內(nèi)心、外心、重心、垂心定義及性質(zhì)總結(jié)

1、內(nèi)心、外心、重心、垂心1、內(nèi)心（ 1）定義：三角形的內(nèi)心是三角形三條角平分線的交點(diǎn) ( 或內(nèi)切圓的圓心)。（ 2）三角形的內(nèi)心的性質(zhì)三角形的三條角平分線交于一點(diǎn)，該點(diǎn)即為三角形的內(nèi)心三角形的內(nèi)心到三邊的距離相等，都等于內(nèi)切圓半徑rs=(r 是內(nèi)切圓半徑 )在 RtABC中， C=90， r=(a+b-c)/2 BOC = 90 + A/2 BOA = 90 +C/2 AOC = 90 +B/22、外心（ 1）定義：三角形的外心是三角形三條垂直平分線的交點(diǎn) ( 或三角形外接圓的圓心 ) 。（ 2）三角形的外心的性質(zhì)三角形三條邊的垂直平分線的交于一點(diǎn)， 該點(diǎn)即為三角形外接圓的圓心 .三角形的外接圓

2、有且只有一個(gè)，即對(duì)于給定的三角形， 其外心是唯一的，但一個(gè)圓的內(nèi)接三角形卻有無(wú)數(shù)個(gè)，這些三角形的外心重合。銳角三角形的外心在三角形內(nèi)；鈍角三角形的外心在三角形外；直角三角形的外心與斜邊的中點(diǎn)重合 OA=OB=OC=R BOC=2BAC， AOB=2ACB， COA=2CBA SABC=abc/4R 3、重心（1）三角形的三條邊的中線交于一點(diǎn)。該點(diǎn)叫做三角形的重心。（2）三角形的重心的性質(zhì)重心到頂點(diǎn)的距離與重心到對(duì)邊中點(diǎn)的距離之比為 2：1。重心和三角形 3 個(gè)頂點(diǎn)組成的 3 個(gè)三角形面積相等。重心到三角形 3 個(gè)頂點(diǎn)距離的平方和最小。在平面直角坐標(biāo)系中， 重心的坐標(biāo)是頂點(diǎn)坐標(biāo)的算術(shù)平均， 即其

3、坐標(biāo)為 (X1+X2+X3)/3,(Y1+Y2+Y3)/3) ；空間直角坐標(biāo)系橫坐標(biāo)：(X1+X2+X3)/3 縱坐標(biāo)： (Y1+Y2+Y3)/3 豎坐標(biāo)：（ Z1+Z2+Z3）/3重心和三角形3 個(gè)頂點(diǎn)的連線的任意一條連線將三角形面積平分。重心是三角形內(nèi)到三邊距離之積最大的點(diǎn)。4、垂心（ 1）定義：三角形的垂心是三角形三邊上的高的交點(diǎn) ( 通常用 H表示) 。（ 2）三角形的垂心的性質(zhì)銳角三角形的垂心在三角形內(nèi)；直角三角形的垂心在直角頂點(diǎn)上；鈍角三角形的垂心在三角形外三角形的垂心是它垂足三角形的內(nèi)心； 或者說(shuō)，三角形的內(nèi)心是它旁心三角形的垂心垂心 O關(guān)于三邊的對(duì)稱點(diǎn)，均在 ABC的外接圓上

4、ABC中，有六組四點(diǎn)共圓，有三組 ( 每組四個(gè) ) 相似的直角三角形，且 AOOD=BOOE=COOF H、A、B、C四點(diǎn)中任一點(diǎn)是其余三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形的垂心 ( 并稱這樣的四點(diǎn)為一垂心組 ) 。 ABC， ABO， BCO， ACO的外接圓是等圓。在非直角三角形中，過(guò) O的直線交 AB、AC所在直線分別于 P、Q，則 AB/APtanB+ AC/AQtanC=tanA+tanB+tanC三角形任一頂點(diǎn)到垂心的距離，等于外心到對(duì)邊的距離的 2 倍。設(shè) O，H分別為 ABC的外心和垂心，則 BAO=HAC，ABH=OBC， BCO=HCA。銳角三角形的垂心到三頂點(diǎn)的距離之和等于其內(nèi)切圓與外接圓半徑之和的 2 倍