中等生第七招利用線性規(guī)劃求目標(biāo)函數(shù)的最值捷進(jìn)提升篇2016年高考數(shù)學(xué)備考百日系列解析版

1、了解最新高考資訊，關(guān)注第七章不等式利用線性規(guī)劃求目標(biāo)函數(shù)的最值【背一背重點(diǎn)知識(shí)】1. 平面區(qū)域的確定是“直線定界，特殊點(diǎn)定域”，二元一次不等式組所表示的平面區(qū)域是各個(gè)不等式所表示的半平面的交集確定平面區(qū)域中單個(gè)變量的范圍、整點(diǎn)個(gè)數(shù)等，只需把區(qū)域畫出來(lái)，結(jié)合圖形通過(guò)計(jì)算解決2. 線性規(guī)劃問(wèn)題解題步驟：作圖畫出可行域所確定的平面區(qū)域和目標(biāo)函數(shù)所表示的平行直線系中的一條直線 l；平移將直線 l 平行移動(dòng)，以確定最優(yōu)解的對(duì)應(yīng)點(diǎn) A 的位置；求值解有關(guān)方程組求出 A 點(diǎn)坐標(biāo)(即最優(yōu)解)，代入目標(biāo)函數(shù)，求出目標(biāo)函數(shù)的最值3.最優(yōu)解的確定：線性目標(biāo)函數(shù) zaxby 取最大值時(shí)的最優(yōu)解與 b 的正負(fù)有關(guān)，當(dāng)

2、b>0 時(shí)，最優(yōu)解是將直線 axby0 在可行域內(nèi)向上方平移到端點(diǎn)(是兩直線交點(diǎn))的位置得到的；當(dāng) b<0 時(shí)，則是向下方平移【講一講提高技能】1.必備技能：（1）線性目標(biāo)函數(shù) zaxby 中的 z 不是直線axbyz 在 y 軸上的截距，把目標(biāo)函數(shù)化為azzy=x+可知 是直線axbyz 在 y 軸上的截距，要根據(jù)b 的符號(hào)確定目標(biāo)函數(shù)在什么情況下取得最大bbb值、什么情況下取得最小值（2）結(jié)合思想要牢記，作圖定要準(zhǔn)確，整點(diǎn)問(wèn)題要驗(yàn)證解決（3）求解線性規(guī)劃中含參問(wèn)題的基本：線性規(guī)劃中的含參問(wèn)題主要有兩類：一是在條件不等式組中含有參數(shù)；二是在目標(biāo)函數(shù)中含有參數(shù)解決此類問(wèn)題的基本有兩

3、種：一是把參數(shù)當(dāng)成常數(shù)用，根據(jù)線性規(guī)劃問(wèn)題的求解求出最優(yōu)解，代入目標(biāo)函數(shù)確定最值，通過(guò)構(gòu)造方程或不等式求解參數(shù)的值或取值范圍；二是先分離含有參數(shù)的式子，然后通過(guò)觀察的確定含參的式子所滿足的條件2.典型例題：0 £ x £ 4ìïx + y - 4 ³ 0例1已知關(guān)于 x, y 的不等式組í，所表示的平面區(qū)域的面積為 16，則k 的值為（）ïkx - y + 4 ³ 0îC1 或- 3D - 3A-1 或 3B11加，贈(zèng)送全科狀元筆記（最新）了解最新高考資訊，關(guān)注【】C【】），且直線 kx - y + 4

4、= 0 可化為 y = kx + 4 ，即恒過(guò)點(diǎn) A(0,4) ，聯(lián)立試題分析：作出可行域（ì y = kx + 41，得C(4,4k + 4) ，則DABC 的面積為 ´ 4´ 4k + 4 = 16 ，k = 1或k = -3 ；故選 Cíx = 42îì y ³ 1,ï例 2 已知實(shí)數(shù) x, y 滿足 y £ 2x -1, 如果目標(biāo)函數(shù) z = x - y 的最小值為-1，則實(shí)數(shù)m 等于（í）ïx + y £ mîB5A7C4D3【】B【】ìx +

5、y - 2 £ 0ïx - 2 y - 2 £ 0，若 z = y - ax 取得最大值的最優(yōu)解不唯一，則實(shí)數(shù)a 的值為（x, yí例 3滿足約束條件）ï2x - y + 2 ³ 0î1A,或-1B. 2或 1D. 2或-1C.2 或 122分析：目標(biāo)函數(shù)取得最大值的最優(yōu)解不唯一，是平移直線使其與平面區(qū)域的邊界重合.【】D2加，贈(zèng)送全科狀元筆記（最新）了解最新高考資訊，關(guān)注【】【提升能力】ìx + y £ 1ï1. 已知不等式組 x - y ³ -1，表示的平面區(qū)域?yàn)?M，若直線 y

6、= kx - 3k 與平面區(qū)域 M 有公共點(diǎn)，則 k 的取íï y ³ 0î）值范圍是（A. é- 1 ,0ùB. æ -¥, 1 ùæ 0, 1 ùD. æ -¥, - 1 ùC.çççêú3ú3ú3úë3ûèûèûèû【】A【】試題分析：由題意可知，不等式表示的可行域如下圖：由于直線 y = k

7、x - 3k 恒過(guò)點(diǎn)（3,0），所以當(dāng)直線過(guò)1點(diǎn) C 時(shí)斜率最小為k =-.最大值為 0.故選 A.3T =( x0 , y0 )Î D | x0 , y0 Î Z,( x0 , y0 ) 是 z = x + y 在 D 上取得最大值或最小值的點(diǎn)2.給定區(qū)域 D :, ,則T 中的點(diǎn)共確定條不同的直線.】6】【3加，贈(zèng)送全科狀元筆記（最新）了解最新高考資訊，關(guān)注3.若實(shí)數(shù)滿足條件則的最大值是（ ）ABCD【】C【】由約束條件作出可行域如圖中陰影部分，將化為，作出直線并時(shí)，縱截距最小，同時(shí) z 最大為,故C 正平移，使之經(jīng)過(guò)可行域，經(jīng)過(guò)點(diǎn)確.4加，贈(zèng)送全科狀元筆記（最新）了解

8、最新高考資訊，關(guān)注基本不等式【背一背重點(diǎn)知識(shí)】已知 x0，y0 ，則(1)如果積 xy 是定值 p，那么當(dāng)且僅當(dāng) x = y 時(shí)， x + y 有最小值是2 p (簡(jiǎn)記：積定和最小)p 2(2)如果和 x + y 是定值 p，那么當(dāng)且僅當(dāng) x = y 時(shí)， xy 有最大值是(簡(jiǎn)記：和最大)4【講一講提高技能】1.必備技能：（1）在利用基本不等式求最值時(shí)，要特別注意“拆、拼、湊”等技巧，使其滿足基本不等式中“正”(即條件要求中字母為正數(shù))、“定”(不等式的另一邊必須為定值)、“等”(等號(hào)取得的條件)的條件才能應(yīng)用，否則會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤而“定”條件往往是整個(gè)求解過(guò)程中的一個(gè)難點(diǎn)和關(guān)鍵æ a +

9、 b ö2（2）.對(duì)于公式ab ³ 2 ab，ab £ ç÷要理解它們的作用和使用條件及內(nèi)在，兩個(gè)公式也體現(xiàn)è2ø了 ab 和 ab 的轉(zhuǎn)化.（3）.在應(yīng)用均值定理求最值時(shí)，要把握定理成立的三個(gè)條件，就是“一正各項(xiàng)均為正；二定積或和為定值；三相等等號(hào)能否取得”.若忽略了某個(gè)條件，就會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤.2.典型例題：設(shè)正實(shí)數(shù) x, y, z 滿足 x2 - 3xy + 4y2 - z = 0 ，則當(dāng) xy 取得最大值時(shí)， 2 + 1 - 2例 1的最大值為zxyz（）94A0B1CD3【】B【】試題分析： x2 - 3xy + 4y2

10、 - z = 0 z = x2 - 3xyxyxy1=（當(dāng)且僅當(dāng) x = 2 y 時(shí)取“=”），x + 4zx2 - 3xy + 4 y2yx z = x2 - 3xy + 4y2 = (2y)2 - 3´5加，贈(zèng)送全科狀元筆記（最新）了解最新高考資訊，關(guān)注ö2111æ 1212212+-=xyz值為 1+-yyy2= -ç y -1÷,當(dāng)且僅當(dāng) y = 1時(shí)取得“=”，滿足題意,+-的最大xyzèø例 2 某項(xiàng)研究表明，在考慮行車安全的情況下，某路段車流量 F （時(shí)間內(nèi)測(cè)量點(diǎn)的車輛數(shù)，：輛/小時(shí))與車流速度v （假設(shè)車輛以

11、相同速度v 行駛，：米/秒）平均車長(zhǎng)l （：米）的值有關(guān)，其76000v公式為 F =v2 +18v + 20l（1） 如果不限定車型， l = 6.05 ，則最大車流量為輛/小時(shí)；（2） 如果限定車型， l = 5 ，則最大車流量比（1）中的最大車流量增加輛/小時(shí).分析：作為函數(shù)的應(yīng)用問(wèn)題，其處理有三種思路，一是利用函數(shù)的單調(diào)性；二是利用基本不等式；三是利用導(dǎo)數(shù).本題通過(guò)變換函數(shù)的表，創(chuàng)造了應(yīng)用基本不等式的條件一正、二定、三等，體現(xiàn)了處理問(wèn)題的靈活性.【】【提升能力】1.已知 x > 0, y > 0 ，且 2 + 1 = 1 ，若 x + 2y > m2 + 2m 恒成立

12、，則實(shí)數(shù)m 的值取值范圍是（xy）A m ³ 4 或m £ -2C - 2 < m < 4B m £ -4 或m ³ 2D - 4 < m < 2】D【】6加，贈(zèng)送全科狀元筆記（最新）了解最新高考資訊，關(guān)注æ 21 ö4 yx試題分析：因?yàn)?#231;+÷(x + 2 y) = 4 +，所以m + 2m < 8 ，2è xy ø- 4 < m < 2 xy2. 若log（4 3a + 4b）= log2ab,則a + b 的最小值是()A. 6 + 2 3B. 7

13、 + 2C. 6 + 4D. 7 + 4333【】D【】3. 若正實(shí)數(shù)a, b 滿足a + b = 1，則（）11A. +有最大值abB. ab 有最小值 14C. a + b 有最大值 222D a2 + b2 有最小值【】C【】æ a + b ö2æ 11 ö11ab1÷(a + b) = 2 +試題分析：A 中 += ç+，最小值為 4；B 中ab £ ç=，4÷abè ab øè2ø2b öæ a + b ö2æa +

14、a + ba2 + b211££=2，最大值為 2 ，有最大值為 ；C 中由ç4÷可知ç÷è2ø222èøæ a + b ö2a2 + b21£可知a2 + b2 有最小值 錯(cuò)誤!未找到27D 中由ç源。÷è2ø2加，贈(zèng)送全科狀元筆記（最新）了解最新高考資訊，關(guān)注不等式恒成立問(wèn)題【背一背重點(diǎn)知識(shí)】1. 一元二次方程根的判別式；2. 導(dǎo)數(shù)的計(jì)算公式及求導(dǎo)法則.【講一講提高技能】1.必備技能：恒成立問(wèn)題的解法：(1)用一元二次方程

15、根的判別式法有關(guān)含有參數(shù)的一元二次不等式的恒成立問(wèn)題，若能把不等式轉(zhuǎn)化成二次函數(shù)或二次方程，利用根的判別式或結(jié)合思想，可使問(wèn)題得到順利解決(2)分離參數(shù)求最值法如果能夠?qū)?shù)分離出來(lái)，建立起明確的參數(shù)和變量的，則可以利用函數(shù)的單調(diào)性求解 af ( x) 恒成立Û af ( x)，即大于時(shí)大于函數(shù) f ( x) 值域的上界 af ( x) 恒成立maxÛ af ( x)，即小于時(shí)小于函數(shù) f ( x) 值域的下界min2.典型例題：例 1 若函數(shù)是增函數(shù)，則 a 的取值范圍是（在）ABCD分析: 由函數(shù)在是增函數(shù)知，在上恒成立，通的最大值.過(guò)分離參數(shù)得到在上恒成立，故只需求【

16、】ìx + 2 y - 4 £ 0,ï例 2 當(dāng)實(shí)數(shù) x ， y 滿足 x - y -1 £ 0,時(shí)，1 £ ax + y £ 4 恒成立，則實(shí)數(shù)a 的取值范圍是.íïx ³ 1,î分析：本題是涉及線性規(guī)劃的恒成立問(wèn)題，應(yīng)首先畫出可行域，分析直線ax + y = 0 的形態(tài)位置變化，通8加，贈(zèng)送全科狀元筆記（最新）了解最新高考資訊，關(guān)注過(guò)平移ax + y = 0 ，研究ax + y = z 取得最值的位置，建立a 的不等式（組）.ìx + 2 y - 4 £ 0ï【

17、】作出不等式組 x - y -1 £ 0所表示的區(qū)域，由1 £ ax + y £ 4 得，由圖可知， a ³ 0 ，且在(1, 0)íïx ³ 1î點(diǎn)取得最小值在(2,1) 取得最大值，故a ³ 1， 2a +1 £ 4 ，故a 取值范圍為é1, 3 ù êë 2 úûx=1x-y-1=025x+2y-4=02【提升能力】1.已知a > 0,b > 0 ， 2 + 1 = 1 ，若不等式2a + b ³ 4m 恒成

18、立，則m 的最大值為ab4A10B9C8D7【】B【】2.若對(duì)于一切實(shí)數(shù) x Î1,3，不等式 mx + 4m - 2 < 0 恒成立，則m 的取值范圍是x2】(-¥, )5】【試題分析：將不等式mx + 4m - 2 < 0 變形為m(x + 4) < 2 ，因?yàn)?f (x) = x + 4 在區(qū)間1,2上單調(diào)遞減，在xxx區(qū)間2,3上單調(diào)遞增，且 f (1) = 5, f (3) = 13 , f (2) = 4 ，即4 £ f (x) £ 5 ，若 m £ 0 ，不等式顯然成立，3若 m > 0 ，則須5m <

19、; 2 ，即0 < m < 2 ，綜上所述，即m 的取值范圍是m < 2 ；故填(-¥2, ) 5559加，贈(zèng)送全科狀元筆記（最新）了解最新高考資訊，關(guān)注（一） 選擇題（12*5=60 分）ìx ³ 0ï1.已知實(shí)數(shù) x 、 y 滿足 x + y - 2 £ 0 ，則 z = x - 2y 的最大值為（í）ïx - y - 1 £ 0î12B1C 2D 4A【】C【】ì5x + 3y £ 15ï2.不等式組y £ x+1， 表示的平面區(qū)域的面積為（

20、í）ïx - 5 y £ 3.îA7B5C3D14【】A【】試題分析：作出可行域：10加，贈(zèng)送全科狀元筆記（最新）了解最新高考資訊，關(guān)注ì5x + 3y £ 15ï151所以不等式組y £ x+1表示的平面區(qū)域的面積為 ´ 4´+´ 4´1 = 7 ，故選 Aí222ïx - 5 y £ 3îìx - y +1 ³ 0ïx + y ³ 0x £ 0，則 z = 3x+2y 的最大值是（3

21、.若實(shí)數(shù) x, y 滿足í）ïî13AB9C1D3【】B【】執(zhí)行如圖 1 所示的程序框圖，如果輸入的 x, y Î R ，則輸出的 S 的最大值為（4.）11加，贈(zèng)送全科狀元筆記（最新）了解最新高考資訊，關(guān)注A 0B1C 2D 3【】C【】ì2x + y £ 10ïx + 2 y £ 14í，則 xy 的最大值為（5.設(shè)實(shí)數(shù)x，y 滿足）ïx + y ³ 6î252492ABC12D14【】A【】12加，贈(zèng)送全科狀元筆記（最新）了解最新高考資訊，關(guān)注試題分析：畫出不等式組所表

22、示的平面區(qū)域（略）分析可得：1 æ 2x + y ö21 æ 10 ö2125()xy =2x × y £，當(dāng)2x + y = 10 時(shí)， xy 取得最大值為=，2ç÷ç÷22è2ø22èø當(dāng)且僅當(dāng) x = 5 , y = 5 時(shí)取得等號(hào)，此時(shí)點(diǎn)æ 5 ,5ö 在約束條件表示的可行域內(nèi)；ç 2÷2èø1 æ x + 2 y ö21 æ 14 ö21497()

23、xy =x × 2 y £x + 2y =14=；當(dāng)且僅當(dāng) x = 7, y =2xy，當(dāng)時(shí)，取得最大值為ç÷ç÷22è2ø22èø2時(shí)取得等號(hào)，此時(shí)點(diǎn)æ 7, 7 ö 不在可行域內(nèi)，故舍ç2 ÷èø25所以 xy 的最大值為故 A 正確26.已知a > 0,b > 0 ， 2 + 1 = 1 ，若不等式2a + b ³ 4m 恒成立，則m 的最大值為ab4A10B9C8D7【】B【】7.已知 x > 0,

24、y > 0 ，且 1 + 3 = 1，則 x + 2 y 的最小值為（xy）A 7 + 2 6C 7 + 2 3B 2 3D14【】A】因?yàn)?x > 0, y > 0 ，且 1 + 3 = 1，xy【13所以 x + 2 y = (x + 2 y)(+)xy，選A18.若不等式x2ax1 ³ 0 對(duì)于一切x Î(0, 恒成立，則 a 的最小值是()2C - 52A0B2D313加，贈(zèng)送全科狀元筆記（最新）了解最新高考資訊，關(guān)注【】C-x2 -1-x2 -1【】 x ax1 ³ 0 即a ³2，所以，只需a 不小于的最大值.xx-x211

25、1115x +) ， x +在x Î(0, 是減函數(shù)，其最小值在x =時(shí)取到為2 +=，而xx2222-x2 -1552的最大值為-，即a 的最小值為-2所以，選C.x9.若a > 0,b > 0 ，且函數(shù) f (x) = 4x3 - ax2 - 2bx 在 x = 1 處有極值，則 4 + 1 的最小值為（）ab49433223A、B、C、D、【】C【】試題分析： 因?yàn)楹瘮?shù) f (x) = 4x3 - ax2 - 2bx 在 x = 1 處有極值， 所以 f ' (1) = 12x - 2a - 2b = 0 ，即a + b = 6 ，則 4 + 1 = 1 (

26、a + b)( 4 + 1) =1a 4b（當(dāng)且僅當(dāng) =且 a + b = 6 ，即b aab6a = 2b = 4 時(shí)取“=”）；故選 Cab610.若直線ax + 2by - 2 = 0(a ³ b > 0)，始終平分圓 x 2 + y 2 - 4x - 2 y - 8 = 0的周長(zhǎng)，則 1 + 2 的最小值ab為 （）B 3 + 2 2C 4 2A、1D6【】D【】x + 211.已知不等式< 0 的解集為x | a < x < b ，點(diǎn) A(a, b) 在直線mx + ny +1 = 0上，其中mn > 0 ，則x + 114加，贈(zèng)送全科狀元筆記

27、（最新）了解最新高考資訊，關(guān)注21+ 的最小值為（）mn(A) 4 2(B)8(C)9(D) 12【】C】由題意可知a = -2,b = -1，代入直線m(- 2)+ n(-1)+1 = 0 ，即2m + n = 1，所以【æ 2+ 1 ö´1 = æ 2 + 1 ö´ç mn ÷ç mn ÷，故選 C.èøèø1 桶需耗 A 原料 1 千克、B 原料 2 千克；生產(chǎn)乙12.某公司生產(chǎn)甲、桶裝。已知生產(chǎn)甲1 桶需耗 A 原料 2 千克， B 原料 1 千克。每桶甲的利潤(rùn)是 300 元，每桶乙的利潤(rùn)是 400 元。公司的計(jì)劃中，要求每天消耗 A 、B 原料都不超過(guò) 12 千克。通過(guò)合理安排生產(chǎn)計(jì)劃，從每天在生產(chǎn)這兩種生產(chǎn)的甲、中，公司共可獲得的最大利潤(rùn)是（）A、1800 元B、2400 元C、2800 元D、3100 元】C【】15加，贈(zèng)送全科狀元筆記（