同濟(jì)高等數(shù)學(xué)公式大全

1、高等數(shù)學(xué)公式導(dǎo)數(shù)公式：基本積分表：三角函數(shù)的有理式積分：1 / 32一些初等函數(shù)： 兩個(gè)重要極限：三角函數(shù)公式：誘導(dǎo)公式： 函數(shù)角Asincostgctg-sincos-tg-ctg90-cossinctgtg90+cos-sin-ctg-tg180-sin-cos-tg-ctg180+-sin-costgctg270-cos-sinctgtg270+-cossin-ctg-tg360-sincos-tg-ctg360+sincostgctg和差角公式： 和差化積公式：倍角公式：半角公式：正弦定理： 余弦定理： 反三角函數(shù)性質(zhì)：高階導(dǎo)數(shù)公式萊布尼茲（Leibniz）公式：中值定理與導(dǎo)數(shù)應(yīng)用：曲

2、率：定積分的近似計(jì)算：定積分應(yīng)用相關(guān)公式：空間解析幾何和向量代數(shù)：多元函數(shù)微分法及應(yīng)用微分法在幾何上的應(yīng)用：方向?qū)?shù)與梯度：多元函數(shù)的極值及其求法：重積分及其應(yīng)用：柱面坐標(biāo)和球面坐標(biāo)：曲線積分：曲面積分：高斯公式：斯托克斯公式曲線積分與曲面積分的關(guān)系：常數(shù)項(xiàng)級數(shù)：級數(shù)審斂法：絕對收斂與條件收斂：冪級數(shù)：函數(shù)展開成冪級數(shù)：一些函數(shù)展開成冪級數(shù)：歐拉公式：三角級數(shù)：傅立葉級數(shù)：周期為的周期函數(shù)的傅立葉級數(shù)：微分方程的相關(guān)概念：一階線性微分方程：全微分方程：二階微分方程：二階常系數(shù)齊次線性微分方程及其解法：(*)式的通解兩個(gè)不相等實(shí)根兩個(gè)相等實(shí)根一對共軛復(fù)根二階常系數(shù)非齊次線性微分方程求極限的各種方

3、法1約去零因子求極限例1：求極限【說明】表明無限接近，但，所以這一零因子可以約去?！窘狻?42分子分母同除求極限例2：求極限【說明】型且分子分母都以多項(xiàng)式給出的極限,可通過分子分母同除來求?！窘狻俊咀ⅰ?1) 一般分子分母同除的最高次方；(2) 3分子(母)有理化求極限例3：求極限【說明】分子或分母有理化求極限，是通過有理化化去無理式?！窘狻坷?：求極限【解】【注】本題除了使用分子有理化方法外，及時(shí)分離極限式中的非零因子是解題的關(guān)鍵4應(yīng)用兩個(gè)重要極限求極限兩個(gè)重要極限是和，第一個(gè)重要極限過于簡單且可通過等價(jià)無窮小來實(shí)現(xiàn)。主要考第二個(gè)重要極限。例5：求極限【說明】第二個(gè)重要極限主要搞清楚湊的步驟

4、：先湊出，再湊，最后湊指數(shù)部分。【解】例6：(1)；(2)已知，求。5用等價(jià)無窮小量代換求極限【說明】(1)常見等價(jià)無窮小有：當(dāng) 時(shí),；(2) 等價(jià)無窮小量代換,只能代換極限式中的因式；(3)此方法在各種求極限的方法中應(yīng)作為首選。例7：求極限【解】 .例8：求極限【解】6用羅必塔法則求極限例9：求極限【說明】或型的極限,可通過羅必塔法則來求?！窘狻俊咀ⅰ吭S多變動上顯的積分表示的極限，常用羅必塔法則求解例10：設(shè)函數(shù)f(x)連續(xù)，且，求極限【解】 由于,于是 =7用對數(shù)恒等式求極限 例11：極限 【解】 =【注】對于型未定式的極限，也可用公式=因?yàn)槔?2：求極限.【解1】 原式 【解2】 原式

5、8利用Taylor公式求極限 例13 求極限 .【解】 , ; .例14 求極限.【解】 .9數(shù)列極限轉(zhuǎn)化成函數(shù)極限求解例15：極限【說明】這是形式的的數(shù)列極限，由于數(shù)列極限不能使用羅必塔法則，若直接求有一定難度，若轉(zhuǎn)化成函數(shù)極限，可通過7提供的方法結(jié)合羅必塔法則求解?！窘狻靠紤]輔助極限所以，10n項(xiàng)和數(shù)列極限問題n項(xiàng)和數(shù)列極限問題極限問題有兩種處理方法(1)用定積分的定義把極限轉(zhuǎn)化為定積分來計(jì)算;(2)利用兩邊夾法則求極限.例16：極限【說明】用定積分的定義把極限轉(zhuǎn)化為定積分計(jì)算,是把看成0,1定積分?！窘狻吭嚼?7：極限【說明】(1)該題遇上一題類似，但是不能湊成的形式，因而用兩邊夾法則

6、求解； (2) 兩邊夾法則需要放大不等式，常用的方法是都換成最大的或最小的?！窘狻恳?yàn)橛炙?2單調(diào)有界數(shù)列的極限問題例18：設(shè)數(shù)列滿足（）證明存在，并求該極限；（）計(jì)算. 【分析】 一般利用單調(diào)增加有上界或單調(diào)減少有下界數(shù)列必有極限的準(zhǔn)則來證明數(shù)列極限的存在. 【詳解】 （）因?yàn)椋瑒t.可推得，則數(shù)列有界.于是，（因當(dāng)）， 則有，可見數(shù)列單調(diào)減少，故由單調(diào)減少有下界數(shù)列必有極限知極限存在.設(shè)，在兩邊令，得，解得，即.（）因，由（）知該極限為型， (使用了羅必塔法則)故.求不定積分的方法及技巧小匯總1. 利用基本公式。（這就不多說了）2. 第一類換元法。（湊微分）設(shè)f()具有原函數(shù)F()。則其中

7、可微。用湊微分法求解不定積分時(shí)，首先要認(rèn)真觀察被積函數(shù)，尋找導(dǎo)數(shù)項(xiàng)內(nèi)容，同時(shí)為下一步積分做準(zhǔn)備。當(dāng)實(shí)在看不清楚被積函數(shù)特點(diǎn)時(shí)，不妨從被積函數(shù)中拿出部分算式求導(dǎo)、嘗試，或許從中可以得到某種啟迪。如例1、例2：例1：【解】例2：【解】3. 第二類換元法：設(shè)是單調(diào)、可導(dǎo)的函數(shù)，并且具有原函數(shù)，則有換元公式第二類換元法主要是針對多種形式的無理根式。常見的變換形式需要熟記會用。主要有以下幾種：4. 分部積分法.公式：分部積分法采用迂回的技巧，規(guī)避難點(diǎn)，挑容易積分的部分先做，最終完成不定積分。具體選取時(shí)，通?；谝韵聝牲c(diǎn)考慮：（1） 降低多項(xiàng)式部分的系數(shù)（2） 簡化被積函數(shù)的類型舉兩個(gè)例子吧！例3：【解】

8、觀察被積函數(shù)，選取變換,則例4：【解】上面的例3，降低了多項(xiàng)式系數(shù)；例4，簡化了被積函數(shù)的類型。有時(shí)，分部積分會產(chǎn)生循環(huán)，最終也可求得不定積分。在中，的選取有下面簡單的規(guī)律：將以上規(guī)律化成一個(gè)圖就是：（axarcsinx）（lnxPm(x)sinx)但是，當(dāng)時(shí)，是無法求解的。對于（3）情況，有兩個(gè)通用公式：（分部積分法用處多多在本冊雜志的涉及l(fā)nx的不定積分中，?？梢钥吹椒植糠e分）5. 幾種特殊類型函數(shù)的積分。（1） 有理函數(shù)的積分有理函數(shù)先化為多項(xiàng)式和真分式之和，再把分解為若干個(gè)部分分式之和。（對各部分分式的處理可能會比較復(fù)雜。出現(xiàn)時(shí)，記得用遞推公式：）例5：【解】故不定積分求得。（2）三角函數(shù)有理式的積分萬能公式：的積分，但由于計(jì)算較煩，應(yīng)盡量避免。對于只含有tanx（或cotx）的分式，必化成。再用待定系數(shù) 來做。（注：沒舉例題并不代表不重要）（3） 簡單無理函數(shù)的積分一般用第二類