六年級(jí)下冊(cè)奧數(shù)第七講整數(shù)的分拆 例題 習(xí)題 _通用版（例題含答案）

1、第七講 整數(shù)的分拆整數(shù)分拆是數(shù)論中一個(gè)既古老又活潑的問題.把自然數(shù)n分成為不計(jì)順序的假設(shè)干個(gè)自然數(shù)之和n=n1+n2+nmn1n2nm1的一種表示法，叫做n的一種分拆.對(duì)被加項(xiàng)及項(xiàng)數(shù)m加以一些限制條件，就得到某種特殊類型的分拆.早在中世紀(jì)，就有關(guān)于特殊的整數(shù)分拆問題的研究.1742年德國(guó)的哥德巴赫提出“每個(gè)不小于6的偶數(shù)都可以寫成兩個(gè)奇質(zhì)數(shù)的和，這就是著名的哥德巴赫猜測(cè)，中國(guó)數(shù)學(xué)家陳景潤(rùn)在研究中獲得了突出的成果.下面我們通過一些例題，簡(jiǎn)單介紹有關(guān)整數(shù)分拆的根本知識(shí).一、整數(shù)分拆中的計(jì)數(shù)問題例1 有多少種方法可以把6表示為假設(shè)干個(gè)自然數(shù)之和？解：根據(jù)分拆的項(xiàng)數(shù)分別討論如下：把6分拆成一個(gè)自然數(shù)之

2、和只有1種方式；把6分拆成兩個(gè)自然數(shù)之和有3種方式6=5+1=4+2=3+3；把6分拆成3個(gè)自然數(shù)之和有3種方式6=4+1+1=3+2+1=2+2+2；把6分拆成4個(gè)自然數(shù)之和有2種方式63111=2+2+1+1；把6分拆成5個(gè)自然數(shù)之和只有1種方式6=2+1+111；把6分拆成6個(gè)自然數(shù)之和只有1種方式61+1+1+1+1+1.因此，把6分拆成假設(shè)干個(gè)自然數(shù)之和共有1+3+32+1+1=11種不同的方法.說明：本例是不加限制條件的分拆，稱為無限制分拆，它是一類重要的分拆.例2 有多少種方法可以把1994表示為兩個(gè)自然數(shù)之和？解法1：采用有限窮舉法并考慮到加法交換律：1994=1993+1=1

3、1993=1992+2=21992=998996=996+998=997+997因此，一共有997種方法可以把1994寫成兩個(gè)自然數(shù)之和.解法2：構(gòu)造加法算式：于是，只須考慮從上式右邊的1993個(gè)加號(hào)“+中每次確定一個(gè)，并把其前、后的1分別相加，就可以得到一種分拆方法；再考慮到加法交換律，因此共有997種不同的分拆方式.說明：應(yīng)用本例的解法，可以得到一般性結(jié)論：把自然數(shù)n2表示為兩個(gè)自然數(shù)之和，一共有k種不同的方式，其中例3 有多少種方法可以把100表示為有順序的3個(gè)自然數(shù)之和？例如，把3+592與5+3+92看作為100的不同的表示法分析 此題仍可運(yùn)用例1的解法2中的處理方法.解：構(gòu)造加法算

4、式于是，考慮從上式右邊的99個(gè)加號(hào)“+中每次選定兩個(gè)，并把它們所隔開的前、中、后三段的1分別相加，就可以得到一種分拆方法.因此，把100表示為3個(gè)自然數(shù)之和有種不同的方式.說明：本例可以推廣為一般性結(jié)論：“把自然數(shù)n3表示為有順序科奧林匹克數(shù)學(xué)競(jìng)賽第10題.例4 用1分、2分和5分的硬幣湊成一元錢，共有多少種不同的湊法？分析 用1分、2分和5分硬幣湊成一元錢與用2分和5分硬幣湊成不超過一元錢的湊法數(shù)是一樣的.于是，此題轉(zhuǎn)化為：“有2分硬幣50個(gè)，5分硬幣20個(gè)，湊成不超過一元錢的不同湊法有多少種？解：按5分硬幣的個(gè)數(shù)分21類計(jì)數(shù)；假假設(shè)5分硬幣有20個(gè)，顯然只有一種湊法；假假設(shè)5分硬幣有19個(gè)

5、，那么2分硬幣的幣值不超過100-5×19=5分，于是2分硬幣可取0個(gè)、1個(gè)、或 2個(gè)，即有3種不同的湊法；假假設(shè)5分硬幣有18個(gè)，那么2分硬幣的幣值不超過100-5×18=10分，于是2分硬幣可取0個(gè)、1個(gè)、2個(gè)、3個(gè)、4個(gè)、或5個(gè)，即有6種不同的湊法；如此繼續(xù)下去，可以得到不同的湊法共有：1+3+6+8+1113+16+18+21+48+51=5×1+3+6+8+4×10+2030+40+51=9040051=541種.說明：本例實(shí)際上是求三元一次不定方程x+2y+5z=100的非負(fù)整數(shù)解的組數(shù).上述例2、例3、例4都是有限制條件的特殊的整數(shù)分拆問題

6、.二、整數(shù)分拆中的最值問題在國(guó)內(nèi)外的數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題中經(jīng)常出現(xiàn)與整數(shù)分拆有關(guān)的最大值或最小值的問題.例5 試把14分拆為兩個(gè)自然數(shù)之和，使它們的乘積最大.解：由例2可知，把14分拆成兩個(gè)自然數(shù)之和，共有7種不同的方式.對(duì)每一種分拆計(jì)算相應(yīng)的乘積：14=113，1×1313；14=2+12，2×12=24；14=311，3×11=33；14=410，4×10=40；14=59，5×9=45；14=6+8，6×8=48；14=7+7，7×7=49.因此，當(dāng)把14分拆為兩個(gè)7之和的時(shí)候，乘積7×7=49最大.說明：本例可以推

7、廣為一般性結(jié)論：“把自然數(shù)n2分拆為兩個(gè)自然數(shù)a與bab之和，使其積a×b取最大值的條件是a=b或a-b=1ab.事實(shí)上，假設(shè)a-b=1m其中m是一個(gè)自然數(shù)，顯然n=ab=a-1+b1，而有a-1×b1a×ba-b-1a×bma×b.換句話說，假設(shè)n=a+b且a-b1，那么乘積a×b不是最大的.這樣，例6 試把14分拆為3個(gè)自然數(shù)之和，使它們的乘積最大.分析 由例5的說明可知，假設(shè)na+bcabc且a-c1時(shí)，乘積a×b×c不是最大的.換句話說，假設(shè)n=a+bcabc，當(dāng)a、b、c中的任意兩數(shù)相等或差為1時(shí)，乘積a

8、×b×c取最大值.解：因?yàn)?4=3×42，由分析可知：當(dāng)a=b=5且c=4時(shí)，乘積a×b×c=5×5×4100為最大值.說明：此題可以推廣為一般結(jié)論：把自然數(shù)n3分拆為3個(gè)自然數(shù)a、下面我們?cè)傺芯恳粋€(gè)難度更大的拆數(shù)問題.問題：給定一個(gè)自然數(shù)N，把它拆成假設(shè)干個(gè)自然數(shù)的和，使它們的積最大.這個(gè)問題與前面研究的兩個(gè)拆數(shù)問題的不同點(diǎn)是：?jiǎn)栴}中沒有規(guī)定把N拆成幾個(gè)自然數(shù)的和.這也正是這題的難點(diǎn)，使分拆的種類要增加許多.我們?nèi)耘f走實(shí)驗(yàn)-觀察-歸納結(jié)論這條路.先選擇較小的自然數(shù)5開場(chǎng)實(shí)驗(yàn).并把數(shù)據(jù)列表以便比較.實(shí)驗(yàn)表1：結(jié)果：5拆成23

9、時(shí)，其積6最大.你注意到了嗎？我們的實(shí)驗(yàn)結(jié)果是按把5拆分?jǐn)?shù)的個(gè)數(shù)多少，由多到少的次序進(jìn)展的.再注意，當(dāng)被拆數(shù)n3時(shí)這里n=5，為了使拆分?jǐn)?shù)的乘積最大，拆分?jǐn)?shù)中不能有1.因?yàn)楫?dāng)n3，n=1+n-1=2+n-2，且2×n-21×n-1.結(jié)果：7拆分成22+3時(shí).其積12最大.注意，分拆數(shù)中有4時(shí)，總可把4再分拆成2與2之和而不改變分拆的乘積.實(shí)驗(yàn)結(jié)果4：8拆分成23+3時(shí)，其積最大.實(shí)驗(yàn)結(jié)果5：9拆分成3+3+3時(shí)，其積最大.實(shí)驗(yàn)結(jié)果6：10拆分成3+3+22時(shí)，其積最大.觀察分析實(shí)驗(yàn)結(jié)果，要使拆分?jǐn)?shù)的乘積最大，拆分?jǐn)?shù)都由2與3組成，其形式有三種：自然數(shù)=假設(shè)干個(gè)3的和；自然數(shù)

10、=假設(shè)干個(gè)3的和+2；自然數(shù)=假設(shè)干個(gè)3的和+22.因此，我們得到結(jié)論：把一個(gè)自然數(shù)N拆分成假設(shè)干個(gè)自然數(shù)的和，只有當(dāng)這些分拆數(shù)由2或3組成，其中2最多為2個(gè)時(shí)，這些分拆數(shù)的乘積最大.因?yàn)?+2+2=3+3，2×2×23×3，所以分拆數(shù)中2的個(gè)數(shù)不能多于2個(gè).例 分別拆分1993、1994、2019三個(gè)數(shù)，使分拆后的積最大.解：1993=664×31.1994=664×321994分拆成664個(gè)3的和2時(shí)，其積最大.2019=667×32019分拆成667個(gè)3的和時(shí)，其積最大.我們以上采用的“實(shí)驗(yàn)-觀察-歸納總結(jié)方法，在數(shù)學(xué)上叫做不完全歸納法.我國(guó)著名數(shù)學(xué)家華羅庚講過：難處不在于有了公式去證明，而在于沒有公式之前怎么去找出公式.不完全歸納法正是人們尋找公式的重要方法之一.但是這種方法得出的結(jié)論有時(shí)會(huì)不正確，所以所得結(jié)論還需要嚴(yán)格證明.這一步工作要等到學(xué)習(xí)了中學(xué)的課程才能進(jìn)展. 習(xí)題七1.兩個(gè)十位數(shù)1111111111和9999999999的乘積中有幾個(gè)數(shù)字是奇數(shù)？2.計(jì)算：3.計(jì)算：9999&