200411武漢科技大學(xué)高等代數(shù)小魚的鋪獲取資源

1、科技大學(xué)研究生入學(xué)試題頁數(shù)：3 頁（總頁數(shù)）2004 年課程名稱：高等代數(shù)說明：1.可使用的工具：計(jì)算器（）2.答題內(nèi)容寫在答題紙上，寫在試題紙或草稿紙上無效一、填空（共 5 小題 30 分）æ 128öç1矩陣ç 0÷25÷ 的相似標(biāo)準(zhǔn)形為 ç 03÷0èø2 + 2x - 2 在有理數(shù)域上一定（ 填： 可約、不可2多項(xiàng)式f (約）。3如果 b 可被向量組a1,a 2 ,L ,a r 線性表出，則：秩（a1,a 2 ,L ,a r ）秩（a1,a 2 ,L ,a r , b ）。æ

2、12ö A = ç÷ 是正定矩陣，則k 4。2kèø5已知四階方陣 A 的特征值為 2，0，0，4。B 與 A 相似，則 B 的特征多項(xiàng)式 f B (l) =。二、單項(xiàng)選擇題（共 5 小題 30 分）1設(shè) A 為n 階正交陣（ n ³ 2 ），則 A 的特征值不可能是 A） 1C） -1B） iD） 22 A 為m ´ n 階矩陣，其秩= r < n ，則方程組 Ax = b A） 有無窮多個(gè)解C） 無解B）有唯一解D）不一定有解3 A 為n 階實(shí)對(duì)稱陣，則 A 正定的必要而非充分的條件是 A）A 的行列式大于 0n

3、階可逆方陣C 使得 A = CT CB）C）D）A 與陣合同A 的特征值全大于 0。4已知n 階方陣 A 與對(duì)角陣相似，則 A） 秩（ A ）= nB） A 有n 個(gè)不同的特征向量；C） A = ATD） A 有n 個(gè)不同的特征值。5 A 、 B 都為n 階方陣， AB = 0 ，則 A） A = 0 或 B = 0B） R( A) = 0 或 R(B) = 0C） | A |= 0 或| B |= 0D） tr( A) = 0 或tr(B) = 0三、（10 分）bLbLa3La1 bbb a2 bLbb b bLan計(jì)算n 階行列式d =LLbLLb四、（10 分）V = a + bt +

4、 ct 2| a, b, c Î R1，求由基f1 (t) = 1， f 2 (t) = t ， f3 (t) = 1 + t ，2到基g1 (t) = -t ， g 2 (t) = 1 + t ， g3 (t) = t2的過渡矩陣。3 ) = (+五、（f () ，求一個(gè)正交替換使得二次型 f 為標(biāo)準(zhǔn)形。并其正定性。æ A0 ö六、（15 分） AB 為可逆方陣，求 X = ç÷ 的逆矩陣。CBèø七、（40 分）2 - 2 為其零化多項(xiàng)式，1A 為n 維線性空間V 上的線性變換，且 f (求證： A 可逆；并用 A 的一

5、個(gè)多項(xiàng)式表示 A-1 。2. AB 為n 階實(shí)方陣，若 A 正定，且 B¢AB = 0 ，求證： B = 03. A 為m ´ n 階方陣， b 為一個(gè)n 維列向量。已知方程 Ax = b 有唯一解，求證 AT A 的主子式全部大于 0。1、1、2， V = x Î R3 | ( A - E)2 x = 0 ，4已知三階方陣 A 的特征值為1V2 = x Î R | ( A - 2E)x = 03求證：對(duì)任意h Î R3 ，都a ÎV 與 b ÎV 使得12h = a + b ?？萍即髮W(xué)2005 年研究生入學(xué)考試試題考試科目

6、及代碼：高等代數(shù) 420共 3 頁第1頁說明：1.適用專業(yè)：應(yīng)用數(shù)學(xué) 0701042.可使用的工具：計(jì)算器 （ ）3.答題內(nèi)容寫在答題紙上，寫在試題紙或草稿紙上無效一、填空（6 小題，共 30 分）æö÷1.設(shè) A = ç()-1，則 A= *。ç÷ç 0÷1è1y y2ø1x x21z z2= 。2.3.若 = (0)= (1+ k,1), = (1,1), = (1,1+ k )21+ k,kk可由1,1,123唯一線性表示，則k =。4.若對(duì)任意的列向量 x ，均有 Ax = 0 ，則矩陣

7、 A = 。5. 設(shè) A 為n 階方陣， Ax = 0 有非零解，則 A 必有一個(gè)特征值為。6多項(xiàng)式 x4 - 2x +1的有理根是。二、單項(xiàng)選擇題（5 小題，共 30 分）¹ 0 ，A* 是 A 的伴隨矩陣，則( A* )* = 。1. 設(shè) A 為n 階矩陣（ n ³ 2 ），且AA n-1 AA n+1 AA n-2 AA n+2 AA 為m ´ n 階矩陣，且秩R( A) = r < n ，則方程組 Ax = b。2.有唯一解有無窮多個(gè)解不一定有解無解3.設(shè) A為n 階方陣， k 是非零，則 kA =。k nAkAk nAkA如果(x2 -1, g(x

8、) = 1 ，且(x2 -1)4.g(x)h(x) ，則。( x +1)( x -1)( x -1)( x + 1)g(x),h(x)g(x),h(x)( x +1) g(x) ， ( x -1)h(x)( x +1) g(x) ， ( x -1) h(x)設(shè)l0 是n 階矩陣 A 的特征向量，且齊次線性方程組(l0 E - A) x = 0 的基礎(chǔ)解系為1 與2 ，則 A 的屬于l0 的全部特征向量是。5.1 和21 或2k11 + k22 （ k1, k2 為不1 + 2的）三、（15 分）a1111a2 0 L010a3 L 0L L L LL100Lan計(jì)算n 階行列式 d =，其中a

9、1a2 L an ¹ 0 。L1四、（15 分）設(shè)* 是非齊線性方程組 Ax = b 的一個(gè)解， , , L , 是對(duì)應(yīng)的齊次方程組12n-r的一個(gè)基礎(chǔ)解系，證明： *, , , L ,12n-r線性無關(guān)。五、（15 分）¹ (-1)n ，證明下面的實(shí)二次型是正定的設(shè) a a L a1 2n) = ( x)2 + ( x)2 +L + ( x)2 + ( x)2+ a x+ a x+ ax+ a x。f (n-1n-1 nn11 222 3nn 1六、（15 分）æ 1 ö設(shè) = ç 2 ÷, = (22) ，證明矩陣 A = 滿足：

10、 An-1= 2n-1 A 。ç ÷ç 1 ÷è ø七、（15 分）設(shè) A 為線性空間V 的線性變換，證明： AV Í A-1(0) 當(dāng)且僅當(dāng) A2 是零變換。八、（15 分）設(shè) A(t) 是定義在區(qū)間 a £ t £ b 上的 n ´ n 矩陣函數(shù)， f (t) 是定義在區(qū)間a £ t £ b 上的n 維列向量函數(shù)， x, x ' 是n 維列向量， (t) 是n 維一階齊線性微分方程組x ' = A(t) x（1）的基解矩陣。試尋求n 維一階非齊線性微分方程

11、組x ' = A(t) x + f (t)（2）的形如j(t) = (t)c(t)（3）的定義在區(qū)間a £ t £ b 上且滿足初始條件x(t0 ) = 0t0 Îa, b（4）的解，其中， c(t) 是待定的n 維列向量函數(shù)?？萍即髮W(xué)2006 年研究生入學(xué)考試試題考試科目及代碼： 高等代數(shù) （420） 說明：1.適用招生專業(yè)：應(yīng)用數(shù)學(xué)0701042.可使用的常用工具：計(jì)算器3.答題內(nèi)容只能寫在答題紙上，寫在試卷或草稿紙上一律無效。4.考試時(shí)間 3 小時(shí)，總分值 150 分。一、填空題（每小題 5 分，共 30 分）1已知 A ， B 均為n 階矩陣，且

12、A2 - AB = E ，則秩( AB - BA + A) = 2設(shè) A* 是三階矩陣 A 的伴隨矩陣，若| A |= 1 ，則| (2 A) -1 - 3A* |=33如果(x - 1)2 | ( Ax 4 + Bx2 + 1) ，則 A =， B = 4若實(shí)向量組a1 = (0,4,2 - t) ，a = (2,3 - t,1) ， a = (1 - t,2,3) 線性相關(guān)，則TTT21實(shí)數(shù)t = æ 712öæ 13ö設(shè)矩陣 A 與 B 相似，其中 A = ç÷ ， B = ç÷ ，則 x = ø5

13、yx24èøèy = æ11k00 öç÷0 ÷ 是正定矩陣，則k 滿足條件 6設(shè) A = ç1ç 0÷2kèø二、單項(xiàng)選擇題（每小題 5 分，共 30 分）1設(shè) A ， B 為n 階方陣， A 非零且 AB = 0 ，則 A.B = 0B.| B |= 0 或| A |= 0C.BA = 0D. ( A - B)2 = A2 + B 22設(shè) A 為n 階方陣，且 A3 = 0 ，則(E - A)-1 = A.E - A + A2C.E + A - A2E + A

14、+ A2E - A - A2B.D.3已知 A2 = E ，則必有 A.A + E 可逆C.A ¹ E 時(shí)， A + E 可逆B.A - E 不可逆D.A ¹ E 時(shí)， A + E 不可逆4設(shè) A 是三階非零矩陣，滿足 A2 = 0 ，則非齊次線性方程組 Ax = b 的線性無關(guān)的解向量個(gè)數(shù)最多為 A.1 個(gè)C.3 個(gè)B.2 個(gè)D.4 個(gè)5設(shè) A 是三階矩陣，且有特征值 1，-2，4。則下列矩陣中，矩陣是 A.E - AC.2E - AA + 2EA - 4EB.D.æ11111öæ 300öç÷ç

15、47;6 A = ç11÷ ， B = ç 000÷ ，則 A 與 B ç11÷ç 00÷0èøèøA.C.B.D.合同且相似合同但不相似不合同但相似既不合同也不相似三、（15 分）LLLL2122222L2223L2222L2008計(jì)算行列式： D =L2四、（15 分）æ- 1- 1 ö20- 1A = ç 1÷設(shè) f ( A) = (E - A)(E + A) -1,2，求E + f ( f ( A)-1ç÷&

16、#231;- 1- 2÷èø五、（15 分）設(shè) n 階矩陣 A 的列向量組為a1,a 2 ,L ,a n ， B 的列向量為a1 + a 2 ， a 2 + a3 ，L ,a n-1 + a n ， a n + a1 ，試問，當(dāng)秩( A) = n 時(shí)，齊次線性方程組 Bx = 0 是否有非零解？并證明你的結(jié)論。六、（15 分）2 + 3x ， (a > 0) ，已知 f 通過某正交變換可化f (x ,112 3f = y1 + 2 y2 + 5 y3 ，求參數(shù)a 及所用的正交變換矩陣。222為七、（15 分）在 P 2´2 （方陣所形成的線性空間）

17、中定義線性變換 A 如下： 對(duì)任意的12 ö2´2æ ab öæ10ö÷ Î P22 øA(x) = ç÷x cd= ç0÷0， 求A在 基E11，xxè 21èøèø= æ 01ö= æ 00ö E= æ 00ö 下的矩陣 A 。Eç÷ E00ç1÷0ç÷01122122èø&

18、#232;øèø八、（15 分）A 為n 維線性空間V 上的線性變換，求證： dim A(V ) + dim A -1 (0) = n科技大學(xué)研究生入學(xué)試題頁數(shù)：4 頁（總頁數(shù)）2007 年課程名稱：（420）高等代數(shù)說明：1.可使用的工具：計(jì)算器 （）2.答題內(nèi)容寫在答題紙上，寫在試題紙或草稿紙上無效。3.適用專業(yè):應(yīng)用數(shù)學(xué)、概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)。4.考試時(shí)間 3 小時(shí)，總分值 150 分。注意：以下試題中： A* 表示 A 的伴隨矩陣， AT 表示 A 的轉(zhuǎn)置，tr( A) 表示 A 的對(duì)角元素的和。一、填空（共 5 小題 30 分）æ 210ö

19、;ç1矩陣ç 1÷20÷ 的逆矩陣為 。ç 03÷0èø2已知(x - 1)2 | ax 4 + bx 2 + 1，則(a, b) =。æ a11a12 a22a13 öç÷a23 ÷ ，3 A = ç a21Aij （ i = 1,2,3 ； j = 1,2,3 ）是其代ç a÷aaè 3133 ø32æ 1a20b ö數(shù)式，已知 A-1 = ç 0÷çc ，

20、47;ç 03÷è則a11 A11 + a12 A12 + a13 A13ø=。4曲面 x 2 + 2axy + y 2 + z 2 = 1 為橢球，則a 應(yīng)滿足的條件是： 。5 A 為2 ´ 4 階矩陣， B 為4 ´ 2 階矩陣，已知 AB 的特征值為2 和 5。 則 BA 的四個(gè)特征值分別為 。二、單項(xiàng)選擇題（共 5 小題 30 分）1設(shè) A 為n 階方陣（ n ³ 2 ），則| A |= 0 的充分必要條件是 A） B） C）D）A 中必有兩行元素成比例； A 中必有一行元素全為 0； A 的行向量組線性相關(guān) ；A

21、中任意一行元素是其余各行的線性組合。= 0ì32已知線性方程組ïax + bx + cx = 0，í123ïa x + b2 x + c 2 x = 02î123則aA）bac 滿足 bc 互不相等；B） a = b = c ；c 中恰有兩個(gè)相等；D） a 2 + b2 + c 2 ¹ 0C）ab3 AB 為n 階實(shí)對(duì)稱陣，則 A）+ B 2 的行列式大于 0 ；A2n 階方陣C 使得 A2 + B 2 = C 2 ；B）C） AB 正定 ；D） A + B 的特征值全大于 0。4 T 為n 維線性空間V 上的可逆線性變換，則不正確的

22、是 A） T 的特征值均不為 0B） T 的值域空間為VC） T 在任何基下的矩陣可逆D） T -1 (0) 的維數(shù)為1。5 A 、 B 都為n 階可逆方陣，則。A） ( A + B) 2 = A2 + 2 AB + B 2B） ( AB) -1= A-1 B -1C） | A + B |=| A | + | B |D） ( AB)T = BT AT三、（10 分）討論下述向量組的線性相關(guān)性：a1 = (a1 - b1 , a1 - b2 ,L , a1 - bn ) ，a 2 = (a2 - b1 , a2 - b2 ,L , a2 - bn ) ,，a n = (an - b1 , an

23、- b2 ,L , an - bn ) 。四、（10 分）V = aet + bt + c | a, b, c Î R1，D 為微分算子： Df = f ¢ ， f Î V求V 的一組基與維數(shù)，并求 D 在此基下的矩陣。五、（15 分）已知下述二次型是半正定的，但不是正定的。) = (a x + a x + a x ) 2 + (x +)2f (31 12 23 321求a1 , a2 , a3 。æ 00ö0ç÷六、（15 分） B = ç 100÷ ， A = lE + B ，求 B3 ， Bn ，

24、An 。ç 00÷1èø七、（40 分）1 A 、B 為n 維線性空間V 上的線性變換，且 AB = BA 求證：<1> 如果l0 是 A 的一個(gè)特征值，那么Vl = a | A a = l0a0是 B 的不變子空間。<2> A 、 B 有公共特征向量。2AB 為n 階實(shí)對(duì)稱陣，且 A 正定，求證：方程組 BABx = 0 ，與方程組 ABx = 0 同解3 A 為n 階實(shí)對(duì)稱陣， l1 ¹ l2 都是 A 的特征值，a1a 2 為相應(yīng)于l1l2 的特征向量，求證a1a 2 正交。æ ab ö4 A

25、= ç÷ 為實(shí)方陣，其中b > 0, c > 0 ，求證 A 可與對(duì)角cdè陣相似。ø二 O O 九年招收研究生入學(xué)考試試題考試科目及代碼： 高等代數(shù) 820適用專業(yè)： 應(yīng)用數(shù)學(xué)、概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)AA*AR( A)AATA一、填空(30 分共 6 小題)設(shè) A 是 3 階矩陣，且 A = 3 ，則 2 A*2xx121x112 設(shè) f (x) =， A 是a 的代數(shù)式。 A + A + A + A = 11x1ijij11121314111x3 A 是 3 階對(duì)稱矩陣，特征值為 1，2，3，當(dāng)t時(shí)， tE - A 是半正定的。æ l

26、 2 + löç÷4l 矩 陣 A(l) = çl÷ 的標(biāo)準(zhǔn)形為 ç(l +1)2 ÷èøæ 210 öA = ç 021 ÷ ， 則l E - A 的初等因子是 ç÷ç 001 ÷èø設(shè) A = ( A1, A2 ) ，其中 A1 是m 階矩陣，若 A 可用初等行變換化為矩陣(E, D) ，則D = 二、選擇題（20 分共 4 小題）1、設(shè) f (4 + 7- 8 ，則 x = 2 是 （A） f (x)

27、 的單根；（B） f (x) 的二重根；（C） f (x) 的三重根；（D） f (x) 的四重根。2、若 A, B 為正定矩陣，則 （A） AB, A + B 都正定；（B） AB 正定， A + B 非正定；（C） AB 非正定， A + B 正定；（D） AB 不一定正定， A + B 正定。3、 A 為n 階矩陣，且 A2 = A ，則 R( A) + R( A - E)（A） £ n ；（B） = n ；（C） ³ n ；（D）以上三種情況都有可能。 4、已知 A 是 3 階矩陣， R( A) = 1，則l = 0 （A）必是 A 的二重特征根；（B）至多是 A

28、的二重特征根；（C）至少是 A 的二重特征根；（D）一重，二重，三重特征根都有可能。三、（15 分）a, b 取什么值時(shí)，線性方程組ì3 + x4 + x5 =ï+ x - x = aï345í+ x =ï45ïî3 + 3x4 - x5 = b有解？在有解的情形下，求解。四、（10 分）求向量組的極大線性無關(guān)組與秩a1 = (1, -1, 2, 4) ,a = (0, 3,1, 2) ,a = (3, 0, 7,14) ,a = (1, -1, 2, 0) ,a = (2,1, 5, 6) ,TTTTT2345五、（10

29、分）設(shè)線性空間V 4 中兩組基（）a ,a ,a ,a ；（） b , b , b , b 滿足12341234a1 + 2a2 = b3,a2 + 2a3 = b4 , b1 + 2b2 = a3, b2 + 2b3 = a4（1）（）到基（）的過渡矩陣C 。 （2）求向量a = 2b1 - b2 + b3 + b4 在基（）下的坐標(biāo)。六、（15 分）求正交矩陣Q 使QT AQ 成對(duì)角形æ 22-2 öA = ç 25-4 ÷ç÷ç -2-45 ÷èø七、（10 分）在 R3 中，定義變換T

30、() = (2+ x , x )3231（1）驗(yàn)證T 是線性變換。（2）求T 在基e1 = (1, 0, 0), e2 = (1,1, 0), e3 = (1,1,1), 下的矩陣。八、（40 分，共 4 小題）1、設(shè)b1 = a2 + a3 +L + ar , b2 = a1 + a3 +L + ar ,L , br = a1 + a2 +L + ar-1 ，證明b1, b2 ,L , br 與a1,a2 ,L ,ar 有相同的秩。2、設(shè)由向量組a1,a2,L ,am 生成的空間為 L = a | a = l1a1 + l2a2 +L + lmam , li Î R ， 證明空間

31、L 的維數(shù)等于向量組a1,a2,L ,am 的秩。3、設(shè) A, B 都是正定矩陣，證明tr( AB) £ (max li )trB ，其中l(wèi)i 是 A 的特征值，trB 表i示矩陣 B 的跡（即矩陣對(duì)角線元和）。4、設(shè) P 是主對(duì)角線上全為 1 的上三角矩陣， B = PT AP ，證明 A 與 B 對(duì)應(yīng)的順序主子式有相同的值。二 O 一 0 年招收研究生入學(xué)考試試題考試科目及代碼： 高等代數(shù)（） 適用專業(yè)： 答題內(nèi)容寫在答題紙上，寫在試卷或草稿紙上一律無效考完后試題隨答題紙交回?？荚嚂r(shí)間 3 小時(shí)，總分值150分。第 1 頁 共 4 頁注意：以下試題中： A* 表示 A 的伴隨矩陣

32、， AT 表示 A 的轉(zhuǎn)置，tr ( A) 表示 A 的對(duì)角元素的和， R( A) 表示 A 的秩。一、填空（共 5 小題 30 分）æ x1 öç÷1A 為m ´ n 階實(shí)矩陣，已知 AT A = 0 ，則線性子空間S = x = ç x2 ÷ | Ax = 0 的ç M ÷ç÷è xn ø維數(shù)為：。2 f (x) = x 4 + 1，在復(fù)數(shù)域中將 f (x) 分解成不可約多項(xiàng)式的乘積， 則 f (x) =。3向量組a1 = (1,1,1) ，a 2 = (1,2

33、, a) ，a 3 = (1,4, a ) 線性無關(guān)的充分必要條件是2a。4. 已知 f (+ 2x )2 + (x + bx )2 為實(shí)正定二次型，1212則b。5. 寫出一個(gè) 3 階方陣，使得它不與對(duì)角陣相似。答：.第 2 頁 共 4 頁二、單項(xiàng)選擇題（共 5 小題 30 分）1設(shè) A 為 n 階實(shí)可逆方陣（ n ³ 2 ），則 A） AT A 為正定陣；B） A2 為正定陣；C） AT A 為正交陣；D） A2 為正交陣。æ a11a12La1n öæ b1 öç÷ç÷2 A = ç a2

34、1a22La2n ÷ ， b = ç b2 ÷ ，已知線性方程組ç LLLL ÷çL÷ç÷ç÷è am1am2Lamn øèbm øì a11x1 + a12 x2 + L+ a1n xn = b1ï a x + a x +L+ a x = bï 21 122 22n n2 有唯一解，則 íLïïîam1 x1 + am 2 x2 +L+ amn xn = bmA） m > n ；B） m < n ；C） m = n ；D） m ³ n 。3. A 為 3 階實(shí)方陣，特征值為 0，1，