二項式定理測試卷含答案

1、學習目標1.能熟練地掌握二項式定理的展開式及有關(guān)概念.2.會用二項式定理解決與二項式有關(guān)的簡單問題1二項式定理及其相關(guān)概念二項式定理公式(ab)nCanCan1bCankbkCbn，稱為二項式定理二項式系數(shù)C(k0,1，n)通項Tk1Cankbk(k0,1，n)二項式定理的特例(1x)nCCxCx2CxkCxn2.二項式系數(shù)的四個性質(zhì)(楊輝三角的規(guī)律)(1)對稱性：CC；(2)性質(zhì)：CCC；(3)二項式系數(shù)的最大值：當n是偶數(shù)時，中間的一項取得最大值，即最大；當n是奇數(shù)時，中間的兩項相等，且同時取得最大值，即最大；(4)二項式系數(shù)之和：CCCCC2n，所用方法是賦值法類型一二項式定理的靈活應用

2、例1(1)在(1x)6(1y)4的展開式中，記xmyn項的系數(shù)為f(m，n)，則f(3,0)f(2,1)f(1,2)f(0,3)_.(2)已知(1ax)(1x)5的展開式中x2的系數(shù)為5，則a_.答案(1)120(2)1解析(1)f(3,0)f(2,1)f(1,2)f(0,3)CCCCCCCC120.(2)(1ax)(1x)5(1x)5ax(1x)5.x2的系數(shù)為CaC，則105a5，解得a1.反思與感悟兩個二項式乘積的展開式中特定項問題(1)分別對每個二項展開式進行分析，發(fā)現(xiàn)它們各自項的特點(2)找到構(gòu)成展開式中特定項的組成部分(3)分別求解再相乘，求和即得跟蹤訓練1(x)(2x)5的展開式

3、中各項系數(shù)的和為2，則該展開式的常數(shù)項為()A40 B20 C20 D40答案D解析令x1，得(1a)(21)52，a1，故(x)(2x)5的展開式中常數(shù)項即為(2x)5的展開式中與x的系數(shù)之和(2x)5的展開式的通項為Tk1C25kx52k(1)k，令52k1，得k2，展開式中x的系數(shù)為C×252×(1)280，令52k1，得k3，展開式中的系數(shù)為C×253×(1)340，(x)(2x)5的展開式中常數(shù)項為804040.例25的展開式中的常數(shù)項是_答案解析方法一原式5，展開式的通項為()(k10,1,2，5)當k15時，T6()54，當0k1<5

4、時，的展開式的通項公式為·(k20,1,2，5k1)令5k12k20，即k12k25.0k1<5且k1Z，或常數(shù)項為4CC2CC×()3420.方法二原式5·(x)25·(x)10.求原式的展開式中的常數(shù)項，轉(zhuǎn)化為求(x)10的展開式中含x5項的系數(shù)，即C·()5.所求的常數(shù)項為.反思與感悟三項或三項以上的展開問題，應根據(jù)式子的特點，轉(zhuǎn)化為二項式來解決，轉(zhuǎn)化的方法通常為配方法，因式分解，項與項結(jié)合，項與項結(jié)合時，要注意合理性和簡捷性跟蹤訓練2求(x23x4)4的展開式中x的系數(shù)解方法一(x23x4)4(x23x)44C(x23x)4C(x

5、23x)3·4C(x23x)2·42C(x23x)·43C·44，顯然，上式中只有第四項中含x的項，所以展開式中含x的項的系數(shù)是C·3·43768.方法二(x23x4)4(x1)(x4)4(x1)4·(x4)4(Cx4Cx3Cx2CxC)(Cx4Cx3·4Cx2·42Cx·43C·44)，所以展開式中含x的項的系數(shù)是C44C43768.例3今天是星期一，今天是第1天，那么第810天是星期()A一 B二 C三 D四答案A解析求第810天是星期幾，實質(zhì)是求810除以7的余數(shù)，應用二項式定理

6、將數(shù)變形求余數(shù)因為810(71)10710C×79C×717M1(MN*)，所以第810天相當于第1天，故為星期一反思與感悟(1)利用二項式定理處理整除問題，通常把底數(shù)寫成除數(shù)(或與除數(shù)密切關(guān)聯(lián)的數(shù))與某數(shù)的和或差的形式，再利用二項式定理展開，只考慮后面(或前面)一、二項就可以了(2)解決求余數(shù)問題，必須構(gòu)造一個與題目條件有關(guān)的二項式跟蹤訓練3設(shè)aZ，且0a<13，若512 015a能被13整除，則a_.答案1解析512 015a(521)2 015aC522 015C522 014C522 013C5211a，能被13整除，0a<13.故1a能被13整除，故a

7、1.類型二二項式系數(shù)的綜合應用例4已知(2x)n.(1)若展開式中第五項、第六項、第七項的二項式系數(shù)成等差數(shù)列，求展開式中二項式系數(shù)最大的項的系數(shù)；(2)若展開式中前三項的二項式系數(shù)之和等于79，求展開式中系數(shù)最大的項解(1)由已知得2CCC，即n221n980，得n7或n14.當n7時展開式中二項式系數(shù)最大的項是第四項和第五項，T4C()4(2x)3x3，T5C()3(2x)470x4，第四項的系數(shù)是，第五項的系數(shù)是70.當n14時，展開式中二項式系數(shù)最大的項是第八項，它的系數(shù)為C()7×273 432.(2)由CCC79，即n2n1560.得n13(舍去)或n12.設(shè)Tk1項的系

8、數(shù)最大，(2x)12()12(14x)12，由解得9.4k10.4.0kn，kN*，k10.展開式中系數(shù)最大的項是第11項，即T11()12·C·410·x1016 896x10.反思與感悟解決此類問題，首先要分辨二項式系數(shù)與二項展開式的項的系數(shù)，其次理解記憶其有關(guān)性質(zhì)，最后對解決此類問題的方法作下總結(jié)，尤其是有關(guān)排列組合的計算問題加以細心跟蹤訓練4已知n展開式中二項式系數(shù)之和比(2xxlg x)2n展開式中奇數(shù)項的二項式系數(shù)之和少112，第二個展開式中二項式系數(shù)最大的項的值為1 120，求x.解依題意得2n22n1112，整理得(2n16)(2n14)0，解得n

9、4，所以第二個展開式中二項式系數(shù)最大的項是第五項依題意得C(2x)4(xlg x)41 120，化簡得x4(1lg x)1，所以x1或4(1lg x)0，故所求x的值為1或.1在x(1x)6的展開式中，含x3項的系數(shù)為()A30 B20C15 D10答案C解析因為(1x)6的展開式的第(k1)項為Tk1Cxk，x(1x)6的展開式中含x3的項為Cx315x3，所以系數(shù)為15.2.3的展開式中常數(shù)項為()A8 B12 C20 D20答案C解析36展開式的通項公式為Tk1C(1)kx62k.令62k0解得k3.故展開式中的常數(shù)項為C20.3當n為正奇數(shù)時，7nC·7n1C·7n

10、2C·7被9除所得的余數(shù)是()A0 B2 C7 D8答案C解析原式(71)nC8n1(91)n19nC·9n1C·9n2C·9(1)n1(1)n1.因為n為正奇數(shù)，所以(1)n1297，所以余數(shù)為7.4已知5的展開式中含的項的系數(shù)為30，則a等于()A. B C6 D6答案D解析5的展開式通項Tk1C(1)kak·(1)kakC，令k，則k1，T2aC，aC30，a6，故選D.5若(xm)8a0a1xa2x2a8x8，其中a556，則a0a2a4a6a8_.答案128解析由已知條件可得a5C·(m)356m356，m1，則a0a2a4

11、a6a8128.1兩個二項展開式乘積的展開式中特定項問題(1)分別對每個二項展開式進行分析，發(fā)現(xiàn)它們各自項的特點(2)找到構(gòu)成展開式中特定項的組成部分(3)分別求解再相乘，求和即得2三項或三項以上的展開問題應根據(jù)式子的特點，轉(zhuǎn)化為二項式來解決(有些題目也可轉(zhuǎn)化為計數(shù)問題解決)，轉(zhuǎn)化的方法通常為配方、因式分解、項與項結(jié)合，項與項結(jié)合時要注意合理性和簡捷性3用二項式定理處理整除問題，通常把底數(shù)寫成除數(shù)(或與除數(shù)密切關(guān)聯(lián)的數(shù))與某數(shù)的和或差的形式，再用二項式定理展開，只考慮后面(或者前面)一、二項就可以了4求二項展開式中各項系數(shù)的和差：賦值代入5確定二項展開式中的最大或最小項：利用二項式系數(shù)的性質(zhì)課

12、時作業(yè)一、選擇題1已知C2C22C2nC729，則CCC的值等于()A64 B32 C63 D31答案B解析由已知條件得(12)n3n729，解得n6.CCCCCC32.2二項式6的展開式中不含x3項的系數(shù)之和為()A20 B24 C30 D36答案A解析由二項式的展開式的通項公式Tk1C·(1)kx123k，令123k3，解得k3，故展開式中x3項的系數(shù)為C·(1)320，而所有系數(shù)和為0，不含x3項的系數(shù)之和為20.3在(1x)6(2y)4的展開式中，含x4y3項的系數(shù)為()A210 B120 C80 D60答案B解析在(1x)6(2y)4的展開式中，含x4y3的項為C

13、x4C2·y3120x4y3.故含x4y3項的系數(shù)為120.4在(1x)n(n為正整數(shù))的二項展開式中，奇數(shù)項的和為A，偶數(shù)項的和為B，則(1x2)n的值為()A0 BABCA2B2 DA2B2答案C解析(1x)nAB，(1x)nAB，(1x2)n(1x)n(1x)n(AB)(AB)A2B2.59192被100除所得的余數(shù)為()A1 B81 C81 D992答案B解析利用9192(1009)92的展開式，或利用(901)92的展開式方法一(1009)92C10092C10091×9C10090×92C100×991C992.展開式中前92項均能被100整

14、除，只需求最后一項除以100的余數(shù)由992(101)92C1092C102C101.前91項均能被100整除，后兩項和為919，因原式為正，可從前面的數(shù)中分離出1 000，結(jié)果為1 00091981，9192被100除可得余數(shù)為81.方法二(901)92C9092C9091C902C90C.前91項均能被100整除，剩下兩項為92×9018 281，顯然8 281除以100所得余數(shù)為81.6設(shè)m為正整數(shù)，(xy)2m展開式的二項式系數(shù)的最大值為a，(xy)2m1展開式的二項式系數(shù)的最大值為b，若13a7b，則m等于()A5 B6 C7 D8答案B解析(xy)2m展開式中二項式系數(shù)的最

15、大值為C，aC.同理，bC.13a7b，13·C7·C，13·7·，m6.7(x2xy)5的展開式中，x5y2的系數(shù)為()A10 B20 C30 D60答案C解析易知Tk1C(x2x)5kyk，令k2，則T3C(x2x)3y2，對于二項式(x2x)3，由Tt1C(x2)3t·xtCx6t，令t1，所以x5y2的系數(shù)為CC30.二、填空題8已知(ax)5a0a1xa2x2a5x5，若a280，則a0a1a2a5_.答案1解析(ax)5的展開式的通項公式為Tk1(1)ka5kCxk，令k2，得a2a3C80，知a2，令二項展開式的x1，得151a0

16、a1a5.9在(ab)n的二項展開式中，若奇數(shù)項的二項式系數(shù)的和為128，則二項式系數(shù)的最大值為_答案70解析由題意知，2n1128，解得n8.展開式共n1819項得中間項的二項式系數(shù)最大，故展開式中系數(shù)最大的項是第5項，最大值為C70.10(1.05)6的計算結(jié)果精確到0.01的近似值是_答案1.34解析(1.05)6(10.05)6CC×0.05C×0.052C×0.05310.30.037 50.002 51.34.11已知(12x)7a0a1xa2x2a7x7，則a1a2a7的值是_答案2解析在(12x)7的二項展開式中，令x0，則a01，令x1，則a0a

17、1a2a71，所以a1a2a7112.三、解答題12已知(12x3x2)7a0a1xa2x2a13x13a14x14.求：(1)a1a2a14；(2)a1a3a5a13.解(1)令x1，得a0a1a2a1427，令x0，得a01，所以a1a2a14271.(2)由(1)得a0a1a2a1427，令x1得a0a1a2a13a1467，由得：2(a1a3a5a13)2767，所以a1a3a5a13.13若等差數(shù)列an的首項為a1CA(mN*)，公差是k展開式中的常數(shù)項，其中k為777715除以19的余數(shù)，求通項公式an.解由題意可得解得m，mN*，m2，a1CA100，又777715(119

18、15;4)7715CC(19×4)C(19×4)7715(19×4)CC(19×4)C(19×4)76195，777715除以19的余數(shù)為5，即k5.又Tk1C5kkC52k(1)k，令5k150可解得k3，dC56(1)34，ana1(n1)d1044n.四、探究與拓展14若(x2m)9a0a1(x1)a2(x1)2a9(x1)9，且(a0a2a8)2(a1a3a9)239，則實數(shù)m_.答案3或1解析在(x2m)9a0a1(x1)a2(x1)2a9(x1)9中，令x2，可得a0a1a2a3a8a9m9，即(a0a2a8)(a1a3a9)m9，令x0，可得(a0a2a8)(a1a3a9)(2m)9.(a0a2a8)2(a1a3a9)239，(a0a2a8)(a1a3a9)(a0a2a8)(a1a3a9)39，(2m)9m9(2mm2)939，可得2mm23，解得m1或3.15已知f(x)(1x)m，g(x)(15x)n(m，nN*)(1)若m4，n5時，求f(x)·g(x)的展開式中含x2的項；(2)若h(x)f(x)g(x)，且h(x)的展開式中含x的項的系數(shù)為24，那么當m，n為何值時，h(x)的展開式中含x2的項的系數(shù)取得最小值？(3)若(15x)n(n10，nN*)的展開式中