高中數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)基本概念

1、精品文檔文檔精品文檔高一數(shù)學(xué)必修 1 知識(shí)網(wǎng)絡(luò)集合一般地，把一些能夠確定的不同的對(duì)象看成一個(gè)整體，就說這個(gè)整體是由這些對(duì)象的全體構(gòu)成的 集合或集，構(gòu)成集合的每個(gè)對(duì)象叫做這個(gè)集合的元素或成員。一般地，我們把不含任何元素的集合叫做空集，記作 。一般地，如果集合 A 中的任意一個(gè)元素都是集合 B 的元素，那么集合 A 叫做集合 B 的子集，記作 A B 或 B A，讀作“ A包含于 B，或“ B 包含于 A 。如果集合 A 是集合 B 的子集，并且 B 中至少有一個(gè)元素不屬于 A ，那么集合 A 叫做集合 B 的真子集，記作 A B 或 BA，讀作“ A 真包含于 B，或“ B 真包含 A。一般地，

2、如果集合 A 的每一個(gè)元素都是集合 B 的元素，反過來，集合 B 的每一個(gè)元素也都是集合 A 的元素，那么我們就說 集合 A 等于集合 B，記作 A=B 。一般地，對(duì)于兩個(gè)給定的集合 A，B，由屬于 A 又屬于 B 的所有元素構(gòu)成的集合，叫做 A ，B 的交集，記作 AB ，讀作“A 交 B。一般地，對(duì)于兩個(gè)給定的集合 A，B，由兩個(gè)集合的所有元素構(gòu)成的集合，叫做 A 與 B 的并集，記作 AB，讀作“A 并 B。如果給定集合 A 是全集 U 的一個(gè)子集，由 U 中不屬于 A 的所有元素構(gòu)成的集合，叫做 A 在 U 中補(bǔ)集，記作 CuA，讀作“ A 在 U 中的補(bǔ)集。精品文檔文檔精品文檔1元素

3、與集合的關(guān)系：屬于和不屬于2集合中元素的特性：確定性、互異性、無序性集合與元素3集合的分類：按集合中元素的個(gè)數(shù)多少分為：有限集、無限集、空集4集合的表示方法：列舉法、描述法自然語言描述、特征性質(zhì)描述、圖示法、區(qū)間法子集：假設(shè)xAx，那么A，即 是 的子集。BBAB、假設(shè)集合 中有 個(gè)元素，那么集合 的子集有2n個(gè)，真子集有(2n個(gè)。1AnA-1)、任何一個(gè)集合是它本身的子集，即AA注2關(guān)系、對(duì)于集合A,B,C,如果A，且BC,那么A C.3B、空集是任何集合的真子集。4集合真子集：假設(shè)且即至少存在x0但，那么 是 的真子集。ABABB x0AA B集合相等：A且ABB AB集合與集合定義：AB

4、x /x且xB交集A性質(zhì)：，AAAAABBAABA,ABBAB ABA定義：ABx /x或xB并集A性質(zhì)：，運(yùn)算AAAAAABBAABAABBAB ABBCard( A B) Card( A)Card (B) - Card( AB)定義：CUAx / xU 且 xAA補(bǔ)集 性質(zhì)：A)A，A U，CU(CUA)，(CUA)，(CU(CUA)ACU(A B)(CUB)CU( AB)(CUA)(CUB)1對(duì)于集合，一定要抓住集合的代表元素，及元素的確定性、互異性、無序性。如：集合Ax |ylg x，By |ylg x， C(x, y) | ylg x，A、B、C 中元素各表示什么？2 進(jìn)展集合的交、

5、并、補(bǔ)運(yùn)算時(shí)，不要忘記集合本身和空集的特殊情況。注重借助于數(shù)軸和文氏圖解集合問題?？占且磺屑系淖蛹?，是一切非空集合的真子集。如：集合 A2x| a x 1， 假設(shè) BA ， 那么 實(shí) 數(shù) a 的 值 構(gòu) 成 的 集 合 為x| x2 x 30， B1答：1，0，w.w.w.k.s.5.u.c.o.m33注意以下性質(zhì)：精品文檔文檔精品文檔（ 1集合 a1，a2， ，an的所有子集的個(gè)數(shù)是 2n（ 2假設(shè) ABABA，ABB；4你會(huì)用補(bǔ)集思想解決問題嗎？排除法、間接法如：關(guān)于x 的不等式ax5的解集為M，假設(shè) 3M 且 5M ，求實(shí)數(shù)a 的取值范圍。x20a精品文檔文檔精品文檔53M ，a 3

6、032a5a，19 255M ，a 550352a函數(shù)函數(shù)是一種關(guān)系，在一個(gè)變化過程中，有兩個(gè)變量 x 和 y，如果給定了一個(gè) x 值，相應(yīng)地就確定唯一的一個(gè) y 值，那么我們稱 y 是 x 的函數(shù)，其中 x 是自變量， y 是因變量。定義 設(shè) A，B 是兩個(gè)非空集合，如果按照某種對(duì)應(yīng)法那么 f ，對(duì) A 中的任意一個(gè)元素 x，在 B 中有且僅有一個(gè)唯一確定元素 y 與 x 對(duì)應(yīng)，那么稱 f 是集合 A 到集合 B 的映射。這時(shí)，稱 y 是 x 在映射 f的作用下的象， 記作 f(x) 。于是 y=f(x) ， x 稱作 y 的原象。映射 f 也可記為： f：AB， xf(x). 其中 A 叫

7、做映射 f 的定義域函數(shù)定義域的推廣，由所有象 f(x) 構(gòu)成的集合叫做映射 f 的值域，通常叫作f(A) 。注意：1.“y=f(x) 是函數(shù)符號(hào)，可以用任意的字母表示，如“y=g(x) ；2. 函數(shù)符號(hào)“ y=f(x) 中的 f(x) 表示 x 對(duì)應(yīng)的函數(shù)值，一個(gè)數(shù)，而不是f 乘 x。3.集合 A 和 B 是有先后順序的，A 到 B 的映射與 B 到 A 的映射是截然不同的，其中 f 表示具體的對(duì)應(yīng)法那么，可以用多種形式表示。4.“有且僅有一個(gè)唯一確定意思是：一是必有一個(gè)，二是只有一個(gè)，也就是說有且只有一個(gè)的意思。構(gòu)成函數(shù)的三要素是：定義域、對(duì)應(yīng)關(guān)系和值域。構(gòu)成函數(shù)三個(gè)要素是定義域、對(duì)應(yīng)關(guān)系

8、和值域。由于值域是由定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系決定的，所以，如果兩個(gè)函數(shù)的定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系完全一致，即稱這兩個(gè)函數(shù)相等或?yàn)橥缓瘮?shù)。精品文檔文檔精品文檔兩個(gè)函數(shù)相等當(dāng)且僅當(dāng)它們的定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系完全一致，而與表示自變量和函數(shù)值的字母無關(guān)。區(qū)間的概念區(qū)間的分類：開區(qū)間、閉區(qū)間、半開半閉區(qū)間無窮區(qū)間區(qū)間的數(shù)軸表示如果映射 f 是集合 A 到集合 B 的映射，并且對(duì)于集合B 中的任意一個(gè)元素，在集合 A 中有且只有一個(gè)原象，這時(shí)我們說這兩個(gè)集合的元素之間存在一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，并把這個(gè)映射叫做從集合A 到集合 B 的一一映射。在函數(shù)的定義域內(nèi)，對(duì)于自變量 x 的不同取值區(qū)間，有著不同的對(duì)應(yīng)法那么，這樣的函數(shù)通常叫作

9、 分段函數(shù) 。函數(shù)的單調(diào)性定義：對(duì)于函數(shù) f(x) 的定義域 I 內(nèi)某個(gè)區(qū)間上的任意兩個(gè)自變量的值 x1,x2,（ 1假設(shè)當(dāng) x1x2時(shí)，都有 f(x1)f(x2)，那么說 f(x) 在這個(gè)區(qū)間上是增函數(shù)；（ 2假設(shè)當(dāng) x1f(x2)，那么說 f(x) 在這個(gè)區(qū)間上是減函數(shù)。假設(shè)函數(shù) y=f(x) 在某個(gè)區(qū)間是增函數(shù)或減函數(shù)， 那么就說函數(shù) y=f(x) 在這一區(qū)間具有嚴(yán)格的單調(diào)性，這一區(qū)間叫做函數(shù) y=f(x) 的單調(diào)區(qū)間。此時(shí)也說函數(shù)是這一區(qū)間上的單調(diào)函數(shù)。判斷函數(shù)單調(diào)性的方法步驟：利用定義證明函數(shù)f(x) 在給定的區(qū)間 D 上的單調(diào)性的一般步驟：任取 x1，x2D，且 x11，且 n N

10、*當(dāng) n 是奇數(shù)時(shí)，正數(shù)的 n 次方根是一個(gè)正數(shù)，負(fù)數(shù)的 n 次方根是一個(gè)負(fù)數(shù)此時(shí)， a 的 n 次方根用符號(hào)na 表示式子na 叫做根式radical，這里 n 叫做根指數(shù)radical exponent， a 叫做被開方數(shù) radicand當(dāng) n 是偶數(shù)時(shí)，正數(shù)的 n 次方根有兩個(gè)，這兩個(gè)數(shù)互為相反數(shù)此時(shí)，正數(shù) a 的正的 n 次方根用符號(hào)na 表示，負(fù)的 n次方根用符號(hào)na 表示正的 n 次方根與負(fù)的 n 次方根可以合并成na a 0由此可得：負(fù)數(shù)沒有偶次方根；0 的任何次方根都是0，記作n00 精品文檔文檔精品文檔表yaxa 0,a 1對(duì)數(shù)數(shù)函數(shù)ylogax a0, a1指數(shù)函數(shù)1定義

11、xRx0,域值y0,yR域圖象過定點(diǎn) (0,1)過定點(diǎn) (1,0)減函數(shù)增函數(shù)減函數(shù)增函數(shù)x(,0)時(shí)，y(1,)時(shí)，x時(shí)， y(0,)時(shí)，x(,0)y(0,1)(0,1)xy(,0)(0,1)x(0,時(shí)，y(0,1)x(0,時(shí)，y(1,)x(1,時(shí)，(,0)x (1,時(shí)，y(0,)y)性質(zhì)abababab底數(shù)越大越接近坐標(biāo)底數(shù)越小越接近坐標(biāo)軸軸底數(shù)越小越接近坐標(biāo)軸底數(shù)越大越接近坐標(biāo)軸表 2冪函數(shù) yx (R)p01110qp 為奇數(shù)奇函數(shù)q 為奇數(shù)p 為奇數(shù)q 為偶數(shù)精品文檔文檔精品文檔p 為偶數(shù)q 為奇數(shù)偶函數(shù)第一象限增函數(shù)過定點(diǎn)0，1減函數(shù)性質(zhì)指數(shù)的運(yùn)算指數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù)根本初等函數(shù)對(duì)數(shù)的

12、運(yùn)算對(duì)數(shù)函數(shù)對(duì)數(shù)函數(shù)根式：na, n 為根指數(shù)，a 為被開方數(shù)n分?jǐn)?shù)指數(shù)冪arasars( a0, r ,sQ )性質(zhì)( ar)sars( a0, r , sQ)( ab )rarbs( a0, b0,rQ )定義：一般地把函數(shù)yax( a0 且a1)叫做指數(shù)函數(shù)。性質(zhì)：見表1對(duì)數(shù)：xlo gaN, a 為底數(shù)，N 為真數(shù)loga(MN )log aMlogaN;logaMlogaMlog aN;N.性質(zhì)nlogMnlogM;( a0,a1 , M0, N0)aa換底公式：logblogcb0 且 a ,c1 , b0)alog( a , cca定義：一般地把函數(shù)ylogax ( a0且 a1

13、) 叫做對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)：見表1定義：一般地，函數(shù) yx 叫做冪函數(shù)，x 是自變量，是常數(shù)。冪函數(shù)性質(zhì)：見表 2以 10 為底的對(duì)數(shù)叫做 常用對(duì)數(shù)。換底公式： logbNlog a Nlogab自然對(duì)數(shù)：以 e 為底的對(duì)數(shù)叫做 自然對(duì)數(shù)。積、商、冪的對(duì)數(shù)運(yùn)算法那么：（ 1loga(MN)=logaM+logaNloga(N1N2N3,Nk)=logaN1+logaN2+logaN3+,+logaNk即正因數(shù)積的對(duì)數(shù)等于同一底數(shù)的各因數(shù)對(duì)數(shù)的和。精品文檔文檔精品文檔2loga(M)=logaM-logaNN即兩個(gè)正數(shù)商的對(duì)數(shù)等于同一底數(shù)的被除數(shù)的對(duì)數(shù)減去除數(shù)的對(duì)數(shù)。精品文檔文檔精品文檔（ 3loga

14、M = logaM即正數(shù)冪的對(duì)數(shù)等于冪指數(shù)乘以同一底數(shù)冪的底數(shù)的對(duì)數(shù)。冪函數(shù)定義 ：一般地，函數(shù) y=xa叫做冪函數(shù)， x 是自變量， a 是常數(shù)。冪函數(shù)的性質(zhì)：1、所有的冪函數(shù)在 (0，+)都有定義，并且圖象都過點(diǎn) 1，1原因：1x=1;2、 在(0，1)上，冪函數(shù)中指數(shù)越大，函數(shù)圖象越靠近 x 軸簡(jiǎn)記為指大圖低；在(1，+ )上，冪函數(shù)中指數(shù)越大，函數(shù)圖象越遠(yuǎn)離 x 軸。3、 冪函數(shù)的圖象一定會(huì)出現(xiàn)在第一象限內(nèi)，一定不會(huì)出現(xiàn)在第四象限， 值域是否出現(xiàn)在第二、 第三象限內(nèi)，要看函數(shù)的奇偶性，冪函數(shù)的圖象最多只能同事出現(xiàn)在兩個(gè)象限內(nèi)，如果冪函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸相交，那么交點(diǎn)一定是原點(diǎn)。4、 冪函數(shù)

15、的定義域的求法可分五種情況，即：1為 0；2為正整數(shù)；3為負(fù)整數(shù)； 4為正分?jǐn)?shù)； 5為負(fù)分?jǐn)?shù)。5、 作冪函數(shù)的圖象要聯(lián)系函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性等，只要作出冪函數(shù)在第一象限的圖象， 然后根據(jù)它的奇偶性就可作出冪函數(shù)在定義域內(nèi)精品文檔文檔精品文檔完整的圖象。6、冪函數(shù) yx (R) 的圖象主要分為以下幾類：(1)當(dāng) =0 時(shí)，圖象是過 (1，1)點(diǎn)平行于 x 軸但摳去 (0，1)點(diǎn)的一條“斷直線；(2)當(dāng) 為正偶數(shù)時(shí)，冪函數(shù)為偶函數(shù)，圖象過第一、第二象限及原點(diǎn)。(3)當(dāng) 為正奇數(shù)時(shí)，冪函數(shù)為奇函數(shù)，圖象過第一、第三象限及原點(diǎn)。(4)當(dāng) 為負(fù)偶數(shù)時(shí)，冪函數(shù)為偶函數(shù)，圖象過第一、第二象限，

16、但不過原點(diǎn)。(5)當(dāng) 為負(fù)奇數(shù)時(shí)，冪函數(shù)為奇函數(shù)，圖象過第一、第二象限，但不過原點(diǎn)。7、當(dāng)0 時(shí)，冪函數(shù) yx 圖象一些性質(zhì)：(1)圖象都通過點(diǎn) (1，1)，(0，0)；(2)在第一象限內(nèi)，函數(shù)值隨 x 的增大而增大；(3)在第一象限內(nèi)，1 時(shí)，圖象是向下凸的； 0 1 時(shí)，圖象是向上凸的。8、當(dāng)B 且 B 推不出 A，那么 A 是 B 的充分非必要條件；假設(shè) A 推不出 B 且 B=A，那么 A 是 B 的必要非充分條件假設(shè) A=B 且 B=A，那么 A 是 B 的充要條件假設(shè) A 推不出 B 且 B 推不出 A，那么 A 既不是 B 的充分條件，也不是 B 的必要條件。注：如果甲是乙的充分

17、條件，那么乙是甲的必要條件；反之亦然.4、邏輯聯(lián)結(jié)詞：或、且、非；含邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題真假的判斷；5、全稱量詞與存在量詞；全稱命題與存在性命題；命題的否認(rèn)。全稱命題 p :xM , P( x) ,它的否認(rèn) p :xM , P(x)特稱命題 p :xM , P( x) ,它的否認(rèn) p :xM , P(x)圓錐曲線與方程精品文檔文檔精品文檔橢圓第一定義：平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn) F1、F2的距離和等于常數(shù)大于 F1F2的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓。這兩個(gè)定點(diǎn)叫做橢圓的焦點(diǎn)，兩定點(diǎn)的距離叫做橢圓的焦距，即MF1MF 22a(2aF1F2 )。第二定義：平面內(nèi)與一定點(diǎn) F 的距離和它到一條定直線l的距離的比是常數(shù) e 的

18、點(diǎn)的軌跡叫做橢圓。定點(diǎn)F是橢圓的焦點(diǎn)，定直線l是橢圓的準(zhǔn)線，常數(shù)e是橢圓的離心率。 即MFe(0e 1)d d 為 M 到 l 得距離。標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)：焦點(diǎn)在x軸上焦點(diǎn)在y軸上標(biāo)準(zhǔn)方x2y21(ab0)y2x21(ab0)程a2b2a2b2圖形c2a2b2c2a2b2焦點(diǎn)坐F1( c,0)、F2(c,0)F1(0,c)、F2(0, c)標(biāo)頂點(diǎn)坐(a,0) , (0, b)( b,0) , (0,a)標(biāo)范圍xa, ybxb, yax 軸，長(zhǎng)軸為2a；x 軸，短軸為2b；對(duì)稱軸y 軸，短軸為2b。y 軸，長(zhǎng)軸為2a。準(zhǔn)線方a2a2程xycc離心率ec， 0e 1a精品文檔文檔精品文檔1設(shè)點(diǎn) (,

19、y0) 為橢圓x2y21( ab0)上一點(diǎn)，F(xiàn)1、F2分別橢圓的左、右焦P x0a2b2焦半徑點(diǎn)，那么 PF1aex0， PF2aex0；公式：2設(shè)點(diǎn) (,y0) 為橢圓y2x21(ab0)上一點(diǎn)，F(xiàn)1、F2分別橢圓的下、上焦P x0a2b2點(diǎn)，那么 PF1aey0， PF2aey0；雙曲線第一定義：平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn) F1、F2的距離的差的絕對(duì)值是常數(shù)小于 F1F2的點(diǎn)的軌跡叫做雙曲線。這兩個(gè)定點(diǎn)叫做雙曲線的焦點(diǎn)，兩定點(diǎn)的距離叫做橢圓的焦距，即MF1MF22a(2aF1F2) 。第二定義：平面內(nèi)與一定點(diǎn) F 的距離和它到一條定直線 l 的距離的比等于常數(shù) e e1的點(diǎn)的軌跡叫做雙曲線。定點(diǎn)F是雙曲線的焦點(diǎn)，定直線 l 是橢圓的準(zhǔn)線，常數(shù) e 是橢圓的離心率。即MF1) d 為 M 到 l 得距離。e(ed雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其幾何性質(zhì)：焦點(diǎn)在 x 軸上焦點(diǎn)在 y 軸上標(biāo)準(zhǔn)方程x2y21(a0, b0)y2x21( a0, b0)a2b2a2b2圖形F1( c,0)、F2(c,0)F1(0, c)、F2(0, c)焦點(diǎn)坐標(biāo)c2a2b2c2a2b2精品文檔文檔精品文檔頂點(diǎn)坐標(biāo)范圍對(duì)稱軸準(zhǔn)線方程離心率漸近線方程等軸雙曲線焦半徑公式x軸，實(shí)軸為2a；x軸，虛軸為2b；y軸，虛軸為2b。y軸，實(shí)軸為2a。xa2ya2ccec， e1a