圓錐曲線的性質

1、1 橢圓（1）橢圓概念M為橢圓上任意一點，則有平面內與兩個定點Fi、F2的距離的和等于常數（大于IRF2I）的點的軌跡叫做橢圓。這兩 個定點叫做橢圓的焦點，兩焦點的距離叫橢圓的焦距。若| MF, | |MF2 | = 2a22 2 2橢圓的標準方程為：X2y2 1（ a b 0）（焦點在x軸上）或y2X2 =1a ba b（a . b . 0）（焦點在y軸上）。注：以上方程中a, b的大小a . b . 0，其中c2 a2 -b2 ；2 2 2 2X yy x在T 2=1和壽 2 -1兩個方程中都有a b 0的條件，要分清焦點的位置，a ba b只要看x2和y2的分母的大小。例如橢圓=1時表示

2、焦點在x軸上的橢圓；當 m：n時表示焦點在y軸上的橢圓（2）橢圓的性質2 2 范圍：由標準方程 爲=1知|x|a,|y|zb，說明橢圓位于直線x=a，a by二_b所圍成的矩形里； 對稱性：在曲線方程里，若以-y代替y方程不變，所以若點（x, y）在曲線上時，點 （x,-y）也在曲線上，所以曲線關于 x軸對稱，同理，以-x代替x方程不變，則曲線關于y 軸對稱。若同時以 -x代替x，- y代替y方程也不變，則曲線關于原點對稱。所以，橢圓關于x軸、y軸和原點對稱。這時，坐標軸是橢圓的對稱軸，原點是對稱中 心，橢圓的對稱中心叫橢圓的中心； 頂點：確定曲線在坐標系中的位置，常需要求出曲線與x軸、y軸的

3、交點坐標。在橢圓的標準方程中，令x =0，得y =b，則B1（0, ，B2（0,b）是橢圓與y軸的兩個交點。 同理令y = 0得x二_a，即A（-a,0），A2（a,0）是橢圓與x軸的兩個交點。所以，橢圓與坐標軸的交點有四個，這四個交點叫做橢圓的頂點。同時，線段A A、B1B2分別叫做橢圓的長軸和短軸，它們的長分別為2a和2b，a和b分別叫做橢圓的長半軸長和短半軸長。由橢圓的對稱性知： 橢圓的短軸端點到焦點的距離為 a ；在Rt OB2F2中，I，|OF2|=c, |B2F2 戶a，且 |OF212 =|B2F2 I2 -|OB2 I2，即 c2 二a2_c2 ；c離心率：橢圓的焦距與長軸的比

4、e叫橢圓的離心率。 a c 0 ,a 0：e：1,a且e越接近1, c就越接近a，從而b就越小，對應的橢圓越扁；反之， e越接近于0, c就 越接近于0，從而b越接近于a，這時橢圓越接近于圓。當且僅當 a=b時，c = 0，兩焦 點重合，圖形變?yōu)閳A，方程為 x2 y2 a2。2雙曲線（1）雙曲線的概念平面上與兩點距離的差的絕對值為非零常數的動點軌跡是雙曲線 （侍叩-|PF2|=2a）。注意：（ *）式中是差的絕對值，在 0：2&：舊尸2|條件下；|卩只|-|卩卩2尸2&時 為雙曲線的一支（含 F2的一支）；| PF2 | - | PF11= 2a時為雙曲線的另一支（含 F1的一

5、支）； 當2a =廳店2 |時，|PR |-| PF? |=2a表示兩條射線；當2a |F2|時，| PFi | PF2 | 2a不表示任何圖形；兩定點 橢圓和雙曲線比較：橢Fi, F2叫做雙曲線的焦點，IF1F2 |叫做焦距。疋義方程焦八、占八、|PFj |PF2|=2a(2a時2 |)IIPFi |-|PF2卜 2a(2a ：| RF? |)F (_c,0)F(0, _c)F(_c,0)F(0, _c)注意：如何有方程確定焦點的位置!（2）雙曲線的性質范圍：從標準方程x - _a的外側。即x2對稱性：雙曲線2xa2a2 x 2 a2聳=1，看出曲線在坐標系中的范圍：b2,x - a即雙曲線

6、在兩條直線 x - _a的外側。雙曲線在兩條直線曲線的對稱軸，原點是雙曲線2=1關于每個坐標軸和原點都是對稱的，這時，坐標軸是雙 b22 2篤一% = 1的對稱中心，雙曲線的對稱中心叫做雙曲線的中a b心。2 2頂點：雙曲線和對稱軸的交點叫做雙曲線的頂點。在雙曲線x2 一 y2 =1的方程里，a b對稱軸是x, y軸，所以令y=0得x二a ,因此雙曲線和x軸有兩個交點2 2A （-a,0）A2（a,0），他們是雙曲線 篤-豈-1的頂點。a b令x = 0，沒有實根，因此雙曲線和y軸沒有交點。1）注意：雙曲線的頂點只有兩個，這是與橢圓不同的（橢圓有四個頂點），雙曲線的頂點分別是實軸的兩個端點。2

7、）實軸：線段 A A叫做雙曲線的實軸，它的長等于 2a,a叫做雙曲線的實半軸長。虛軸：線段B B2叫做雙曲線的虛軸，它的長等于2b, b叫做雙曲線的虛半軸長 漸近線：注意到開課之初所畫的矩形，矩形確定了兩條對角線，這兩條直線即稱為2 2雙曲線的漸近線。從圖上看，雙曲線牛-篤=1的各支向外延伸時，與這兩條直線逐漸接a b近。 等軸雙曲線：1） 定義：實軸和虛軸等長的雙曲線叫做等軸雙曲線。定義式：a =b ；2） 等軸雙曲線的性質：（1 ）漸近線方程為：y=x ；（2）漸近線互相垂直注意以上幾個性質與定義式彼此等價。亦即若題目中出現上述其一，即可推知雙曲線為等軸雙曲線，同時其他幾個亦成立。no3）

8、 注意到等軸雙曲線的特征 a=b，則等軸雙曲線可以設為：x - y二（=0）, 當，0時交點在x軸，當'：0時焦點在y軸上2 2 2 2 注意-y1與yx1的區(qū)別：三個量a,b,c中a,b不同（互換）c相同,169916還有焦點所在的坐標軸也變了。3.拋物線（1）拋物線的概念平面內與一定點 F和一條定直線I的距離相等的點的軌跡叫做拋物線（定點F不在定直線I上）。定點F叫做拋物線的焦點，定直線I叫做拋物線的準線。方程y2 =2px p 0叫做拋物線的標準方程。注意：它表示的拋物線的焦點在x軸的正半軸上，焦點坐標是 F （ p ,0），它的準線方2程是x；2（2）拋物線的性質一條拋物線，由于它在坐標系的位置不同，方程也不同，有四種不同的情況，所以拋物線的標準方程還有其他幾種形式：y2 - -2px， x2 =2py， x2 - -2py.這四種拋物線的圖形、標準方程、焦點坐標以及準線方程如下表:標準方程y2 =2pxy2 - -2px圖形x2 二 2 py(p 0)x2 - -2py(p 0)焦點坐標(衛(wèi),0)2(-炸0)2（0自(0二準線方程XIV2222范圍x _0x乞0y _0y空0對稱性x軸X軸y軸y軸頂點(0,0)(0,