第二章一維隨機(jī)變量及其分布

1、2.1 隨機(jī)變量的概念及其分布函數(shù)隨機(jī)變量的概念及其分布函數(shù)2.2 一維離散型隨機(jī)變量一維離散型隨機(jī)變量2.3 一維連續(xù)型隨機(jī)變量一維連續(xù)型隨機(jī)變量2.4 一維隨機(jī)變量函數(shù)的分布一維隨機(jī)變量函數(shù)的分布 2.1.1 隨機(jī)變量的概念隨機(jī)變量的概念 2.1.2 隨機(jī)變量的分布函數(shù)隨機(jī)變量的分布函數(shù) 定義定義 稱定義在樣本空間稱定義在樣本空間上的實(shí)函數(shù)上的實(shí)函數(shù)X=X()，是隨機(jī)變量，是隨機(jī)變量，如對(duì)任意實(shí)如對(duì)任意實(shí)數(shù)數(shù)x ，集合，集合 X() x 都是一隨機(jī)事件。都是一隨機(jī)事件。 注注：一般一般X() 簡(jiǎn)單記為簡(jiǎn)單記為X， X() x 記為記為X x 分布函數(shù)分布函數(shù)設(shè)設(shè)X是一個(gè)隨機(jī)變量，是一個(gè)隨機(jī)

2、變量，x是任意實(shí)數(shù)，函是任意實(shí)數(shù)，函數(shù)數(shù)F(x)=P X() x稱為隨機(jī)變量稱為隨機(jī)變量X的分的分布函數(shù)，記作布函數(shù)，記作FX(x)或或F(x)。 X 的分布函數(shù)也常簡(jiǎn)記為的分布函數(shù)也常簡(jiǎn)記為FX(x)= PXx分布函數(shù)的性質(zhì)分布函數(shù)的性質(zhì)任一隨機(jī)變量任一隨機(jī)變量X的分布函數(shù)的分布函數(shù)F(x)，x(，)，具有下列性質(zhì)：，具有下列性質(zhì)： (2) 若若x1x2，則，則 F(x1) F(x2) 12xXxX 根據(jù)概率的性質(zhì)，得根據(jù)概率的性質(zhì)，得PXx2 PXx1 即即 F(x2) F(x1) 證明：證明： 若若x1x2 ，則有，則有 (1) 0 F(x) 1v 如某實(shí)函數(shù)具有上述如某實(shí)函數(shù)具有上述3

3、個(gè)性質(zhì)，則它可作為某個(gè)性質(zhì)，則它可作為某隨機(jī)變量的分布函數(shù)隨機(jī)變量的分布函數(shù) 0lim FxFx 1lim FxFx 000 xFxF (2) 0F(x) 1 ，且，且 (3) 右連續(xù)性右連續(xù)性 對(duì)任意實(shí)數(shù)對(duì)任意實(shí)數(shù) x0 ，有，有 xFxFxx 00lim0其其中中離散型隨機(jī)變量離散型隨機(jī)變量如隨機(jī)變量的取值只有如隨機(jī)變量的取值只有有限個(gè)或可列多個(gè)有限個(gè)或可列多個(gè)（可數(shù)）（可數(shù)），則稱它為離散型隨機(jī)變量。，則稱它為離散型隨機(jī)變量。 設(shè)離散型隨機(jī)變量設(shè)離散型隨機(jī)變量的全部取值為的全部取值為x x1 1,x,x2 2,x,xn n,且且P(X=xP(X=xi i)=p)=pi i，i=1,2,i

4、=1,2,則稱上式為則稱上式為X X的概率分布律。也可寫(xiě)作：的概率分布律。也可寫(xiě)作：離散型隨機(jī)變量的分布列離散型隨機(jī)變量的分布列稱為稱為的的分布列分布列,2121nnppppxxxXX 或kxxx21kppp21分布律的性質(zhì)分布律的性質(zhì)q , 2 , 1, 0kpk非負(fù)性q 11kkp規(guī)范性二項(xiàng)概率公式二項(xiàng)概率公式設(shè)在一次試驗(yàn)中，事件出現(xiàn)的概率為設(shè)在一次試驗(yàn)中，事件出現(xiàn)的概率為p (0p0.999 0.999 故故 nlg0.001/lg0.04=2.15 取取n=3，即需要發(fā)射，即需要發(fā)射3枚導(dǎo)彈。枚導(dǎo)彈。 設(shè)設(shè)XB(n,p)，令，令k0=Int(n+1)p則則k=k0時(shí)，時(shí)，b(k;n,p

5、)的值最大。的值最大。若若 (n+1)p為整數(shù)，則為整數(shù)，則b(k0;n,p)= b(k01;n,p)證明：證明： pnkbpnkbr,; 1,; 令令kqpknr)1( 則則kqkqpkn )1(1kqkpn )1(1例例 魚(yú)塘中魚(yú)的條數(shù)。魚(yú)塘中魚(yú)的條數(shù)。先從塘中網(wǎng)起先從塘中網(wǎng)起100100條魚(yú)條魚(yú)做上記號(hào)后放回塘里，過(guò)一段時(shí)間（使其均做上記號(hào)后放回塘里，過(guò)一段時(shí)間（使其均勻）再?gòu)闹芯W(wǎng)起勻）再?gòu)闹芯W(wǎng)起8080條，發(fā)現(xiàn)其中有記號(hào)者為條，發(fā)現(xiàn)其中有記號(hào)者為2 2條，求魚(yú)的總數(shù)條，求魚(yú)的總數(shù)N N。 解解設(shè)有記號(hào)的魚(yú)的條數(shù)為設(shè)有記號(hào)的魚(yú)的條數(shù)為，則，則服從二服從二項(xiàng)分布項(xiàng)分布B(80B(80，10

6、0/N)100/N)。由定理，撈起的魚(yú)最有可能是由定理，撈起的魚(yú)最有可能是Int(n+1)p)Int(n+1)p)條，條，因此因此(80+1)(80+1)100/N=2 100/N=2 由此解得由此解得 N=4050N=4050（條）（條） 若離散型隨機(jī)變量X的分布律為其中其中0是常數(shù)，則稱是常數(shù)，則稱X服從泊松分服從泊松分布。布。 記記 為為XP() ，稱為參數(shù)。稱為參數(shù)。 , 2, 1, 0! kekkXPk 2.2.2泊松分布泊松分布 因?yàn)橐驗(yàn)? ，故有，故有P(X=k)0 。(k=0,1,2, ) 0!kkxkxe又又 1!000 eekeekkXPkkkkk即泊松分布的分布律，具備概

7、率函數(shù)兩性質(zhì)。即泊松分布的分布律，具備概率函數(shù)兩性質(zhì)。在任給一段固定的時(shí)間間隔內(nèi)，來(lái)到公共設(shè)施（公共汽車站、商店、電話交換臺(tái)等）要求給予服務(wù)的顧客個(gè)數(shù)；炸彈爆炸后落在平面上某區(qū)域的碎彈片個(gè)數(shù)；落在顯微鏡片上的某種細(xì)菌個(gè)數(shù)在實(shí)際問(wèn)題中，有很多隨機(jī)變量都近似服從泊松分在實(shí)際問(wèn)題中，有很多隨機(jī)變量都近似服從泊松分布。例如布。例如:設(shè)隨機(jī)變量Xn服從二項(xiàng)分布B(n,pn) (n=1,2, )，其中概率pn與有關(guān)，并且滿足0lim nnnp , 2, 1, 0,!1lim kekppCkknnknknn 則則泊松定理泊松定理證明證明 ：npnpnnnn 即即令令 knnknknnknknnnkknnnn

8、ppC 1!1211knnknknnnknknn 1!112111knnknnknknn 1!112111 其中為一個(gè)定數(shù)。其中為一個(gè)定數(shù)。 對(duì)任意固定的非負(fù)整數(shù)，有對(duì)任意固定的非負(fù)整數(shù)，有1112111lim nknnnkknnknnnplimlim eennnknnnnknnnnn111lim1lim 故得故得 , 2, 1, 0,!1lim kekppCkknnknknn 在應(yīng)用中，當(dāng)很大（在應(yīng)用中，當(dāng)很大（n10 ），很小），很小(0.1) ，我們有下面的泊松近似公式，我們有下面的泊松近似公式 nkekqpCkXPkknkkn, 2, 1, 0,! 其中其中=np 例例 設(shè)有同類設(shè)備臺(tái)

9、，各臺(tái)工作相互獨(dú)立設(shè)有同類設(shè)備臺(tái)，各臺(tái)工作相互獨(dú)立的，發(fā)生故障的概率都是的，發(fā)生故障的概率都是0.01，并且一臺(tái)設(shè)備的，并且一臺(tái)設(shè)備的故障可由一個(gè)人來(lái)處理，試求故障可由一個(gè)人來(lái)處理，試求（）一個(gè)人負(fù)責(zé)維修臺(tái)設(shè)備時(shí)，設(shè)備發(fā)（）一個(gè)人負(fù)責(zé)維修臺(tái)設(shè)備時(shí)，設(shè)備發(fā)生故障而不能及時(shí)維修的概率；生故障而不能及時(shí)維修的概率；（）由三個(gè)人共同負(fù)責(zé)維修臺(tái)設(shè)備時(shí)，（）由三個(gè)人共同負(fù)責(zé)維修臺(tái)設(shè)備時(shí)，設(shè)備發(fā)生故障而不能及時(shí)維修的概率。設(shè)備發(fā)生故障而不能及時(shí)維修的概率。 解：解： (1)設(shè)設(shè)X表示同一時(shí)刻發(fā)生故障的設(shè)備臺(tái)數(shù)。表示同一時(shí)刻發(fā)生故障的設(shè)備臺(tái)數(shù)。在同一時(shí)刻至少有臺(tái)設(shè)備發(fā)生故障，便在同一時(shí)刻至少有臺(tái)設(shè)備發(fā)生故障，

10、便不能及時(shí)處理。不能及時(shí)處理。 0169. 099. 001. 02099. 011111219201912020002020220 ppCppCppCXPkknkk 若用泊松近似公式若用泊松近似公式(=np=200.01=0.2) ，則有則有 0176. 0!2 . 0!22022 . 0202 kkkkekekXP （2）設(shè)）設(shè)Y表示同一時(shí)刻發(fā)生故障的設(shè)備數(shù)，則表示同一時(shí)刻發(fā)生故障的設(shè)備數(shù)，則YB(80,0.01)。當(dāng)同一時(shí)刻至少有臺(tái)設(shè)備發(fā)生故障時(shí)，就不當(dāng)同一時(shí)刻至少有臺(tái)設(shè)備發(fā)生故障時(shí)，就不能及時(shí)維修。能及時(shí)維修。用泊松近似公式用泊松近似公式 (=np=800.01=0.8) ，得，得 0

11、091. 0!8 . 0!48048 . 0804 kkkkekekYP 計(jì)算結(jié)果表明，由三人共同負(fù)責(zé)維修臺(tái)，計(jì)算結(jié)果表明，由三人共同負(fù)責(zé)維修臺(tái)，每人平均約維修臺(tái)，比一個(gè)單獨(dú)維修臺(tái)更每人平均約維修臺(tái)，比一個(gè)單獨(dú)維修臺(tái)更好，既節(jié)約了人力又提高了工作效率。好，既節(jié)約了人力又提高了工作效率。 在在“成功成功”概率是概率是p的貝努利試驗(yàn)中，若的貝努利試驗(yàn)中，若以以X記首次出現(xiàn)記首次出現(xiàn)“成功成功”的試驗(yàn)次數(shù)。則的試驗(yàn)次數(shù)。則X所所服從的分布便是幾何分布。服從的分布便是幾何分布。, 2 , 11),;()(1 kpqpkgpqkXPk111);(111 qppqpkgkkk顯然顯然 例例6 一個(gè)人要開(kāi)門(mén)

12、，他共有一個(gè)人要開(kāi)門(mén)，他共有n把鑰匙，其中僅有一把鑰匙，其中僅有一把是能開(kāi)此門(mén)的，現(xiàn)隨機(jī)地從中取出一把鑰匙來(lái)試開(kāi)把是能開(kāi)此門(mén)的，現(xiàn)隨機(jī)地從中取出一把鑰匙來(lái)試開(kāi)門(mén)，在試開(kāi)時(shí)每一把鑰匙均以門(mén)，在試開(kāi)時(shí)每一把鑰匙均以1/n的概率被取用，問(wèn)的概率被取用，問(wèn)此人直到第此人直到第S次試開(kāi)時(shí)方才成功的概率是多少？次試開(kāi)時(shí)方才成功的概率是多少？ 解解nAP1)( nnns111 所求概率所求概率A=試開(kāi)門(mén)成功試開(kāi)門(mén)成功定義定義2.3.1 設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為的分布函數(shù)為F(x)，若存，若存在非負(fù)函數(shù)在非負(fù)函數(shù)f(x)，使得對(duì)一切實(shí)數(shù)，關(guān)系式，使得對(duì)一切實(shí)數(shù)，關(guān)系式 xdttfxF都成立，則稱都成

13、立，則稱X為連續(xù)型隨機(jī)變量為連續(xù)型隨機(jī)變量，f(x)稱為稱為X的的密度函數(shù)。密度函數(shù)?？梢宰C明，連續(xù)型隨機(jī)變量的分布函數(shù)是連可以證明，連續(xù)型隨機(jī)變量的分布函數(shù)是連續(xù)函數(shù)。續(xù)函數(shù)。 密度函數(shù)密度函數(shù)f(x)具有下列性質(zhì)：具有下列性質(zhì)： （1） （2） （3） 0 xf 1dxxf badxxfaFbFbXaP證明證明 （）由定義知（）由定義知f(x) 0顯然。顯然。（）由分布函數(shù)性質(zhì)知，（）由分布函數(shù)性質(zhì)知， 1lim xFFx 1limlim FxFdttfdxxfxxx由廣義積分概念與定義知，由廣義積分概念與定義知，常利用這兩個(gè)性質(zhì)檢驗(yàn)一個(gè)函數(shù)能否常利用這兩個(gè)性質(zhì)檢驗(yàn)一個(gè)函數(shù)能否作為連續(xù)性隨

14、機(jī)變量的密度函數(shù)，作為連續(xù)性隨機(jī)變量的密度函數(shù)， aXPbXPbXaP babadxxfdxxfdxxf（）（） aFbF aXPbXPbXaP 對(duì)任意類型的對(duì)任意類型的隨機(jī)變量均成立隨機(jī)變量均成立bxf ( x)-10-550.020.040.060.08a設(shè)a、b為有限數(shù)，且a0為常數(shù)，則稱為常數(shù)，則稱X服從參數(shù)為服從參數(shù)為、的正態(tài)分布，簡(jiǎn)記為的正態(tài)分布，簡(jiǎn)記為XN(,2) 。若隨機(jī)變量若隨機(jī)變量X的分布密度的分布密度222/)(21)( xexf)( x)(1 ,0 xf)(1 . 0, 0 xf)(5 . 2,0 xf 固定時(shí)，固定時(shí)，的值越小，的值越小，f(x)的圖形就愈尖、越狹。的

15、圖形就愈尖、越狹。的值越大，的值越大，f(x)的圖形就愈平、越寬。的圖形就愈平、越寬。X的分布函數(shù)為的分布函數(shù)為dtexFtx222/)(21)( 特別地稱特別地稱N(0,1)為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，其概率為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，其概率密度及分布函數(shù)常記為：密度及分布函數(shù)常記為：2/221)(xex xtdtex2/221)( baxbadxedxxfbXaP222)(21)( 如如XN(,2)，有，有)()( abbXaP證明：證明：時(shí)時(shí)也也成成立立?；蚧蚪Y(jié)結(jié)論論當(dāng)當(dāng) ba)(21)(,2/2 xdtexFxbaxt有有時(shí)時(shí)，特特別別地地，當(dāng)當(dāng))()( ab batdte2221 baxxde)(21222

16、)( xt令令)1 , 0()()()()(NXxxXPxxFxXPxXPxF )1 , 0(),(:1 . 3 . 22NXNX ，則則如如命命題題證明：證明： 例例 2.3.4 設(shè)已知測(cè)量誤差設(shè)已知測(cè)量誤差XN（0，102 ），），現(xiàn)獨(dú)立重復(fù)進(jìn)行現(xiàn)獨(dú)立重復(fù)進(jìn)行100次測(cè)量，求誤差絕對(duì)值超次測(cè)量，求誤差絕對(duì)值超過(guò)過(guò)19.6的次數(shù)不少于的次數(shù)不少于3的概率。的概率。 解：解：第一步第一步:以以A表示一次測(cè)量中表示一次測(cè)量中“誤差絕對(duì)值誤差絕對(duì)值超過(guò)超過(guò)19.6”的事件，則有的事件，則有 05. 0)96. 1(2296. 11016 .1916 .19)( XPXPXPAP第二步第二步:以以Y

17、表示表示100次獨(dú)立重復(fù)測(cè)量中，事件次獨(dú)立重復(fù)測(cè)量中，事件A發(fā)生的次數(shù)，則發(fā)生的次數(shù)，則B（100，0.05），所求），所求概率是概率是 P（Y3）=1P（Y3） 8754. 0! 25! 15! 051)2()1()0(1)3(1)3(525150 eeeYPYPYPYPYP 第三步第三步:由于由于n=100較大而較大而p=0.05很小，故二很小，故二項(xiàng)分布可用項(xiàng)分布可用=np=5的泊松分布近似代替，查的泊松分布近似代替，查泊松分布表可得泊松分布表可得 例例2.3.5 公共汽車車門(mén)的高度是按男子與車門(mén)頂公共汽車車門(mén)的高度是按男子與車門(mén)頂碰頭的機(jī)會(huì)在碰頭的機(jī)會(huì)在0.01以下來(lái)設(shè)計(jì)的，設(shè)男子身高

18、以下來(lái)設(shè)計(jì)的，設(shè)男子身高X服從服從=170cm、=6cm的正態(tài)分布，即的正態(tài)分布，即XN（170，62 ），試確定車門(mén)的高度。），試確定車門(mén)的高度。 解：解：設(shè)車門(mén)的高度為設(shè)車門(mén)的高度為hcm，根據(jù)設(shè)計(jì)要求，根據(jù)設(shè)計(jì)要求應(yīng)有應(yīng)有 99. 0)(01. 0)(101. 0)( hXPhXPhXP18433. 2617099. 09901. 0)33. 2(99. 0)6170()()()6170(2 hhhhXPhXPNX得得查查正正態(tài)態(tài)分分布布表表得得，（補(bǔ)充）例：例：從南郊某地乘車前往北區(qū)火車從南郊某地乘車前往北區(qū)火車站搭火車有兩條路線可走，第一條穿過(guò)市區(qū)，站搭火車有兩條路線可走，第一條穿過(guò)

19、市區(qū)，路程較短，但交通擁擠，所需時(shí)間（單位分路程較短，但交通擁擠，所需時(shí)間（單位分鐘）服從正態(tài)分布鐘）服從正態(tài)分布N(50,100)，第二條沿環(huán)城，第二條沿環(huán)城公路走，路線較長(zhǎng)，但意外堵塞較少，所需公路走，路線較長(zhǎng)，但意外堵塞較少，所需時(shí)間（單位分鐘）服從正態(tài)分布時(shí)間（單位分鐘）服從正態(tài)分布N(60,16)，（1）如有）如有70分鐘可用，問(wèn)應(yīng)走哪一條路線？分鐘可用，問(wèn)應(yīng)走哪一條路線？（2）如只有）如只有65分鐘可用，問(wèn)應(yīng)走哪一條路線？分鐘可用，問(wèn)應(yīng)走哪一條路線？解：解：應(yīng)應(yīng)走走第第二二條條路路線線。的的概概率率為為：走走第第二二條條路路線線及及時(shí)時(shí)趕趕到到的的概概率率為為：走走第第一一條條路路

20、線線及及時(shí)時(shí)趕趕到到分分鐘鐘可可用用時(shí)時(shí)有有表表示示行行車車時(shí)時(shí)間間。設(shè)設(shè) 9938. 0)46070(709772. 0)105070(7070)1(XPXPX應(yīng)應(yīng)走走第第一一條條路路線線。的的概概率率為為：走走第第二二條條路路線線及及時(shí)時(shí)趕趕到到的的概概率率為為：走走第第一一條條路路線線及及時(shí)時(shí)趕趕到到分分鐘鐘可可用用時(shí)時(shí)有有 8944. 0)46065(659332. 0)105065(6565)2(XPXP 如如X是隨機(jī)變量，在是隨機(jī)變量，在y=g(x)連續(xù)、分段連續(xù)、分段連續(xù)或單調(diào)時(shí)，則連續(xù)或單調(diào)時(shí)，則 Y=g(X) 也是隨機(jī)變量也是隨機(jī)變量。方法方法 將與將與Y 有關(guān)的事件轉(zhuǎn)化成有

21、關(guān)的事件轉(zhuǎn)化成 X 的事件的事件 求求 隨機(jī)因變量隨機(jī)因變量Y= g ( X )的密度函數(shù)的密度函數(shù) 或分布律或分布律)(yfY 已知已知隨機(jī)變量隨機(jī)變量 X 的密度函數(shù)的密度函數(shù) 或分布律或分布律)(xfX設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量 X 的分布律為的分布律為, 2 , 1,)( kpxXPkk由已知函數(shù)由已知函數(shù) g( x)可求出隨機(jī)變量可求出隨機(jī)變量 Y 的的所有可能取值，則所有可能取值，則 Y 的概率分布為的概率分布為, 2 , 1,)()(: ipyYPikyxgkki離散型隨機(jī)變量函數(shù)的分布離散型隨機(jī)變量函數(shù)的分布 例例2.4.1 設(shè)設(shè)X的分布律為的分布律為的的分分布布。試試求求出出1,

22、12 ,2 XXXX21012P0.150.20.20.20.25解解P0.150.20.20.20.25X21012410142X-153113321232X1 X 將表中取相同值的部分作適當(dāng)并項(xiàng)得將表中取相同值的部分作適當(dāng)并項(xiàng)得P0.150.20.20.20.25X21012410142X-153113321232X1 X 將表中取相同值的部分作適當(dāng)并項(xiàng)得將表中取相同值的部分作適當(dāng)并項(xiàng)得0.40.40.2P410 X20.2530.210.20.20.15P1352X-1P0.150.20.20.20.25X21012410142X-153113321232X1 X 將表中取相同值的部分作適當(dāng)并項(xiàng)得將表中取相同值的部分作適當(dāng)并項(xiàng)得0.40.40.2P321X+1 已知已知 X 的密度函數(shù)的密度函數(shù) f (x) 或分布函數(shù)或分布函數(shù)求求 Y = g( X ) 的密度函數(shù)的密度函數(shù)方法：方法：（1） 從分布函數(shù)出發(fā)從分布函數(shù)出發(fā)（2）用公式直接求密度函數(shù)）用公式直接求密度函數(shù) 連續(xù)性隨機(jī)變量函數(shù)的分布連續(xù)性隨機(jī)變量函數(shù)的分布例例2 設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量X具有連續(xù)的分布密度具有連續(xù)的分布密度f(wàn)X(x)，試求試求Y=aX+b（其中（其中a，b是常數(shù)，并且是常數(shù)，并且a0）的分布密度的分布密度f(wàn)Y(y)。 解：解：時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)?shù)牡姆址植疾己瘮?shù)數(shù)為為設(shè)設(shè)0)1()( a