí)，取等號(hào)所以 b 的最小值為 68.在 ABC 中，A : B= 1 : 2, 則 cos A= (C)所以 A

4、C : BC=3 3 ：2 2,sinAsin B_sin 2A所以 sh= 2sdco，所以coscos A A=3 3.9.已知 a, b, c 分別為 ABC 的三個(gè)內(nèi)角 A, B, C的對(duì)邊，a = 2,且(2 + b)(sin A sin B)= (c b)sin。，則厶 ABC 面積的最大值為.3 . , a b c因?yàn)?sin A= sin B= sin C=2R2R，a a=2 2，又(2 + b)(sin A sin B)= (c b)sin C,可化為(a + b)(a b)= (c b)c,所以 a2 b2= c2 be,所以 b2+ c2 a2= bc.b2+ c2a2

5、bc 1、o所以 2bc= 2bc=2 = cos A,所以 A = 60 .在/KBC 中，4= a2= b2+ c2 2bc cos 60 =b2+ c2 bc 2bc bc= bc,(當(dāng)且僅當(dāng) b= c 時(shí)取得“=”)所以SZABC= 1 be sin A 2x4 3.10.(2017 山東卷)在厶 ABC 中，角 A, B, C 的對(duì)邊分別為 a, b, c.已知 b = 3, ABAC=6,SAABC= 3，求 A 和 a.5*級(jí)/ C 的平分線 CD 把三角形面積分成 3 : 2 的兩部分,因?yàn)?C 的平分線 CD 把三角形面積分成3 : 2 的兩部分,IEE3I因?yàn)?AB AC = 6,所以 becos A = 6.又SABC= 3,所以 besin A= 6.因此 tan A= 1.又 0An所以 A =辛又