剛體之圓環(huán)滾動(dòng)的規(guī)律

1、*范例范例4.6 圓環(huán)滾動(dòng)的規(guī)律圓環(huán)滾動(dòng)的規(guī)律(動(dòng)畫(huà)動(dòng)畫(huà))一質(zhì)量為一質(zhì)量為m半徑為半徑為R的圓環(huán)以初速度的圓環(huán)以初速度v0沿沿x方向水平運(yùn)動(dòng)，方向水平運(yùn)動(dòng)，其初始角速度為其初始角速度為0，環(huán)與水平面的摩擦系數(shù)為，環(huán)與水平面的摩擦系數(shù)為，分析圓，分析圓環(huán)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。環(huán)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。解析解析如圖所示，圓環(huán)的運(yùn)動(dòng)一如圖所示，圓環(huán)的運(yùn)動(dòng)一般有兩個(gè)階段，一個(gè)是有滑動(dòng)的般有兩個(gè)階段，一個(gè)是有滑動(dòng)的滾動(dòng)，一個(gè)是無(wú)滑動(dòng)的滾動(dòng)。滾動(dòng)，一個(gè)是無(wú)滑動(dòng)的滾動(dòng)。在有滑動(dòng)的滾動(dòng)階段，圓環(huán)受在有滑動(dòng)的滾動(dòng)階段，圓環(huán)受到重力到重力mg和水平面的支持力和水平面的支持力N以及水平面的滑動(dòng)摩擦力以及水平面的滑動(dòng)摩擦力f?；瑒?dòng)摩擦力為

2、滑動(dòng)摩擦力為f = N = mg，重力和支持力大小相等，方向相反，因而抵消。重力和支持力大小相等，方向相反，因而抵消。其方向與速度方向相反其方向與速度方向相反。xORyCv00vCfmgNCP*范例范例4.6 圓環(huán)滾動(dòng)的規(guī)律圓環(huán)滾動(dòng)的規(guī)律(動(dòng)畫(huà)動(dòng)畫(huà))一質(zhì)量為一質(zhì)量為m半徑為半徑為R的圓環(huán)以初速的圓環(huán)以初速度度v0沿沿x方向水平運(yùn)動(dòng)，其初始角方向水平運(yùn)動(dòng)，其初始角速度為速度為0，環(huán)與水平面的摩擦系，環(huán)與水平面的摩擦系數(shù)為數(shù)為，分析圓環(huán)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。，分析圓環(huán)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。利用初始條件，當(dāng)利用初始條件，當(dāng)t = 0時(shí)時(shí)vC = v0， = 0，可得，可得根據(jù)剛體的質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理和繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)定理可列方程

3、根據(jù)剛體的質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理和繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)定理可列方程f = N = mg其中其中JC = mR2為圓為圓環(huán)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。環(huán)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。積分得積分得xORyCv00vCfmgNCP22ddxmmgt 2C2ddJmgRt C1ddxvgtCt 1d1dgtCtR vC = v0 gt，0gtR圓環(huán)的質(zhì)心做減速運(yùn)動(dòng)，圓圓環(huán)的質(zhì)心做減速運(yùn)動(dòng)，圓環(huán)繞質(zhì)心也做減速運(yùn)動(dòng)環(huán)繞質(zhì)心也做減速運(yùn)動(dòng)。*范例范例4.6 圓環(huán)滾動(dòng)的規(guī)律圓環(huán)滾動(dòng)的規(guī)律(動(dòng)畫(huà)動(dòng)畫(huà))如果如果vp = 0則有滑滾動(dòng)就結(jié)則有滑滾動(dòng)就結(jié)束了，圓環(huán)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為束了，圓環(huán)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為環(huán)上任一點(diǎn)的速度為環(huán)上任一點(diǎn)的速度為v = vC + r 環(huán)與水平面的接觸

4、點(diǎn)環(huán)與水平面的接觸點(diǎn)P的速度為的速度為vp = vC + R = v0 + 0R - 2gt 其中，其中，0R是圓環(huán)參考系中，環(huán)邊緣的線速度。是圓環(huán)參考系中，環(huán)邊緣的線速度。xORyCv00vCfmgNCPvC = v0 gt，0gtR圓環(huán)有滑滾動(dòng)的質(zhì)心圓環(huán)有滑滾動(dòng)的質(zhì)心末速度和末角速度末速度和末角速度00M2vRtg00CM2vRv00M/2vR討論討論如果如果v0 = 0R，則則vCM = M = 0，圓環(huán)，圓環(huán)做完有滑動(dòng)的滾動(dòng)之做完有滑動(dòng)的滾動(dòng)之后就靜止了。后就靜止了。如果如果v0 0R，則，則vCM 0，M 0，圓環(huán)做完有，圓環(huán)做完有滑動(dòng)的滾動(dòng)之后繼續(xù)向滑動(dòng)的滾動(dòng)之后繼續(xù)向前作無(wú)滑動(dòng)的

5、滾動(dòng)。前作無(wú)滑動(dòng)的滾動(dòng)。如果如果v0 0R，則，則vCM 0，圓，圓環(huán)做完有滑動(dòng)環(huán)做完有滑動(dòng)的滾動(dòng)之后向的滾動(dòng)之后向后作無(wú)滑動(dòng)的后作無(wú)滑動(dòng)的滾動(dòng)滾動(dòng)。*范例范例4.6 圓環(huán)滾動(dòng)的規(guī)律圓環(huán)滾動(dòng)的規(guī)律(動(dòng)畫(huà)動(dòng)畫(huà))當(dāng)當(dāng)t = tM時(shí)，圓環(huán)質(zhì)心有時(shí)，圓環(huán)質(zhì)心有滑滾動(dòng)的最大距離為滑滾動(dòng)的最大距離為在有滑滾動(dòng)階段，圓環(huán)質(zhì)在有滑滾動(dòng)階段，圓環(huán)質(zhì)心到心到t時(shí)刻運(yùn)動(dòng)的距離時(shí)刻運(yùn)動(dòng)的距離圓環(huán)繞質(zhì)心到圓環(huán)繞質(zhì)心到t時(shí)時(shí)刻轉(zhuǎn)過(guò)的角度為刻轉(zhuǎn)過(guò)的角度為xORyCv00vCfmgNCPvC = v0 gt，0gtR圓環(huán)繞質(zhì)心轉(zhuǎn)過(guò)圓環(huán)繞質(zhì)心轉(zhuǎn)過(guò)的最大角度為的最大角度為00M2vRtg在無(wú)滑滾動(dòng)階段，圓環(huán)質(zhì)心做勻速直線運(yùn)動(dòng)，質(zhì)

6、心在無(wú)滑滾動(dòng)階段，圓環(huán)質(zhì)心做勻速直線運(yùn)動(dòng)，質(zhì)心到到t + tM時(shí)刻運(yùn)動(dòng)的距離為時(shí)刻運(yùn)動(dòng)的距離為x2 = x1M + vCMt (t 0)21C00001d()d2ttxvtvgttv tgt210000d()d2ttggtttttRR01M0 M011(1)4Rxv tv01M0 M011(1)4vtR圓環(huán)繞質(zhì)心做勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，到圓環(huán)繞質(zhì)心做勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，到t + tM時(shí)刻轉(zhuǎn)時(shí)刻轉(zhuǎn)過(guò)的角度為過(guò)的角度為2 = 1M + Mt (t 0) 。 (t tM)當(dāng)圓環(huán)初始線速度與質(zhì)心初速度相等時(shí)，圓當(dāng)圓環(huán)初始線速度與質(zhì)心初速度相等時(shí)，圓環(huán)上各點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的軌跡，這是倒置的擺線。環(huán)上各點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的軌跡，這是倒置的擺線。質(zhì)心

7、的速度和角速度直線質(zhì)心的速度和角速度直線減小為減小為0，最后保持不變。，最后保持不變。當(dāng)圓環(huán)初始線速度與質(zhì)心初速度的比值為當(dāng)圓環(huán)初始線速度與質(zhì)心初速度的比值為0.5時(shí)，圓環(huán)上各點(diǎn)先做有滑動(dòng)的滾動(dòng)，軌跡曲線時(shí)，圓環(huán)上各點(diǎn)先做有滑動(dòng)的滾動(dòng)，軌跡曲線光滑；再向前做無(wú)滑動(dòng)的滾動(dòng)，軌跡是擺線。光滑；再向前做無(wú)滑動(dòng)的滾動(dòng)，軌跡是擺線。質(zhì)心速度直線減小，最后保持為正的常數(shù)；角速質(zhì)心速度直線減小，最后保持為正的常數(shù)；角速度直線減小到度直線減小到0后反方向增加，最后保持為負(fù)值。后反方向增加，最后保持為負(fù)值。當(dāng)圓環(huán)初始線速度與質(zhì)心初速度的比值為當(dāng)圓環(huán)初始線速度與質(zhì)心初速度的比值為1.5時(shí)，圓環(huán)時(shí)，圓環(huán)上各點(diǎn)先做有滑動(dòng)的滾動(dòng)，軌跡有回?cái)[現(xiàn)象，而且越來(lái)上各點(diǎn)先做有滑動(dòng)的滾動(dòng)，軌跡有回?cái)[現(xiàn)象，而且越來(lái)越大；圓環(huán)后做無(wú)滑動(dòng)的向后滾動(dòng)，軌跡也是擺