判定廣義積分的收斂性

1、咸陽師范學(xué)院本科畢業(yè)論文題 目：論廣義積分的收斂性 專 業(yè)： 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué) 姓 名： 付 美 班 級： 1121班 指導(dǎo)教師： 楊 衍 婷 職 稱： 助 教 畢業(yè)日期： 二0一三年七月 論廣義積分的收斂性（咸陽師范學(xué)院與信息科學(xué)學(xué)院 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué) 1121班 陜西，西安 付美 1106212120 712000）摘 要 廣義積分主要包括兩部分：無窮限的廣義積分和無界函數(shù)的廣義積分，以及含參變量的廣義積分的收斂性，無界函數(shù)的廣義積分又可稱為瑕積分.廣義積分是定積分突破條件限制的一個(gè)推廣，定積分的的主要特點(diǎn)是積分區(qū)間是有界點(diǎn)集且被積函數(shù)在積分區(qū)域上有界，但這些限制條件不能解決實(shí)際中有些問題，于

2、是突破這兩條限制的束縛得到其推廣形式即廣義積分，廣義積分又稱為非正常積分和反常積分.大部分的廣義積分不可被直接計(jì)算，有的雖然能計(jì)算出它的值，但計(jì)算過程十分麻煩，因此判斷廣義積分的收斂性就成為廣義積分求值的一個(gè)決定性條件，本文就針對斂散性論述廣義積分.首先簡述廣義積分、無窮限廣義積分和無界函數(shù)廣義積分的定義及性質(zhì)；其次探討廣義積分的斂散性，討論幾種比較常用的判別方法和技巧，并舉例說明驗(yàn)證；最后討論含參變量的廣義積分的一致收斂性和歐拉積分. 關(guān)鍵詞：廣義積分；無窮限廣義積分；無界函數(shù)廣義積分；瑕積分；含參變量廣義積分；收斂；發(fā)散;一致收斂性.25The Convergence of General

3、ized integral(school of Mathematics and Information Science, Xian yang Normal University, Mathematics and applied mathematics ,Class of 1121, Shanxi,Xian , Fumei 1106212120 712000)Abstract Generalized integral mainly includes two parts : Infinite range of generalized integral , Unbounded function of

4、 generalized integral and Generalized integral of parameter , Unbounded function of generalized integral can be called Improper integral . Generalized integral is break through the constraints of a definite integral promotion, main characteristics of the definite is the integral is bounded and integ

5、rand bounded in the region , but some of these restrictions will not solve the actual problem , and break through the bondage of two limits its popularization form the generalized integral , generalized integral is also known as abnormal integral and improper integral . Most of the generalized integ

6、ral cannot be calculated directly , although some able to compute its value , but the calculation process is very troublesome , so judging the convergence of the generalized integral is generalized integral evaluated integral . First of all briefly generalized generalized integral and unbounded func

7、tion integral , infinite range of generalized integral definition and the nature ; Secondly discusses generalized integral of divergence , discussing several discriminant methods and techniques , witch are frequently used for validation ; The last but not least discuss with uniform convergence of ge

8、neralized integral of parameter and Euler integral .Key words: Generalized integral ; Infinite range of generalized integral ; Unbounded function of generalized integral ; Improper integral ; Generalized integral of parameter ; Convergence ; Diverge ; Uniform convergence .目錄摘 要1Abstract2目錄3第一章 前 言5第

9、二章 廣義積分?jǐn)可⑿缘呐袆e52.1 廣義積分52.2 無窮積分62.2.1 無窮積分的定義62.2.2 無窮積分的性質(zhì)72.3 無窮積分?jǐn)可⑿缘呐袆e72.3.1 定義法72.3.2被積函數(shù)不變號情形的判別方法92.3.2.1比較判別法92.3.2.2比較判別法的極限形式92.3.2.3 柯西判別法102.3.3 被積函數(shù)為一般情形112.3.3.1 柯西收斂準(zhǔn)則112.3.3.2絕對收斂及條件收斂判別法122.3.3.3狄利克雷判別法132.3.3.4阿貝爾判別法132.4瑕積分142.4.1 瑕積分的定義142.4.2瑕積分的性質(zhì)152.4.3瑕積分的斂散性判別法152.4.3.1定義法15

10、2.4.3.2比較法162.4.3.3柯西收斂準(zhǔn)則172.4.3.4絕對收斂及條件收斂判別法182.4.3.5狄利克雷判別法182.4.3.6阿貝爾判別法192.5含參變量的廣義積分192.5.1含參變量廣義積分的定義192.5.2 含參變量廣義積分的一致收斂性202.5.2.1 柯西判別法202.5.2.2 維爾斯特拉斯判別法202.5.2.3 狄利克雷判別法202.5.2.4阿貝爾判別法202.6 歐拉積分232.6.1 第一類歐拉積分（函數(shù)）232.6.2 第二類歐拉積分（函數(shù)）23總 結(jié)25參考文獻(xiàn)26謝 辭28第一章 前 言無窮限廣義積分積分（簡稱無窮積分）和無界函數(shù)廣義積分（簡稱無

11、界函數(shù)積分或瑕積分）統(tǒng)稱為廣義積分，廣義積分又稱非正常積分或者反常積分.單從定積分可看出積分區(qū)域是有界的，被積函數(shù)在積分區(qū)域上是有界的.但積分，就不滿足這兩個(gè)限制條件，約束限制了定積分的應(yīng)用，因此就要擺脫定積分在這兩方面的限制，將定積分的概念加以推廣，把積分區(qū)間有界拓展到無窮限區(qū)間積分和被積函數(shù)在積分區(qū)間上有界拓展到無界函數(shù)積分，即瑕積分，這就是廣義積分或非正常積分（或反常積分）.近幾年，微積分的發(fā)展十分迅速，而廣義積分是隨著高等數(shù)學(xué)的發(fā)展而發(fā)展起來的近代數(shù)學(xué)，是高等數(shù)學(xué)中重要的一個(gè)概念，且作為數(shù)學(xué)中的一類基本命題，為其他學(xué)科解決了許多計(jì)算上的難題，廣泛應(yīng)用于各種問題，也對其發(fā)展起到了促進(jìn)作用

12、.廣義積分在實(shí)際解決問題中有重要的作用，從而對廣義積分?jǐn)可⑿缘奶接懢褪钟斜匾?關(guān)于廣義積分的斂散性的判別在很多文獻(xiàn)中都有介紹，廣義積分?jǐn)可⑿缘呐袆e方法與技巧也多種多樣，本論文通過廣義積分的定義及其性質(zhì)來探討它的斂散性，主要針對無窮限積分和無界函數(shù)積分的斂散性及含參變量廣義積分的一致收斂性的判別方法進(jìn)行探討.第二章 廣義積分?jǐn)可⑿缘呐袆e2.1 廣義積分 前面學(xué)過了函數(shù)在有界區(qū)間上的定積分（黎曼函數(shù)）其積分區(qū)間有限切被積函數(shù)在積分區(qū)間上有界，但實(shí)際問題把有界的限制予以解放，推廣到無窮限的積分和被積函數(shù)無界的積分，是目前我們還不明白的，這些積分統(tǒng)稱為廣義積分，廣義積分又稱為非正常積分或反常積分.

13、廣義積分分為無窮積分與瑕積分.2.2 無窮積分2.2.1 無窮積分的定義定義 1 設(shè)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)，及對有定義，且在任何有限區(qū)間內(nèi)可積，若積分在下有意義，當(dāng)積分在時(shí)的無窮極限叫函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的無窮積分，記作. 若則稱無窮積分是收斂的，且它的值是.如果不存在，則稱無窮積分是發(fā)散的. 類似的可定義在區(qū)間上的無窮積分，若的極限存在，則積分收斂，否則發(fā)散.當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上都可積，則稱為函數(shù)在上的無窮積分，且有（積分區(qū)間的可加性），若都收斂，則無窮積分收斂，否則發(fā)散.2.2.2 無窮積分的性質(zhì)無窮積分是否收斂取決于積分在時(shí)是否存在極限，從而根據(jù)函數(shù)極限和定積分的一些性質(zhì)可推導(dǎo)出一些無窮積分的性質(zhì).性質(zhì) 1 如

14、果積分收斂，則積分也收斂，且有.性質(zhì) 2 如果積分均收斂，對，也收斂，且有.性質(zhì) 3 如果積分均收斂，則積分也收斂，且有.性質(zhì)4 如果在區(qū)間上可積，且積分收斂，則積分必收斂，有.2.3 無窮積分?jǐn)可⑿缘呐袆e2.3.1 定義法可以利用無窮積分的定義以及極限的方法來判別無窮積分的收斂性，這種方法適用于無窮積分所對應(yīng)的定積分，且原函數(shù)比較容易求出的類型.證明：無窮積分收斂.證：因?yàn)?，設(shè)則有從而有設(shè)，則有故有上面可知積分均收斂于，由積分的可加性知也收斂，且例1：討論無窮積分收斂性.解：當(dāng)，設(shè)對且有當(dāng)，有綜上可知，當(dāng)時(shí)，積分收斂于，當(dāng)時(shí)，積分發(fā)散.由例題可以看出定義法判別積分的收斂性非常的簡潔方便，而且

15、十分有效.2.3.2被積函數(shù)不變號情形的判別方法2.3.2.1比較判別法定理1 如果當(dāng)時(shí)成立不等式，則由積分收斂性可推知積分的收斂性，即由積分的發(fā)散性可推知積分的發(fā)散性.定理2 如果存在極限則在時(shí)由積分的收斂性可推知積分的收斂性，而時(shí)積分的發(fā)散性可推知積分的發(fā)散性.(在時(shí)兩積分同時(shí)收斂或發(fā)散)2.3.2.2比較判別法的極限形式積分收斂的充分必要條件是積分在增大時(shí)保持有上界：（為常數(shù)）若條件不滿足，則積分有值.定理3 如果在區(qū)間上可積，且，則有時(shí)，積分，同斂態(tài)；時(shí)，積分收斂可知收斂；時(shí)，由發(fā)散可知也發(fā)散.定理4 對于非負(fù)的，如果存在，且，則積分收斂；如果或者，且，則積分發(fā)散.例2 判別積分的收斂

16、性.解：當(dāng)時(shí)，由積分收斂知積分也收斂.例3 判別積分的收斂性.解：因?yàn)闃O限，在這里，從而積分收斂，故積分收斂.運(yùn)用比較判別法我們不需求出積分所對應(yīng)的定積分的函數(shù)形式，只需通過適當(dāng)?shù)姆趴s把所求的問題轉(zhuǎn)移到一些簡單的積分上或已知其收斂性的積分上，從而，放縮就成為解體的關(guān)鍵.2.3.2.3 柯西判別法定理 5 設(shè)在區(qū)間上有定義，在區(qū)間可積，則：當(dāng)，且時(shí)積分收斂；當(dāng)，且時(shí)積分發(fā)散.定理 6 設(shè)在區(qū)間上有定義，在區(qū)間上可積，且則：當(dāng)時(shí)，積分收斂；當(dāng)時(shí)，積分發(fā)散.例4 判別積分 ，和積分的收斂性.解：對有根據(jù)柯西判別法定理6知積分收斂.因?yàn)楦鶕?jù)柯西判別法定理6（）知積分發(fā)散.2.3.3 被積函數(shù)為一般情形

17、2.3.3.1 柯西收斂準(zhǔn)則定理7 無窮積分收斂的充要條件是：對，有，當(dāng)時(shí)，.(柯西收斂準(zhǔn)則是研究數(shù)列函數(shù)斂散性的重要方法，同時(shí)也是研究無窮積分?jǐn)可⑿缘闹匾椒?)例5 設(shè)在上連續(xù)，（其中）討論積分的斂散性.解：設(shè)對有則又從而故因?yàn)?，則對有，當(dāng)時(shí)且當(dāng)時(shí)由柯西收斂準(zhǔn)則知收斂.2.3.3.2絕對收斂及條件收斂判別法定理8 如果無窮廣義積分收斂，則無窮廣義積分也收斂.定義2 如果無窮積分收斂，則稱無窮積分絕對收斂.定義3 如果無窮積分收斂，但不絕對收斂，則稱廣義積分條件收斂.定理9 積分關(guān)于單調(diào)遞增，則積分收斂的充要條件是存在上界.由定理可知，無窮積分絕對收斂，則積分必收斂，但收斂的無窮積分不一定絕

18、對收斂.例6 證明積分絕對收斂.證：因?yàn)樗怨手e分收斂，再由定理8知積分絕對收斂.2.3.3.3狄利克雷判別法定理10 設(shè)函數(shù)在上連續(xù)，若（1）且，（2），使有則無窮積分收斂.例7 證明積分收斂. 證：當(dāng)時(shí)有，則在上連續(xù)，對，在上可積.又函數(shù)的導(dǎo)數(shù)在上連續(xù)，且則對有根據(jù)狄利克雷判別法知積分收斂. （證畢）2.3.3.4阿貝爾判別法定理11設(shè)函數(shù)在上連續(xù)，若（1）收斂，（2）非負(fù)且，（3）有（其中）則無窮積分收斂.狄利克雷判別法和阿貝爾判別法是判別兩個(gè)函數(shù)乘積的無窮積分的斂散性，也是判別無窮積分條件收斂的方法.2.4瑕積分2.4.1 瑕積分的定義定義4 設(shè)函數(shù)在區(qū)間上有定義，點(diǎn)的任意右鄰域內(nèi)無

19、界，但在任何區(qū)間上有界且可積，若存在極限則稱此極限為無界函數(shù)在區(qū)間上的廣義積分，記作，且無界廣義積分收斂，若極限不存在，則無界廣義積分發(fā)散.被積函數(shù)在點(diǎn)近旁是無界的，點(diǎn)成為函數(shù)的瑕點(diǎn)，因此無界廣義積分又稱為瑕積分.類似的可定義瑕點(diǎn)為時(shí)的瑕積分，函數(shù)在區(qū)間上有定義，在的任意左鄰域內(nèi)無界，但在上可積則有.極限存在時(shí)積分收斂，極限不存在積分發(fā)散.當(dāng)函數(shù)的瑕點(diǎn)，在上有定義，在點(diǎn)的任意鄰域內(nèi)無界，但在上都可積，則有瑕積分，當(dāng)右邊的兩個(gè)瑕積分都收斂時(shí)，左邊的瑕積分才收斂.如果都是函數(shù)的瑕點(diǎn)，在上可積，有積分，當(dāng)右邊的兩個(gè)瑕積分都收斂時(shí)左邊的瑕積分才收斂.2.4.2瑕積分的性質(zhì)瑕積分的理論與無窮積分的理論是

20、平行的，從而得出瑕積分的性質(zhì)：性質(zhì)1 設(shè)函數(shù)的瑕點(diǎn)同為，當(dāng)瑕積分都收斂時(shí)，瑕積分必收斂，有.性質(zhì)2 設(shè)函數(shù)的瑕點(diǎn)為，為任一常數(shù)，則瑕積分同斂態(tài)，有.性質(zhì)3 設(shè)函數(shù)的瑕點(diǎn)為，在的任一內(nèi)閉區(qū)間上可積，當(dāng)收斂時(shí)，積分必定收斂，有.2.4.3瑕積分的斂散性判別法因?yàn)殍Ψe分的斂散性與無窮積分的斂散性是平行的，則類比無窮積分的斂散性來討論瑕積分的斂散性.2.4.3.1定義法運(yùn)用定義法可以判別一些簡單的瑕積分，適用于瑕積分所對應(yīng)的定積分易于求出原函數(shù)的類型，簡單快捷，方便有效.例 8 判斷瑕積分的斂散性.解：由題可知被積函數(shù)的瑕點(diǎn)為，由瑕積分定義有當(dāng)時(shí)，綜上可知，當(dāng)時(shí)積分收斂，當(dāng)時(shí)，極限不存在，故積分發(fā)散.

21、2.4.3.2比較法定理12 設(shè)函數(shù)在上有定義，瑕點(diǎn)同為，在可積，且，當(dāng)收斂，必定收斂.發(fā)散時(shí)必定發(fā)散.由上述定理可以得出以下推論：推論1 如果，則（1），與同斂態(tài).（2），由可知收斂.（3），由可知發(fā)散.推論2 設(shè)函數(shù)在有定義，瑕點(diǎn)為，在上可積，則 （1），時(shí)知收斂.（2），時(shí)知發(fā)散.推論3 設(shè)函數(shù)在有定義，瑕點(diǎn)為，在上可積，若，則（1）,時(shí)知收斂.（2）,時(shí)知發(fā)散.例9 證明瑕積分收斂，發(fā)散.證：瑕積分的瑕點(diǎn)為由推論3知當(dāng)時(shí)有從而瑕積分收斂.瑕積分的瑕點(diǎn)為，當(dāng)時(shí)有從而知瑕積分發(fā)散.運(yùn)用比較法討論瑕積分的斂散性時(shí)，要進(jìn)行適當(dāng)?shù)姆趴s，而熟悉公式后問題就變得相對簡單了.2.4.3.3柯西收斂準(zhǔn)則

22、定理13 瑕積分瑕點(diǎn)收斂的充要條件是：，當(dāng)時(shí)有.例10 證明積分收斂，發(fā)散.證：易知積分在的被積函數(shù)區(qū)間上連續(xù)且瑕點(diǎn)為，取，對當(dāng)時(shí)有根據(jù)柯西收斂準(zhǔn)則知瑕積分收斂.知瑕積分的被積函數(shù)在上連續(xù)瑕點(diǎn)為，對當(dāng)時(shí)有因?yàn)?，則，從而即故由柯西收斂準(zhǔn)則知瑕積分發(fā)散.柯西收斂準(zhǔn)則與定義法比較起來判別積分?jǐn)可⑿詴r(shí)稍復(fù)雜些.柯西收斂準(zhǔn)則研究的是數(shù)列.2.4.3.4絕對收斂及條件收斂判別法定理14 當(dāng)積分收斂時(shí)稱瑕積分絕對收斂，稱收斂但不絕對收斂的瑕積分條件收斂. 瑕積分的收斂與絕對收斂是相通的.2.4.3.5狄利克雷判別法定理15 設(shè)函數(shù)在上連續(xù)，若：（1）且，（2）使對一切有，則瑕積分收斂.2.4.3.6阿貝爾判

23、別法定理16 設(shè)函數(shù)在上連續(xù)，若：（1）收斂，（2）（非負(fù)），（3），使對一切有則瑕積分收斂.狄利克雷判別法，阿貝爾判別法判別的是兩個(gè)函數(shù)乘積時(shí)積分的斂散性，也是判別瑕積分收斂的一種方法.2.5含參變量的廣義積分2.5.1含參變量廣義積分的定義定義5 設(shè)二元函數(shù)在區(qū)域上有定義，無窮積分收斂，積分中的參變量的函數(shù)可表示為，稱無窮積分為含參變量的無窮積分.定義6 如果給定的如何小，當(dāng)時(shí)，有則積分在上一致收斂.2.5.2 含參變量廣義積分的一致收斂性2.5.2.1 柯西判別法定理17 無窮積分在區(qū)間上一致收斂的充要條件：，當(dāng)時(shí)有.關(guān)于廣義積分的一致收斂性，與函數(shù)級數(shù)的情況類似，從而有：2.5.2.2

24、 維爾斯特拉斯判別法定理18 設(shè)函數(shù)在上連續(xù)，函數(shù)在上連續(xù)，且，如果積分收斂，則含參變量廣義積分對一致收斂.對于條件收斂積分的一致收斂性有地利克雷和阿貝爾判別法.2.5.2.3 狄利克雷判別法定理19 設(shè)函數(shù)在上連續(xù)，如果對，函數(shù)關(guān)于單調(diào)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)對一致收斂于0.部分積分對一致有界，即，使，則積分對一致收斂.2.5.2.4阿貝爾判別法定理20 設(shè)函數(shù)在上連續(xù)，如果對每一個(gè)取定的，函數(shù)關(guān)于單調(diào)，且.如果積分對一致收斂，則積分對一致收斂.例 12 設(shè)函數(shù)在上連續(xù)，積分一致收斂，部分積分對一致有界，即，使，求積分一致收斂.解：對有又則對，當(dāng)時(shí)則對當(dāng)時(shí)有由柯西收斂準(zhǔn)則知積分一致收斂.例13 證明積分

25、一致收斂.證：因?yàn)榉e分對于一致收斂（維爾斯特拉斯判別法判定），則積分一致收斂.例14 證明積分一致收斂. 作變元替換，有 從而有積分因?yàn)榉e分對一致收斂（有狄利克雷判別法判定）所以積分一致收斂.例15：設(shè)函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)且可積，求.解：對于取定的，函數(shù)關(guān)于單調(diào)，則有 又由題知積分收斂，由阿貝爾判別法知積分 對一致收斂，從而函數(shù) 在連續(xù)，則即 2.6 歐拉積分2.6.1 第一類歐拉積分（函數(shù)）例16 證明 證：令則有 （證畢）可知-函數(shù)對于和是對稱的.2.6.2 第二類歐拉積分（函數(shù)）例17 證明 證：注意使用第二類歐拉積分并運(yùn)用分部積分法證明，由題得 （證畢）-函數(shù)與-函數(shù)的關(guān)系：上述兩個(gè)非初等

26、函數(shù)收視有含參變量的積分來確定的，其應(yīng)用已遍及數(shù)學(xué)物理化學(xué)等多門學(xué)科.以上就是對廣義積分?jǐn)可⑿耘袆e方法的探討，以及判別廣義積分?jǐn)可⑿缘膸追N基本方法.總 結(jié)本論文根據(jù)廣義積分即非正常積分或反常積分的定義與性質(zhì)，探討了廣義積分的斂散性及判斷斂散性的的方法與技巧，輔助以例題是判斷方法和計(jì)算技巧更為直觀.從本論文的討論可知，廣義積分?jǐn)可⑿缘呐袆e方法主要有定義法、比較判別法及其極限形式、柯西判別法、絕對收斂及條件收斂判別法、狄利克雷判別法、阿貝爾判別法，準(zhǔn)確的運(yùn)用這些判別法可以使我們更快更簡單的判別廣義積分的斂散性，以提高計(jì)算的效率，迅速解決實(shí)際中的問題.數(shù)學(xué)的研究是無止盡的，廣義積分?jǐn)可⑿缘呐袆e方法與

27、技巧也會(huì)有更進(jìn)一步的推廣與研究，因此我們應(yīng)該不斷努力，加強(qiáng)學(xué)習(xí)研究，更多的深入研究這些方法，體會(huì)到數(shù)學(xué)之美，更好的融入數(shù)學(xué)的世界中.參考文獻(xiàn)1 王乾; 余小飛. 廣義積分概念的探究. 數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究(教研版). 2008-09-152 王永安.廣義積分:定積分在極限思想下的自然延伸. 西安教育學(xué)院學(xué)報(bào). 20043 陳秀引. 關(guān)于廣義積分的注解. 河北工業(yè)大學(xué)成人教育學(xué)院學(xué)報(bào). 2002(04) 4 李鑫. 論廣義積分?jǐn)可⑿缘呐袆e方法. 大眾商務(wù). 2010-01-25 5 趙德讓. 關(guān)于廣義積分的判斂. 青海大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版). 2002(02)6 雍龍泉. 廣義積分收斂的幾個(gè)補(bǔ)充性質(zhì). 高師理科學(xué)刊. 2009(01)7 張利. 廣義積分?jǐn)可⑿缘囊稽c(diǎn)注解. 安康學(xué)院學(xué)報(bào). 2009(03)8 蘇子安. 廣義積分的根值判斂法及其推廣. 數(shù)學(xué)通報(bào). 1989(06) 9 曹學(xué)鋒. 廣義積分收斂的必要條件. 數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究(教研版) . 2009-02-15 10 劉維江.廣義積分?jǐn)可⑿耘袆e法的應(yīng)用.安順師專學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版). 199