線性代數(shù)技巧行列式的計(jì)算方法

1、計(jì)算n階行列式的若干方法舉例n階行列式的計(jì)算方法很多，除非零元素較多時(shí)可利用定義計(jì)算（按照某一列或某一行展開(kāi)完全展開(kāi)式）外，更多的是利用行列式的性質(zhì)計(jì)算，特別要注意觀察所求題目的特點(diǎn)，靈活選用方法，值得注意的是，同一個(gè)行列式，有時(shí)會(huì)有不同的求解方法。下面介紹幾種常用的方法，并舉例說(shuō)明。1利用行列式定義直接計(jì)算例1 計(jì)算行列式解 Dn中不為零的項(xiàng)用一般形式表示為.該項(xiàng)列標(biāo)排列的逆序數(shù)t（n1 n21n）等于，故 2利用行列式的性質(zhì)計(jì)算例2 一個(gè)n階行列式的元素滿(mǎn)足則稱(chēng)Dn為反對(duì)稱(chēng)行列式，證明：奇數(shù)階反對(duì)稱(chēng)行列式為零. 證明：由知，即故行列式Dn可表示為由行列式的性質(zhì) 當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，得Dn =Dn

2、，因而得Dn = 0.3化為三角形行列式若能把一個(gè)行列式經(jīng)過(guò)適當(dāng)變換化為三角形，其結(jié)果為行列式主對(duì)角線上元素的乘積。因此化三角形是行列式計(jì)算中的一個(gè)重要方法。例3 計(jì)算n階行列式 解：這個(gè)行列式的特點(diǎn)是每行（列）元素的和均相等，根據(jù)行列式的性質(zhì)，把第2，3，n列都加到第1列上，行列式不變，得4降階法降階法是按某一行（或一列）展開(kāi)行列式，這樣可以降低一階，更一般地是用拉普拉斯定理，這樣可以降低多階，為了使運(yùn)算更加簡(jiǎn)便，往往是先利用列式的性質(zhì)化簡(jiǎn)，使行列式中有較多的零出現(xiàn)，然后再展開(kāi)。例4 計(jì)算n階行列式解 將Dn按第1行展開(kāi).5遞推公式法遞推公式法：對(duì)n階行列式Dn找出Dn與Dn1或Dn與Dn1

3、, Dn2之間的一種關(guān)系稱(chēng)為遞推公式（其中Dn, Dn1, Dn2等結(jié)構(gòu)相同），再由遞推公式求出Dn的方法稱(chēng)為遞推公式法。例5 證明 證明：將Dn按第1列展開(kāi)得 由此得遞推公式：，利用此遞推公式可得6利用范德蒙行列式例6 計(jì)算行列式解 把第1行的1倍加到第2行，把新的第2行的1倍加到第3行，以此類(lèi)推直到把新的第n1行的1倍加到第n行，便得范德蒙行列式例2 計(jì)算階行列式其中解 這個(gè)行列式的每一行元素的形狀都是，0，1，2，n即按降冪排列，按升冪排列，且次數(shù)之和都是n，又因，若在第i行（1，2，n）提出公因子，則D可化為一個(gè)轉(zhuǎn)置的范德蒙行列式，即7加邊法（升階法）加邊法（又稱(chēng)升階法）是在原行列式中

4、增加一行一列，且保持原行列式不變的方法。例7 計(jì)算n階行列式 解： （箭形行列式） 例3 計(jì)算n（n2）階行列式，其中解 先將添上一行一列，變成下面的階行列式：顯然，將的第一行乘以后加到其余各行，得因，將上面這個(gè)行列式第一列加第i（，）列的倍，得：故 8數(shù)學(xué)歸納法例8 計(jì)算n階行列式解：用數(shù)學(xué)歸納法. 當(dāng)n = 2時(shí) 假設(shè)n = k時(shí)，有 則當(dāng)n = k+1時(shí)，把Dk+1按第一列展開(kāi)，得由此，對(duì)任意的正整數(shù)n，有9拆開(kāi)法把某一行（或列）的元素寫(xiě)成兩數(shù)和的形式，再利用行列式的性質(zhì)將原行列式寫(xiě)成兩行列式之和，使問(wèn)題簡(jiǎn)化以利計(jì)算。例9 計(jì)算行列式 解：例4 計(jì)算n（n2）階行列式解 將按第一列拆成兩

5、個(gè)行列式的和，即再將上式等號(hào)右端的第一個(gè)行列式第i列（，3，n）減去第一列的i倍；第二個(gè)行列式提出第一列的公因子，則可得到當(dāng)n3時(shí)，當(dāng)時(shí)，上面介紹了計(jì)算n階行列式的常見(jiàn)方法，計(jì)算行列式時(shí)，我們應(yīng)當(dāng)對(duì)于具體問(wèn)題，把握行列式的特點(diǎn)，靈活選用方法。學(xué)習(xí)中多練習(xí)，多總結(jié)，才能更好地掌握行列式的計(jì)算。第1講 計(jì)算行列式的若干基本方法計(jì)算行列式并無(wú)固定的方法其實(shí)，同一個(gè)行列式可以有多種不同的方法進(jìn)行計(jì)算因此，除了掌握好行列式的基本性質(zhì)外，對(duì)于行列式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，選取恰當(dāng)?shù)姆椒ǎ拍茌^快地酸楚行列式這一講，我們將介紹一些常用的方法1 化為已經(jīng)熟悉的行列式來(lái)計(jì)算我們已經(jīng)知道上（下）三角行列式、范德蒙行列式以及形

6、如，的行列式的結(jié)果如果利用行列式的性質(zhì)可把給定的行列式化為以上這些形式，則不難求出所給行列式的值為了敘述簡(jiǎn)便，仍用記號(hào)表示互換行列式的第i行（列）與第j行（列）；用表示將行列式第j行（列）的k倍加到第i行（列）；用表示將第i行（列）乘以非零的數(shù)c例1 計(jì)算行列式解 這是一個(gè)階數(shù)不高的數(shù)值行列式，通常將它化為上（下）三角行列式來(lái)計(jì)算例5 計(jì)算n階行列式解 這個(gè)行列式每一列的元素，除了主對(duì)角線上的外，都是相同的，且各列的結(jié)構(gòu)相似，因此n列之和全同將第2，3，n列都加到第一列上，就可以提出公因子且使第一列的元素全是1例6 計(jì)算階行列式其中解 這個(gè)行列式的每一行元素的形狀都是，0，1，2，n即按降冪排

7、列，按升冪排列，且次數(shù)之和都是n，又因，若在第i行（1，2，n）提出公因子，則D可化為一個(gè)轉(zhuǎn)置的范德蒙行列式，即2 降階法當(dāng)一個(gè)行列式的某一行（列）的元素有比較多0時(shí)，利用行列式的依行（列）展開(kāi)定理將它化為較低階的行列式來(lái)計(jì)算例7 計(jì)算n（n2）階行列式解 按第一行展開(kāi)，得再將上式等號(hào)右邊的第二個(gè)行列式按第一列展開(kāi)，則可得到3 拆項(xiàng)法拆項(xiàng)法是將給定的行列式的某一行（列）的元素都寫(xiě)成同樣多的和，然后利用性質(zhì)6將它表成一些比較容易計(jì)算的行列式的和例8 計(jì)算n（n2）階行列式解 將按第一列拆成兩個(gè)行列式的和，即再將上式等號(hào)右端的第一個(gè)行列式第i列（，3，n）減去第一列的i倍；第二個(gè)行列式提出第一列的

8、公因子，則可得到當(dāng)n3時(shí)，當(dāng)時(shí)，例9 計(jì)算n階行列式，解 將第一行的元素都表成兩項(xiàng)的和，使變成兩個(gè)行列式的和，即將等號(hào)右端的第一個(gè)行列式按第一行展開(kāi)，得： 這里是一個(gè)與有相同結(jié)構(gòu)的階行列式；將第二個(gè)行列式的第一行加到其余各行，得：于是有 （1）另一方面，如果將的第一行元素用另一方式表成兩項(xiàng)之和：仿上可得： （2）將（1）式兩邊乘以，（2）式兩邊乘以，然后相減以消去，得：4 加邊法在給定的行列式中添上一行和一列，得加邊行列式，建立新的行列式與原行列式的聯(lián)系，以求得結(jié)果例10 計(jì)算n（n2）階行列式，其中解 先將添上一行一列，變成下面的階行列式：顯然，將的第一行乘以后加到其余各行，得因，將上面這個(gè)

9、行列式第一列加第i（，）列的倍，得：故5 遞推法遞推法是根據(jù)行列式的構(gòu)造特點(diǎn)，利用行列式的性質(zhì)，將給定的行列式表成若干個(gè)具有相同形狀以及一些容易計(jì)算的，但階數(shù)較低的行列式之和，然后利用這種關(guān)系式計(jì)算原行列式的值，最后再用數(shù)學(xué)歸納法證明所得到的結(jié)果正確這是一種頗常使用的方法，在計(jì)算范德蒙行列式時(shí)已建立過(guò)遞推關(guān)系式，本講的例6也利用了遞推關(guān)系式使用遞推法計(jì)算行列式，一般分三個(gè)步驟，首先找出遞推關(guān)系式，然后算出結(jié)果，最后用數(shù)學(xué)歸納法證明結(jié)果正確例11 計(jì)算n階行列式解 首先建立遞推關(guān)系式按第一列展開(kāi)，得：這里與有相同的結(jié)構(gòu)，但階數(shù)是的行列式現(xiàn)在，利用遞推關(guān)系式計(jì)算結(jié)果對(duì)此，只需反復(fù)進(jìn)行代換，得：因，

10、故最后，用數(shù)學(xué)歸納法證明這樣得到的結(jié)果是正確的當(dāng)時(shí)，顯然成立設(shè)對(duì)階的情形結(jié)果正確，往證對(duì)n階的情形也正確由可知，對(duì)n階的行列式結(jié)果也成立根據(jù)歸納法原理，對(duì)任意的正整數(shù)n，結(jié)論成立例12 證明n階行列式證明 按第一列展開(kāi)，得其中，等號(hào)右邊的第一個(gè)行列式是與有相同結(jié)構(gòu)但階數(shù)為的行列式，記作；第二個(gè)行列式，若將它按第一列展開(kāi)就得到一個(gè)也與有相同結(jié)構(gòu)但階數(shù)為的行列式，記作這樣，就有遞推關(guān)系式：因?yàn)橐褜⒃辛惺降慕Y(jié)果給出，我們可根據(jù)得到的遞推關(guān)系式來(lái)證明這個(gè)結(jié)果是正確的當(dāng)時(shí)，結(jié)論正確當(dāng)時(shí)，結(jié)論正確設(shè)對(duì)的情形結(jié)論正確，往證時(shí)結(jié)論也正確由可知，對(duì)n階行列式結(jié)果也成立 根據(jù)歸納法原理，對(duì)任意的正整數(shù)n，結(jié)論成

11、立二、行列式計(jì)算方法1. 定義法2. 化為三角形行列式的方法3. 化為范得蒙行列式的方法4. 拆行(列)法5. 降級(jí)法6. 加邊法7. 數(shù)學(xué)歸納法8. 遞推法9. 因式分解法本章主要內(nèi)容的內(nèi)在聯(lián)系:行列式性質(zhì) n級(jí)排列 行列式的概念克拉默規(guī)則 行列式依行依列展開(kāi)重點(diǎn) 行列式的計(jì)算難點(diǎn) 行列式概念,行列式的展開(kāi)定理及用定義證明行列式性質(zhì)3. 化為范得蒙行列式的方法例1 計(jì)算行列式 解 作如下行列式,使之配成范德蒙行列式 = 易知等于中 的系數(shù)的相反數(shù),而中 的系數(shù)為 ,因此, .4. 拆行(列)法例2 計(jì)算行列式.解：.5. 降級(jí)法例3 計(jì)算行列式.解：易得 .6. 加邊法例4 計(jì)算行列式.解：

12、而當(dāng)時(shí)可分只有一個(gè)因子為零或至少有兩個(gè)因子為零可得同樣的結(jié)果.9. 因式分解法如果行列式是某個(gè)變數(shù)的多項(xiàng)式，可對(duì)行列式施行某些變換，求出的互不相同的一次因式，設(shè)這些一次因式的乘積為，則，再比較與的某一項(xiàng)的系數(shù)，求出值.三、行列式的計(jì)算方法方法1化三角形法化三角形法是將原行列式化為上（下）三角形行列式或?qū)切涡辛惺接?jì)算的一種方法。這是計(jì)算行列式的基本方法重要方法之一。因?yàn)槔眯辛惺降亩x容易求得上（下）三角形行列式或?qū)切涡辛惺降男再|(zhì)將行列式化為三角形行列式計(jì)算。原則上，每個(gè)行列式都可利用行列式的性質(zhì)化為三角形行列式。但對(duì)于階數(shù)高的行列式，在一般情況下，計(jì)算往往較繁。因此，在許多情況下，總是先利

13、用行列式的性質(zhì)將其作為某種保值變形，再將其化為三角形行列式。例3：浙江大學(xué)2004年攻讀碩士研究生入學(xué)考試試題第一大題第2小題（重慶大學(xué)2004年攻讀碩士研究生入學(xué)考試試題第三大題第1小題）的解答中需要計(jì)算如下行列式的值：分析顯然若直接化為三角形行列式，計(jì)算很繁，所以我們要充分利用行列式的性質(zhì)。注意到從第1列開(kāi)始；每一列與它一列中有n-1個(gè)數(shù)是差1的，根據(jù)行列式的性質(zhì)，先從第n-1列開(kāi)始乘以1加到第n列，第n-2列乘以1加到第n-1列，一直到第一列乘以1加到第2列。然后把第1行乘以1加到各行去，再將其化為三角形行列式，計(jì)算就簡(jiǎn)單多了。解：方法2 按行（列）展開(kāi)法（降階法）設(shè)為階行列式，根據(jù)行列

14、式的按行（列）展開(kāi)定理有或其中為中的元素的代數(shù)余子式按行（列）展開(kāi)法可以將一個(gè)n階行列式化為n個(gè)n-1階行列式計(jì)算。若繼續(xù)使用按行（列）展開(kāi)法，可以將n階行列式降階直至化為許多個(gè)2階行列式計(jì)算，這是計(jì)算行列式的又一基本方法。但一般情況下，按行（列）展開(kāi)并不能減少計(jì)算量，僅當(dāng)行列式中某一行（列）含有較多零元素時(shí)，它才能發(fā)揮真正的作用。因此，應(yīng)用按行（列）展開(kāi)法時(shí)，應(yīng)利用行列式的性質(zhì)將某一行（列）化為有較多的零元素，再按該行（列）展開(kāi)。例4、計(jì)算20階行列式分析這個(gè)行列式中沒(méi)有一個(gè)零元素，若直接應(yīng)用按行（列）展開(kāi)法逐次降階直至化許許多多個(gè)2階行列式計(jì)算，需進(jìn)行20！201次加減法和乘法運(yùn)算，這人根

15、本是無(wú)法完成的，更何況是n階。但若利用行列式的性質(zhì)將其化為有很多零元素，則很快就可算出結(jié)果。注意到此行列式的相鄰兩列（行）的對(duì)應(yīng)元素僅差1，因此，可按下述方法計(jì)算：解：方法3遞推法應(yīng)用行列式的性質(zhì)，把一個(gè)n階行列式表示為具有相同結(jié)構(gòu)的較低階行列式（比如，n-1階或n-1階與n-2階等）的線性關(guān)系式，這種關(guān)系式稱(chēng)為遞推關(guān)系式。根據(jù)遞推關(guān)系式及某個(gè)低階初始行列式（比如二階或一階行列式）的值，便可遞推求得所給n階行列式的值，這種計(jì)算行列式的方法稱(chēng)為遞推法。注意用此方法一定要看行列式是否具有較低階的相同結(jié)構(gòu)如果沒(méi)有的話(huà)，即很難找出遞推關(guān)系式，從而不能使用此方法。例5、2003年福州大學(xué)研究生入學(xué)考試試

16、題第二大題第10小題要證如下行列式等式：（雖然這是一道證明題，但我們可以直接求出其值，從而證之。）分析此行列式的特點(diǎn)是：除主對(duì)角線及其上下兩條對(duì)角線的元素外，其余的元素都為零，這種行列式稱(chēng)“三對(duì)角”行列式1。從行列式的左上方往右下方看，即知Dn-1與Dn具有相同的結(jié)構(gòu)。因此可考慮利用遞推關(guān)系式計(jì)算。證明：Dn按第1列展開(kāi)，再將展開(kāi)后的第二項(xiàng)中n-1階行列式按第一行展開(kāi)有：這是由Dn-1 和Dn-2表示Dn的遞推關(guān)系式。若由上面的遞推關(guān)系式從n階逐階往低階遞推，計(jì)算較繁，注意到上面的遞推關(guān)系式是由n-1階和n-2階行列式表示n階行列式，因此，可考慮將其變形為：或現(xiàn)可反復(fù)用低階代替高階，有：同樣有

17、：因此當(dāng)時(shí)由（1）（2）式可解得：，證畢。方法4 數(shù)學(xué)歸納法一般是利用不完全歸納法尋找出行列式的猜想值，再用數(shù)學(xué)歸納法給出猜想的證明。因此，數(shù)學(xué)歸納法一般是用來(lái)證明行列式等式。因?yàn)榻o定一個(gè)行列式，要猜想其值是比較難的，所以是先給定其值，然后再去證明。（數(shù)學(xué)歸納法的步驟大家都比較熟悉，這里就不再說(shuō)了）例6、證明：方法 5 .利用范德蒙行列式范德蒙行列式：例7、 計(jì)算n階行列式解：顯然該題與范德蒙行列式很相似，但還是有所不同，所以先利用行列式的性質(zhì)把它化為范德蒙行列式的類(lèi)型。先將的第n行依次與第n-1行，n-2行，,2行，1行對(duì)換，再將得到到的新的行列式的第n行與第n-1行，n-2行，,2行對(duì)換，

18、繼續(xù)仿此作法，直到最后將第n行與第n-1行對(duì)換，這樣，共經(jīng)過(guò)（n-1）+（n-2）+2+1=n（n-1）/2次行對(duì)換后，得到上式右端的行列式已是范德蒙行列式，故利用范德蒙行列式的結(jié)果得： 5.消去法求三對(duì)角線型行列式的值例6 求n階三對(duì)角線型行列式的值：      （1）的構(gòu)造是：主對(duì)角線元全為2，主對(duì)角線上方第一條次對(duì)角線與下方第一條次對(duì)角線的元全為1，其余的元全為0。解 用消去法，把中主對(duì)角線下方第一條次對(duì)角線的元1全部消成0：首先從第二行減去第一行的倍，于是第二行變?yōu)槠浯螐牡谌袦p去第二行（指新的第二行，以下同）的倍，則第三行變?yōu)樵購(gòu)牡谒男袦p去第三行的倍，則第四行變?yōu)轭?lèi)似地做下去，直到第n行減去第n 1行的倍，則第n行變?yōu)樽詈笏玫男辛惺綖?#160;       （2）上面的行列式是三角型行列式，它的主對(duì)角線元順次為    &#