圓錐曲線的性質(zhì)

1、1 橢圓（1）橢圓概念M為橢圓上任意一點(diǎn)，則有平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)Fi、F2的距離的和等于常數(shù)（大于IRF2I）的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓。這兩 個(gè)定點(diǎn)叫做橢圓的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)的距離叫橢圓的焦距。若| MF, | |MF2 | = 2a22 2 2橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：X2y2 1（ a b 0）（焦點(diǎn)在x軸上）或y2X2 =1a ba b（a . b . 0）（焦點(diǎn)在y軸上）。注：以上方程中a, b的大小a . b . 0，其中c2 a2 -b2 ；2 2 2 2X yy x在T 2=1和壽 2 -1兩個(gè)方程中都有a b 0的條件，要分清焦點(diǎn)的位置，a ba b只要看x2和y2的分母的大小。例如橢圓=1時(shí)表示

2、焦點(diǎn)在x軸上的橢圓；當(dāng) m：n時(shí)表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓（2）橢圓的性質(zhì)2 2 范圍：由標(biāo)準(zhǔn)方程 爲(wèi)=1知|x|a,|y|zb，說(shuō)明橢圓位于直線x=a，a by二_b所圍成的矩形里； 對(duì)稱性：在曲線方程里，若以-y代替y方程不變，所以若點(diǎn)（x, y）在曲線上時(shí)，點(diǎn) （x,-y）也在曲線上，所以曲線關(guān)于 x軸對(duì)稱，同理，以-x代替x方程不變，則曲線關(guān)于y 軸對(duì)稱。若同時(shí)以 -x代替x，- y代替y方程也不變，則曲線關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱。所以，橢圓關(guān)于x軸、y軸和原點(diǎn)對(duì)稱。這時(shí)，坐標(biāo)軸是橢圓的對(duì)稱軸，原點(diǎn)是對(duì)稱中 心，橢圓的對(duì)稱中心叫橢圓的中心； 頂點(diǎn)：確定曲線在坐標(biāo)系中的位置，常需要求出曲線與x軸、y軸的

3、交點(diǎn)坐標(biāo)。在橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中，令x =0，得y =b，則B1（0, ，B2（0,b）是橢圓與y軸的兩個(gè)交點(diǎn)。 同理令y = 0得x二_a，即A（-a,0），A2（a,0）是橢圓與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)。所以，橢圓與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)有四個(gè)，這四個(gè)交點(diǎn)叫做橢圓的頂點(diǎn)。同時(shí)，線段A A、B1B2分別叫做橢圓的長(zhǎng)軸和短軸，它們的長(zhǎng)分別為2a和2b，a和b分別叫做橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)和短半軸長(zhǎng)。由橢圓的對(duì)稱性知： 橢圓的短軸端點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為 a ；在Rt OB2F2中，I，|OF2|=c, |B2F2 戶a，且 |OF212 =|B2F2 I2 -|OB2 I2，即 c2 二a2_c2 ；c離心率：橢圓的焦距與長(zhǎng)軸的比

4、e叫橢圓的離心率。 a c 0 ,a 0：e：1,a且e越接近1, c就越接近a，從而b就越小，對(duì)應(yīng)的橢圓越扁；反之， e越接近于0, c就 越接近于0，從而b越接近于a，這時(shí)橢圓越接近于圓。當(dāng)且僅當(dāng) a=b時(shí)，c = 0，兩焦 點(diǎn)重合，圖形變?yōu)閳A，方程為 x2 y2 a2。2雙曲線（1）雙曲線的概念平面上與兩點(diǎn)距離的差的絕對(duì)值為非零常數(shù)的動(dòng)點(diǎn)軌跡是雙曲線 （侍叩-|PF2|=2a）。注意：（ *）式中是差的絕對(duì)值，在 0：2&：舊尸2|條件下；|卩只|-|卩卩2尸2&時(shí) 為雙曲線的一支（含 F2的一支）；| PF2 | - | PF11= 2a時(shí)為雙曲線的另一支（含 F1的一

5、支）； 當(dāng)2a =廳店2 |時(shí)，|PR |-| PF? |=2a表示兩條射線；當(dāng)2a |F2|時(shí)，| PFi | PF2 | 2a不表示任何圖形；兩定點(diǎn) 橢圓和雙曲線比較：橢Fi, F2叫做雙曲線的焦點(diǎn)，IF1F2 |叫做焦距。疋義方程焦八、占八、|PFj |PF2|=2a(2a時(shí)2 |)IIPFi |-|PF2卜 2a(2a ：| RF? |)F (_c,0)F(0, _c)F(_c,0)F(0, _c)注意：如何有方程確定焦點(diǎn)的位置!（2）雙曲線的性質(zhì)范圍：從標(biāo)準(zhǔn)方程x - _a的外側(cè)。即x2對(duì)稱性：雙曲線2xa2a2 x 2 a2聳=1，看出曲線在坐標(biāo)系中的范圍：b2,x - a即雙曲線

6、在兩條直線 x - _a的外側(cè)。雙曲線在兩條直線曲線的對(duì)稱軸，原點(diǎn)是雙曲線2=1關(guān)于每個(gè)坐標(biāo)軸和原點(diǎn)都是對(duì)稱的，這時(shí)，坐標(biāo)軸是雙 b22 2篤一% = 1的對(duì)稱中心，雙曲線的對(duì)稱中心叫做雙曲線的中a b心。2 2頂點(diǎn)：雙曲線和對(duì)稱軸的交點(diǎn)叫做雙曲線的頂點(diǎn)。在雙曲線x2 一 y2 =1的方程里，a b對(duì)稱軸是x, y軸，所以令y=0得x二a ,因此雙曲線和x軸有兩個(gè)交點(diǎn)2 2A （-a,0）A2（a,0），他們是雙曲線 篤-豈-1的頂點(diǎn)。a b令x = 0，沒(méi)有實(shí)根，因此雙曲線和y軸沒(méi)有交點(diǎn)。1）注意：雙曲線的頂點(diǎn)只有兩個(gè)，這是與橢圓不同的（橢圓有四個(gè)頂點(diǎn)），雙曲線的頂點(diǎn)分別是實(shí)軸的兩個(gè)端點(diǎn)。2

7、）實(shí)軸：線段 A A叫做雙曲線的實(shí)軸，它的長(zhǎng)等于 2a,a叫做雙曲線的實(shí)半軸長(zhǎng)。虛軸：線段B B2叫做雙曲線的虛軸，它的長(zhǎng)等于2b, b叫做雙曲線的虛半軸長(zhǎng) 漸近線：注意到開(kāi)課之初所畫(huà)的矩形，矩形確定了兩條對(duì)角線，這兩條直線即稱為2 2雙曲線的漸近線。從圖上看，雙曲線牛-篤=1的各支向外延伸時(shí)，與這兩條直線逐漸接a b近。 等軸雙曲線：1） 定義：實(shí)軸和虛軸等長(zhǎng)的雙曲線叫做等軸雙曲線。定義式：a =b ；2） 等軸雙曲線的性質(zhì)：（1 ）漸近線方程為：y=x ；（2）漸近線互相垂直注意以上幾個(gè)性質(zhì)與定義式彼此等價(jià)。亦即若題目中出現(xiàn)上述其一，即可推知雙曲線為等軸雙曲線，同時(shí)其他幾個(gè)亦成立。no3）

8、 注意到等軸雙曲線的特征 a=b，則等軸雙曲線可以設(shè)為：x - y二（=0）, 當(dāng)，0時(shí)交點(diǎn)在x軸，當(dāng)'：0時(shí)焦點(diǎn)在y軸上2 2 2 2 注意-y1與yx1的區(qū)別：三個(gè)量a,b,c中a,b不同（互換）c相同,169916還有焦點(diǎn)所在的坐標(biāo)軸也變了。3.拋物線（1）拋物線的概念平面內(nèi)與一定點(diǎn) F和一條定直線I的距離相等的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線（定點(diǎn)F不在定直線I上）。定點(diǎn)F叫做拋物線的焦點(diǎn)，定直線I叫做拋物線的準(zhǔn)線。方程y2 =2px p 0叫做拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程。注意：它表示的拋物線的焦點(diǎn)在x軸的正半軸上，焦點(diǎn)坐標(biāo)是 F （ p ,0），它的準(zhǔn)線方2程是x；2（2）拋物線的性質(zhì)一條拋物線，由于它在坐標(biāo)系的位置不同，方程也不同，有四種不同的情況，所以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程還有其他幾種形式：y2 - -2px， x2 =2py， x2 - -2py.這四種拋物線的圖形、標(biāo)準(zhǔn)方程、焦點(diǎn)坐標(biāo)以及準(zhǔn)線方程如下表:標(biāo)準(zhǔn)方程y2 =2pxy2 - -2px圖形x2 二 2 py(p 0)x2 - -2py(p 0)焦點(diǎn)坐標(biāo)(衛(wèi),0)2(-炸0)2（0自(0二準(zhǔn)線方程XIV2222范圍x _0x乞0y _0y空0對(duì)稱性x軸X軸y軸y軸頂點(diǎn)(0,0)(0,