第二章群表示理論

1、第二章 群表示理論基礎(chǔ)§2.1 群表示【定義2.1】（線性空間） 數(shù)域K（實數(shù)域R或復(fù)數(shù)域C）上的線性空間V是一個向量集合，；該集合定義了加法和數(shù)乘兩種二元運算，且集合V在加法運算下構(gòu)成交換群，滿足：數(shù)乘運算KVV滿足：【定義2.2】（線性無關(guān)和維數(shù)）線性空間V中，任意n個向量，其線性組合當(dāng)且僅當(dāng)時成立，則稱此n個向量線性無關(guān)，否則它們線性相關(guān)。線性空間中線性無關(guān)向量的最大個數(shù)m，稱為空間V的維數(shù)，記為dimV=m。【定義2.3】（基矢） 設(shè)V是n維線性空間，則V中任意一組n個線性無關(guān)的向量，稱為空間V的基矢，記為。空間中任意矢量均可表示為n個基矢的線性組合，。矩陣形式：【定義2.4

2、】（線性變換） 線性變換A是將V映入V的線性映射，滿足：線性變換的矩陣形式：采用列矢量記法故有矩陣形式：若，則稱線性變換A非奇異，A有逆變換A-1，A-1=A-1?！径x2.5】（線性變換群）定義兩個變換的乘法為兩個線性變換的相繼作用，則n維復(fù)線性空間V上的全部非奇異線性變換構(gòu)成的集合在此乘法下構(gòu)成一個群，稱為n維復(fù)一般線性群，記為GL(V , C)，其子群L(V,C)稱為V上的線性變換群?！径x2.6】（群表示）設(shè)有群G，如果存在一個從G到n維線性空間V上的線性變換群L的同態(tài)映射A，則同態(tài)映射A稱群G的一個線性表示，V為表示空間，n稱為表示的維數(shù)。其中g(shù)0為G的單位元，E為L中的恒等變換。&

3、#183;系1 在表示空間V選一組基，線性變換群可化為矩陣形式，故群在表示空間V上的線性表示，亦可定義為G到矩陣群的同態(tài)映射A。·系2 若群GG，則G的表示也是G的表示。·系3一個群G原則上可有無限多的表示?！径x2.7】（忠實表示）如果群G到線性變換群L的映射A為同構(gòu)映射，則該表示稱為忠實表示。群表示理論研究抽象群的矩陣表示的結(jié)構(gòu)、類型等規(guī)律。例2.1 任何群G恒與1同態(tài)，1是任何群G的表示，稱為一維恒等表示。例2.2 三個簡單的二階變換群的表示。其矩陣形式即為它們的表示。取表示空間為R3，基矢：。為對xy平面的反演。群本身是定義在R3空間上的線性變換，故其本身是自己的一

4、個表示，選擇一個具體基矢可以將其矩陣化：故表示矩陣為：，表示矩陣為：，其表示為： 以上三個群均是R3上的變換群，故其本身就是他們的表示（忠實表示）。他們還可以有其他的表示。如空間反演群有表示，如：它實際上是三個一維表示的合成：或者說一個二維恒等表示與一個一維非恒等表示的直和。，均是互相同構(gòu)的二階循環(huán)群，具有相同的群表示。他們兩個最基本的表示為：, a分別為。例2.3 D3=群的表示。D3有一維恒等表示，；D3與Z2同態(tài)：故D3有非恒等一維表示：D3為R3的線性變換群，其矩陣形式本身即為它的一個表示。表示空間V 為R3，取基：同理，可得表示矩陣D3在x,y,z的二次齊次函數(shù)空間中的表示，空間的基

5、為：任何二次齊次函數(shù)可表示為以上基函數(shù)的線性組合。三維空間中的線性變換g對向量r的改變，同時將對定義在該空間中的標(biāo)量函數(shù)作變換，即g對應(yīng)一個標(biāo)量函數(shù)變換算符，即。由容易發(fā)現(xiàn)，?？梢则炞C變換群與算符做成的函數(shù)變換群同構(gòu)。對于，有：故, 故在函數(shù)線性空間上的矩陣形式即為群的一個表示。故可得Pd的表示矩陣：其他群元的表示矩陣可以同樣得到。例2.4 設(shè)粒子的哈密頓量H的對稱群為，以粒子某一能級的簡并波函數(shù)為表示空間，求G的群表示。解：所有使哈密頓算符H(r)不變的變換形成哈密頓算符群G：，與變換對應(yīng)有標(biāo)量函數(shù)變換算符。設(shè)H的本征值為En的，對應(yīng)本征數(shù)為u為簡并度指標(biāo)，簡并度為fn，有：。這些簡并波函數(shù)

6、的任意組合均是相同本征值下的本征函數(shù)?？梢詸z驗，也是H的本征函數(shù)：故En能級的所有簡并波函數(shù)構(gòu)成哈密頓算符群不變的線性空間。在簡并本征函數(shù)空間中變換算符的矩陣形式即為哈密頓算符對稱群的表示。記的表示矩陣為，具體形式由下式確定： §2.2 等價表示、不可約表示和酉表示一個群的表示原則上可以有無窮多個，它們可以分解或約化為有代表性的最基本表示的組合。【定義2.7】（等價表示）設(shè)群G在表示空間V取基下的表示為，在另一組基下的表示為，若，X為兩組基之間的變換，有：，detX0 則稱表示等價，或為A的等價表示。·系1兩個用相似變換相聯(lián)系的表示互相等價：或，(detP0), A和B等價

7、。等價表示只是不同基的選擇而已，故重要的是尋找不等價的表示，這樣就產(chǎn)生了尋找不等價表示的問題?！径x2.8】 （可約表示） 設(shè)A是群G在表示空間V上的一個表示，V如果存在G不變的非平庸子空間，是子空間W上的變換群。此時稱A是G的一個可約表示。·系1 設(shè)是子空間W的基，則取空間V的一組基：，使得。在此基下表示矩陣具有如下形式：m列 n-m列為m´m矩陣，為m´ (n-m) 矩陣，為矩陣。子空間W中矢量的形式：（t表示轉(zhuǎn)置，成列矩陣），X經(jīng)過變換仍然在子空間中： 。·系2可以驗證在變換下不具有封閉性：。·系3 另外，仍然具有相同的結(jié)構(gòu)，故、均構(gòu)成新

8、的群表示。·系4 對于有限群，上述階梯矩陣都可以通過相似變換化為對角分塊形式?！径x2.9】(線性空間的直和)設(shè)線性空間V有子空間W1和W2， W1W2 =0。對任意，可找到，并唯一的將表示為：，則稱線性空間V是子空間W1和W2的直和，記為。【定義2.10】(完全可約表示)設(shè)群G的表示空間V可以分解為子空間W1和W2的直和，且W1和W2都是A(G)不變的(即A(G)是W1和W2上的變換群)，則稱G在V上的表示為完全可約表示。·系1·系2 總可以選一組基，使和分別為子空間W1和W2的基，在此基下表示矩陣具有如下形式：m列 (n-m)列·系3若表示A有一個等

9、價表示具有對角形式，則A為完全可約表示。·系4 對于有限群，可約表示的矩陣總可以化為分塊對角形式，因而一定是完全可約的。對于無限群，存在可約而不完全可約表示。這樣的表示雖然存在群不變非平庸子空間，但無論如何選擇，其補空間都不是群不變的，這樣的表示仍然稱為可約表示，是不能完全約化的可約表示。如，一維平移群T：， 它是無限阿貝爾群，存在不能完全約化的可約表示：?！径x2.11】 (不可約表示)設(shè)A為G群在表示空間V中的表示，若V不存在A(G)不變的真子空間，則稱A是G的不可約表示。·系1 G的不可約表示矩陣不具有對角或三角形式。·系2 一般地，G的表示空間V總可以表示

10、為不可進(jìn)一步分解的G不變子空間的直和，而G在V上的表示可以寫為G在這些不可分解的子空間上的不可約表示的直和：其中整數(shù)mp為不可約表示Ap在表示Ap中出現(xiàn)的次數(shù)，稱為重復(fù)度。·系3 群的任何表示都可以寫成其不等價不可約表示的直和，故尋找一個群的所有不等價不可約表示有重要意義?！径x 2.12】 （內(nèi)積和內(nèi)積空間）設(shè)V是數(shù)域C上的線性空間，將V中兩個有序向量x，y映為復(fù)數(shù)域C上的一個數(shù)，滿足：，有； （共軛），則稱為的內(nèi)積，而定義了內(nèi)積的線性空間稱為內(nèi)積空間。內(nèi)積空間中向量的長度或模：；向量垂直若；·系1 證：·系2 任何內(nèi)積空間總存在正交歸一基，。證：設(shè)是V的一個基

11、，用施米特正交化方法可以構(gòu)造正交歸一基。作 有又作 有：，一般地，可令 ，可得正交歸一基：（）?！径x2.13】 （幺正變換）設(shè)U是內(nèi)積空間V上的線性變換，若對任意U保持x和y的內(nèi)積不變，即：，則稱U為V上的幺正變換。·系1 幺正變換將正交歸一基變?yōu)榱硪唤M正交歸一基：。·系2記U+為幺正變換U的共軛變換，則其逆變換U-1=U+，U+U=E為恒等變換。證：內(nèi)積空間上的線性變換A的共軛變換為A+，有：故有，由于x，y任意，故有U+U=E，U-1=U+。·系3在正交歸一基下，線性變換U的共軛變換U+的矩陣即酉矩陣有：U+=為U的轉(zhuǎn)置共軛U*t(即)。（對于幺正變換有：）

12、【定義2.14】（群的酉表示）群G到內(nèi)積空間V中的幺正變換群A上的同態(tài)映射，稱為群G的酉表示。·系1 群G到幺正矩陣群的同態(tài)，也是群G的酉表示。 定理2.1設(shè)V是內(nèi)積空間，W是V的子空間，定義，為V中所有與W中矢量垂直的向量的集合，則有稱為W的正交補空間。證明：設(shè)W的一個正交歸一基為，可證與W中的任意矢量垂直：因 ，對成立，故，從而；又若即則有：. 定理2.2若群G的酉表示A是可約的，則A是完全可約的。證明：設(shè)表示空間為V，G的表示A可約，則V有G不變的子空間W。由定理2.1有：為W的正交補空間；對；而W是G不變的，故故：即或故也是G不變的子空間。因此A是完全可約的。適當(dāng)選擇正交歸一

13、基A具有如下形式：。·系1. 若W，中仍然有G不變的子空間，則上述分解可以繼續(xù)進(jìn)行下去，A最終可表示為：。其中整數(shù)為不可約酉表示表示中的重復(fù)度。定理2.3有限群的每一個表示都有等價的酉表示。證明： 設(shè)，為群G的表示若能找到相似變換X，對有，使為酉矩陣即 則定理得證。（ + 表示矩陣的轉(zhuǎn)置共軛）構(gòu)造如下矩陣 :為顯然為厄密矩陣：W+ = W，并且有如下性質(zhì)： = = = 可以檢驗如上的厄密矩陣可以表示為 ，X為非奇異矩陣：首先厄密矩陣總可以找到酉矩陣U使之完全對角化為，其對角元為實數(shù)，即：，并且可以發(fā)現(xiàn)為正定矩陣：故正定對角矩陣可以表示為形式，其中D也是正定對角矩陣。由可得：，?？梢则?/p>

14、證，X即為所尋找的使表示A化為酉表示的相似變換：令 則=故 為酉表示。 得證。§2.3 群代數(shù)和群代數(shù)正則表示【定義2.15】（代數(shù)或線性代數(shù)）在數(shù)域K上的線性空間D中，若定義了乘法，滿足：（封閉性）（加法分配律）乘法和數(shù)乘滿足：則稱D為代數(shù)或線性代數(shù)。若還滿足結(jié)合率：則D稱為結(jié)合代數(shù)。例2.5 全都復(fù)矩陣集合，在矩陣乘法下構(gòu)成結(jié)合代數(shù)。【定義2.16】（群空間）設(shè)群，以G的群元為基作復(fù)數(shù)域C上的線性空間VG，即：，滿足：，其中，稱VG為群空間?！径x2.17】（群代數(shù)）按照群G中群元的乘法，可以定義群空間VG中矢量的乘法：，定義(上述過程應(yīng)用了矢量在上的分量等于在上的分量，故VG構(gòu)

15、成代數(shù)，可以驗證VG滿足結(jié)合律，故VG構(gòu)成結(jié)合代數(shù)，記為DG，代數(shù)的維數(shù)等于群G的階?！径x2.18】 （群代數(shù)空間中的正則表示）取群G的群代數(shù)空間DG為群G的表示空間，定義G到DG上的線性變換的映射為線性變換定義為：，令故映射L保持了群的乘法結(jié)構(gòu)不變,為同構(gòu)映射, L(G)稱為群G的左正則表示。·系1. 若定義G到DG上的線性變換的映射為：，線性變換定義為：, 同態(tài)映射R稱為群G的右正則表示。·系2. L(G)和R(G)為群的忠實表示。例2.6 二價循環(huán)群的正則表示。, 群代數(shù)Dz2的基底為e,a, 則:， 有 ，有正則表示L(Z2)可約：取相似變換矩陣：, 具對角化形式

16、。例2.7 正三角形對稱群D3的正則表示：群代數(shù)的基：e,d,f,a,b,c,線性變換L（d）,對基底的作用：L(d)的表示矩陣：同理可求出其他群元的左正則表示矩陣。群的代數(shù)空間正則表示相當(dāng)于對代數(shù)空間的基進(jìn)行變換§2.4 群函數(shù)和群函數(shù)空間正則表示【定義2.19】 （群函數(shù)）G為一個群，以G為定義域、以復(fù)數(shù)域C為值域的函數(shù)稱為群函數(shù)：如：。群函數(shù)的例子如群表示矩陣的矩陣元。【定義2.20】（群函數(shù)空間）對，定義群函數(shù)，以此n個函數(shù)為基，可以構(gòu)造復(fù)數(shù)域C上的群函數(shù)空間V(G)：，并且滿足：；。稱V(G)為群函數(shù)線性空間，簡稱群函數(shù)空間。·系1 群函數(shù)空間的基函數(shù)fg1,fg

17、2,，fgn線性無關(guān)。則，故基函數(shù)fg1,fg2,，fgn線性無關(guān)。·系2,。·系3定義基函數(shù)乘法可以驗證如此定義的群函數(shù)矢量乘法滿足代數(shù)條件： 數(shù)乘：故V(G)構(gòu)成結(jié)合代數(shù)，記為D(G)·系4 群代數(shù)DG與群函數(shù)代數(shù)D(G)代數(shù)同構(gòu)（不同于群的同構(gòu)）。同構(gòu)影射：滿足：，故，有，（）因此，兩個代數(shù)結(jié)構(gòu)相同，如有關(guān)于代數(shù)DG上的定理，則群函數(shù)代數(shù)D(G)中必有相同的定理成立。【定義2.21】(群的群函數(shù)代數(shù)空間正則表示)取群G的群函數(shù)代數(shù)D(G)為表示空間，定義G到D(G)上的線性變換的映射，為：，定義線性變換：又有：故映射為同構(gòu)映射，為群G的表示，稱為群G的群函數(shù)

18、空間左正則表示。系1 若定義G到D(G)上線性變換的映射為： 且， 稱為群G的群函數(shù)空間右正則表示。·系2. 由于DG與D(G)代數(shù)同構(gòu)，G在DG和D(G)上的正則表示的矩陣形式相同。例2.8 D3的群函數(shù)空間區(qū)別表示：D3 = e, d, f, a, b, c群函數(shù)空間的基：fe , fd , ff , fa , fb , fc表示矩陣：【定義2.22】(群函數(shù)空間的內(nèi)積)群G的群函數(shù)空間D(G)，定義其基底的內(nèi)積：, n為G的階?？臻g中矢量的內(nèi)積定義為：·系1為該內(nèi)積下的酉變換。故(G)為酉表示。同理可證(G)也是酉表示。§2.5 有限群表示理論關(guān)于有限群的不

19、可約表示，有如下舒爾引理。定理2.4 (舒爾引理一)設(shè)群G在有限維向量空間VA和VB上有不可約表示A和B，M為將VA映入VB的線性變換，若對任意gG, 滿足：則有：（1）當(dāng)M0時，表示A和B必等價；（2）當(dāng)表示A和B不等價時，必有M0。證明：（1）假設(shè)M0，證明A和B等價(即證M為一一映射)：作VA的子空間：， 為M的0空間；N是G不變的：，即N構(gòu)成VA中G不變的子空間。 由于A是G在VA上的不可約表示，故VA無真不變子空間； 又由于M0，故必有N0，為零空集。 由N0可證，M是從VA到VB的單射： 反證：若 x1，x2VA，x1x2， 且 Mx1 = y, Mx2 = y， 則 M(x1 -

20、 x2)=0， 則 x1 - x2N 即 N 不為零空間，這與N0矛盾 故 M是VA到VB的單射； 還可以證明M也是VA到VB的滿射： 作VA在M作用下的象集合R：R是G不變的：，即R構(gòu)成VB中G不變的子空間。而B是G的不可約表示，故VB無真不變子空間； 又由于M0，故必有R = VB故 M是VA到VB的滿映射。綜上所述：M為雙射，故存在逆射射M1，故表示A和B等價（2）當(dāng)表示A和B不等價時，M0 反證： 若M0，則由（1）知A和B等價與已知條件A和B不等價相矛盾m故M0。證畢 定理2.5 (舒爾引理二)設(shè)是群G在有限維復(fù)表示空間V的表示，若有V上的非零線性變換或矩陣M滿足：，（1）若A為不可

21、約表示，則僅當(dāng)（E為恒等變換，）時上式成立。（2）反之，若有的線性變換或非零矩陣與所有對易，則A必為可約表示。(1的逆否命題)證明： 復(fù)線性變換M至少存在一個本征矢y0，有則可用M的所有本征矢構(gòu)造V的子集：可證是G不變的子空間：, 有 即 故為V中G的不變子空間 而A為V上的不可約表示表明V無真不變子空間 而，故： 即： ， 故有 證畢。舒爾引理的逆命題也成立：系1. 除零矩陣外，若僅有單位矩陣的常數(shù)倍矩陣與群表示的所有矩陣對易，則該表示為不可約表示。系2. 若群的表示為可約表示，則一定可以找到非零的、不是單位矩陣的常數(shù)倍的矩陣與所有群元的矩陣對易。（系1的逆否命題）只需證明系2即可： 假設(shè)群

22、G的表示為可約表示，則一定存在一個幺正矩陣S，使全部變成具有相同塊對角結(jié)構(gòu)的矩陣：為分塊對角矩陣，例如：，則可做一矩陣,其中、為與、維數(shù)分別相同的單位矩陣，有：，即，上式左邊乘上S，右邊乘上S的逆，有，取，顯然不具有單位矩陣的常數(shù)倍形式。系2得證。定理2.6 群表示正交性定理 有限群的所有不等價不可約酉表示記為，其維數(shù)分別為。則由表示矩陣Ap構(gòu)成的群函數(shù)空間矢量或表示矢量有如下正交關(guān)系：證明：（一）的情形，即證由同一表示構(gòu)成的兩矢量的內(nèi)積：證： 用任意Sp維非零矩陣D，構(gòu)造矩陣如下C：(1)用表示矩陣Ap(gj)從左邊作用于C： (2)即，由于AP為不可約表示，由舒爾引理二知，必有：(3)E為

23、單位矩陣，為與D有關(guān)的常數(shù)。取D的一種特殊形式：除外，所有其他元素，則由（1）得C的矩陣元 （利用了（3）式）（4）即：（5）為了定出與上面所取的特殊形式的D相對應(yīng)的，求矩陣C的跡： (5)式中令，并對u求和：故： (6)由（5）和（6）得：(7)由于Ap是酉表示，故有：(8)由（7）并利用（8），最后得：（二）的情形，即證由兩不同表示、構(gòu)成的兩矢量的內(nèi)積：證：用任意非零矩陣，構(gòu)造矩陣用表示矩陣右乘，得：由于Ap與Ar為不等價的不可約表示，由舒爾引理一，有；取一種特殊形式：除外，所有其他元素則的矩陣元:綜合證明（1）（2），正交定理得證。系1 不可約表示矩陣元的完全性關(guān)系：由群表示正交性定理有

24、：上式兩邊乘上，得： 兩邊對、求和得：上式成立必須滿足：定理2.7群表示完備性定理設(shè)Ap（p = 1, 2, , q）是有限群的所有不等價不可約酉表示，其維數(shù)為sp, 則所有表示矢量:()在群函數(shù)空間D(G)中是完備的。證明：設(shè)表示AP是維數(shù)是由正交性定理：，故群函數(shù)矢量線性無關(guān)，可以它們?yōu)榛鶚?gòu)成群函數(shù)空間D(G)的一個子空間，記為V（G）。 V(G)是G不變的：取右正則表示，有：故子空間V(G)是G不變得。而正則表示為酉表示，故是完全可約的，D(G)可分解為：為V的正交補空間。可以證明 僅含有零向量:反證：，它也是G的不變子空間。設(shè)的基底為，G在其上的表示為Ar，則：，另一方面，有：有：，兩

25、邊作用于單位元e有：故有：，于是有上式可見，不管Ar是可約表示還是不可約表示，中的基均是不可約表示矢量的疊加，因為即使是可約表示，其表示矢量也可以表示為不可約表示矢量的疊加。于是這與矛盾，故必有：，所以D(G)=V(G)， 即：構(gòu)成群函數(shù)空間D(G)的完備基。，可表示為：。系1勃恩賽德 (Burside) 定理有限群的所有不等價不可約酉表示維數(shù)的平方和等于階的群，即：系2個表示矢量載荷一個右正則不可約表示AP:證明：表示矢量, 用右正則表示作用：故當(dāng)u取遍1，2，sp時，有組基，它們載荷的都是不可約表示AP。同樣可以發(fā)現(xiàn)，組基載荷的都是左正則不可約表示A*P。系3 顯然群的正則表示包含了群的所

26、有不等價不可約表示，正則表示按不等價不可約酉表示可約化為：，。§2.6群表示的特征標(biāo)理論【定義2.23】（特征標(biāo)）設(shè)A是群G的一個表示，則群表示的特征標(biāo)定義為：。·系1等價表示的特征標(biāo)相同,因。·系2群G中即相互共軛的表示其特征標(biāo)相同。則：·系3 特征標(biāo)是類函數(shù)。設(shè)是G中含元素的一個類:以上定義和性質(zhì)也適用于無限群，下面討論有限群表示的有關(guān)定理。定理2.8（特征標(biāo)第一正交定理）設(shè)有限群G=g1, g2 , gn有q個不等價不可約表示AP（P=1，2，q），AP的維數(shù)為SP，表示AP(gi)的特征標(biāo)為，則特征標(biāo)滿足以下正交關(guān)系：若令：，則正交可表為內(nèi)積形式

27、：。證明：有限群G的不可約表示AP，Ar必有等價的酉表示，由正交定理2.6 有：上式中取u=，u=v并分別對u，u求和，有：, 正交關(guān)系成立。·系1因特征標(biāo)是類函數(shù)，設(shè)群共有個類k1, k2, kq,類元素個數(shù)分別為,則正交關(guān)系可以表述為:·系2有限群的不可約表示的特征標(biāo)矢量內(nèi)積為1，因為。·系3有限群可約表示的特征標(biāo)內(nèi)積大于1。證明：設(shè)群G有可約表示，則：為G的不等價不可約表示。對上式兩邊求跡有：有·系4 可約表示的約化。表示A中不可約表示出現(xiàn)的重復(fù)度mp為：。由及易得上述結(jié)果。 定理2.9（類函數(shù)空間完備性定理）有限群的所有不等價不可約表示的特征標(biāo)生

28、成的群函數(shù)矢量，在類函數(shù)空間中是完備的。證明：所謂類函數(shù)即以群的一個類中的不同元素為自變量時，具有相同函數(shù)值的群函數(shù)。即設(shè)群G的所有不等價不可約酉表示為Ap(p=1,2,q)，群函數(shù)空間中任意群函數(shù)可用AP生成的群函數(shù)矢量展開，即：，。若是類函數(shù)，則有：。可以驗證任意類函數(shù)都可以表示為不可約表示特征標(biāo)矢量的疊加。由類函數(shù)滿足，得：即任意類函數(shù)都可表示為不等價不可約表示的特征表生成的群函數(shù)矢量的線性組合，構(gòu)成類函數(shù)空間的完備基，而類函數(shù)空間的維數(shù)為q即群的不等價不可約表示的個數(shù)。·系1有限群的不等價不可約表示的個數(shù)等于群的類的個數(shù)。證：類函數(shù)空間中獨立的類函數(shù)的個數(shù)等于類的個數(shù)q,設(shè)G

29、有類：k1，k2，則可定義個獨立的類函數(shù)，i=1，2，q:, 顯然線性無關(guān)，因此這q個類函數(shù)構(gòu)成類函數(shù)空間的基，類函數(shù)空間的維數(shù)為q；而定理2.9 表明類函數(shù)空間的維數(shù)為不等價不可約表示的個數(shù)q，故必有q = q，即群的不等價不可約表示的個數(shù)等于該群類的個數(shù)?！径x2.24】 (特征標(biāo)表)把有限群G的所有不等價不可約表示的特征標(biāo)，作為類函數(shù)給出一個表，稱為G的特征標(biāo)表，表中的行為一個不可約表示中不同類的特征標(biāo)，列為群的一個類 ki在各不等價不可約表示中的特征標(biāo)，具有如下形式：n1k1n2k2nqkqA1A2Aq習(xí)慣上特征表的第一行為一維恒等表示的特征標(biāo)，第一列為自成一類的單位元的特征標(biāo)。所有特

30、征標(biāo)形成一個q×q方陣，特征標(biāo)表中的行遵守第一正交定理。定理2.10 （特征標(biāo)第二正交定理）證明：第二正交定理表明特征標(biāo)表中的列也滿足正交關(guān)系。由第一正交定理可以得到第二正交定理：第一正交定理：；定義q×q矩陣F，其矩陣元為：則第一正交定理可用F矩陣表示為：，因為例2.9n階循環(huán)群G=a, a2,an=e的不等價不可約表示。n循環(huán)群是Abel群，每個元素自成一類，共有n個類，對應(yīng)有n個不等價不可約一維表示。元素a的表示A(a)易求出：由于n個不可約不等價一維表示中恒有 A(e) = 1, 有：，故有：由群元a的一個一維表示AP(a)，可以得到群的第P個表示：特例：4階循環(huán)群

31、的表示為：例2.10 求D3群的特征標(biāo)表。D3=e , d , f , a , b , c，D3有三個類：e，d , f，a , b , c，故有三個不等價不約表示。總有一維恒等表示：A（e）=A(d)=A(f)=A(a)=A(b)=A(c)=1；D3與Z2群1，-1同態(tài)，同態(tài)核為, 故有一維非恒等表示為：A2(e)=A2(d)=A2(f)=1，A2(a)=A2(b)=A2(c)= 1由12+12+=6知S3=2，即還有一個二維不等價不可約表示。利用特征標(biāo)的正交關(guān)系可以求出特征標(biāo)表：由第二正交定理：第一，二列正交：1×1+1×1 + 2×(d)=0 ，得(d)=

32、1第一，三列正交：1×1+1×（1）+2(a)=0 ，得( a )=0可以驗證行之間滿足正交。以xy平面為表示空間，以i , j為基，可得D3的二維表示：，?？梢则炞C上述表示是不可約表示。 §2. 7新表示的構(gòu)成由前述理論知，用群的不等價不可約表示以任意的方式做直和可以構(gòu)成群的新表示。同樣群的新表示還可以直積的方式構(gòu)成。【定義2.25】 （群表示的直積）設(shè)群G有兩個表示A和B，作表示矩陣A(g)和B(g)的直積：集合C=C(g)稱為群表示A和B的直積。若A為mm矩陣，B為nn矩陣，則C為mnmn矩陣。采用雙指標(biāo)可以用A和B的矩陣元表示出C的矩陣元：定理2.11群表

33、示的直積構(gòu)成群的一個新表示。證明：故C也是群的表示，稱為A和B的張量積表示。·系1C的的特征標(biāo)：。·系2 C表示特征標(biāo)的內(nèi)積：，它不一定等于1，故C一般是可約表示。·系3 直積表示的表示空間是表示A和B的表示空間VA和VB的直積，直積空間的基底為空間VA的基底和VB的基底的所有組合。變換關(guān)系為：·系4 在量子力學(xué)中，當(dāng)所考慮的體系包含多個全同粒子時，就需要取同一個群的兩個表示做直積。如，氦原子這樣的雙電子原子中，若單電子的波函數(shù)按群的不可約表示變換，則兩個電子的體系的波函數(shù)將按此群的直積表示變換（忽略電子間相互作用）。定理2.12（直積群的表示）設(shè)群的直積，A、B分別是群G1、G2的表示，令C(g1g2)= A(g1)B(g2)，則C構(gòu)成直積群G的表示。證明：，有：保持了群的運算結(jié)構(gòu)不變，C為群G的表示。·系1 C的特征標(biāo)：·系2 C的特征標(biāo)的內(nèi)積：設(shè)當(dāng)A、B分別為G1、G2的不可約表示時，C=AB也是G=G1G2的不可約表示。·系3 直積群共軛類由G1和G2