從“乘以”到“乘”

1、從“乘以”到“乘”江津區(qū)石蟆小學 唐海燕在我們讀書的年代，猶記得數(shù)學老師在講授乘法的初步認識時，反復強調了“乘以”和“乘”是兩個不同的概念，練習中也多次出現(xiàn)區(qū)別這兩個詞的習題，總是讓人煩惱不已。在上個世紀80年代中期展開了一輪關于“乘法意義”的討論，當時的結論基本上是贊同不必區(qū)分被乘數(shù)和乘數(shù)，但這一說法并未深入人心。在具體的課堂教學實踐中，不少小學數(shù)學教師仍存在一些困惑。很多教師提出，由于“乘法意義”的改革使教學實踐中產(chǎn)生了一些很難理解的問題。例如：既然不再區(qū)分被乘數(shù)與乘數(shù)，也就不再區(qū)分相同加數(shù)與相同加數(shù)的個數(shù)的位置，這樣一來，“8×2”或“2×8”都可以用來表示“8個2”

2、，那么 “求幾個相同加數(shù)的和的簡便運算”該怎么理解呢？再如：“3×2/3”根據(jù)一個數(shù)乘分數(shù)的意義應該表示3的2/3是多少，但是根據(jù)整數(shù)乘法意義的延伸，是否也可理解為3個2/3相加是多少呢？又如：路程=速度×時間，如果交換因數(shù)的位置來列式，列出來的算式又該如何理解呢？縱觀上述觀點，部分教師認為“乘法意義應遵循老教材的說法”的一個重要原因是對一些算式無法做出“合理”的解釋。例如：“8×2”到底表示“8個2相乘”還是表示“2個8相乘”；“3×2/3”是表示“3的2/3是多少”還是也可以表示“3個2/3是多少”；“同學們去植樹，每人植2棵，某班50人，共植多少棵

3、樹？”如果列式為“50×2”該如何理解等等。我認為出現(xiàn)這樣的困惑很大程度上與改革的進程和新課程理念的落實有一定關系。事實上，在90年代，就已確定不再強調被乘數(shù)與乘數(shù)的區(qū)分問題。新一輪課程改革更加明確了這一思想，并將其寫入了義務教育數(shù)學課程標準。但是直到如今，很多地區(qū)的數(shù)學教學仍將小數(shù)乘法的意義與分數(shù)乘法的意義作為一個學習的重點與難點來安排，仍在強調“3×2/3”與“2/3×3”兩個算式的不同意義。由于不了解新教材的編寫理念，市場上很多教輔資料仍有要求進行嚴格區(qū)分算式意義的習題。這樣一來，就與新教材的乘法意義發(fā)生了一定程度的沖突，面對這樣一個“轉型”階段，我們更應深

4、入地把握教材，深入地領會新課程理念。一、正確把握新課程關于“乘法意義”的相關規(guī)定 1結合情境理解乘法意義，是新課程提出的新理念。在數(shù)學課程標準明確表示：“結合具體情境，體會四則運算的意義?！庇纱丝梢?，單獨追問一個算式表示的意義已成為歷史！“填空：3×2/3表示（ ）”之類的題目將隨著教材的更新而退出舞臺！實際上，在一個具體的問題情境中，乘法算式所代表的意義一般可以認為是特定的，如“一根3米長的繩子，用去2/3，用去多少米？”不論你寫成3×2/3還是寫成2/3×3，都可以理解為“3米的2/3”。另外，數(shù)學課程標準對學生“運算意義的理解和應用”的要求做了相應的調整，只

5、要能“運用數(shù)與計算的知識描述并解決實際問題”就已達到了學習的要求。2淡化乘法意義的教學，是教材改編中的指導思想之一。根據(jù)新課標關于乘法意義的改動，新教材對相關內容做出了合理的調整，乘法意義的教學呈淡化趨勢。在五年級上冊“小數(shù)乘法”部分，已找不到關于“小數(shù)乘法意義”的專門介紹，并且在相應的教師用書中強調了意義教學的淡化與解決問題教學的重要性。在六年級上冊“分數(shù)乘法”部分，也找不到關于“分數(shù)乘法的意義”的專門介紹。二、深入理解新課程關于乘法意義改動的必要性1新教材“乘法意義”更接近乘法的本質，更為科學。整數(shù)乘法的意義是“求幾個相同加數(shù)的和的簡便運算”。這一本質在過去和今天的教材中都是一樣的。只是在

6、形式上，新教材允許把“2+2+2+2+2+2+2+2”改寫成“2×8”，也可以改寫成“8×2”。反過來，也就是說“2×8”可以表示“8個2相加的和”，也可以表示“2個8相加的和”。這可以說是“乘法意義”的一次突破，使我們對“乘法意義”的認識更接近其本質。因為“2×8”可以表示兩種意義，以前只有一種意義完全是人為規(guī)定的。實質上，“乘法意義”具有階段性與統(tǒng)一性?！俺朔ㄒ饬x”在不同階段有不同的含義。首先，“幾個”是“幾倍”的特例。在整數(shù)乘法中，兩者是等價的，這種思想可以讓學生更容易認識“幾倍”；當?shù)貌坏秸麛?shù)倍時，就出現(xiàn)了小數(shù)倍，這時的“幾個”是“幾倍”的一種特

7、例，乘法意義也就開始了擴展。其次，“一個數(shù)的幾分之幾”也是“一個數(shù)的幾倍”的特例。當不到1倍時，我們就習慣于說“幾分之幾”，而不說“幾倍”。再次，在學習了百分數(shù)后，“幾倍”和“幾分之幾”都可以用百分數(shù)來表示。這樣，乘法意義不同表述之間的統(tǒng)一性又一次得到了體現(xiàn)。由此可見，“乘法意義”具有階段性，同時又有統(tǒng)一性。過去，我們的思想一直停留在一種不統(tǒng)一的狀態(tài)，或人為分裂的狀態(tài)。2新教材“乘法意義”為學生學習更多的“有價值的數(shù)學”提供了支持。 第一，它減輕了學生的操練性負擔。如讓學生算“5個3是多少”，過去，教師在審題階段就要反復強調3是相同加數(shù)，5是相同加數(shù)的個數(shù)。在列式時還要強調誰做被乘數(shù)，誰做乘數(shù)

8、。即使這樣，還是避免不了學生列出過去被認為是錯誤的“5×3”這樣的算式。而新教材的改動，使教師從這樣的枯燥反復的教學中解放出來。學生也不必再為“誰在前，誰在后”而抓耳撓腮，從而有更多的時間與精力投入到探究性的能發(fā)展思維的數(shù)學知識的學習當中去，“學有價值的數(shù)學”的新課程理念也在這里得到了落實。第二，它方便了學生對一些數(shù)學規(guī)律的探索。例如乘法交換律部分的編寫：教材直接出示圖片，讓學生計算一共有多少個雞蛋，由于乘法意義的變革，學生“習以為?！钡貙懗龅摹?×9”與“9×4”這兩道算式，為學習乘法交換律的引入創(chuàng)造了有利條件，然后讓學生舉出幾個這樣的例子，由于在二年級就已經(jīng)做

9、過這樣的練習，這種列式方法被學生熟練掌握，因此學生能在舉例后說出“兩個因數(shù)位置交換，積不變”這一規(guī)律，乘法交換律的學習自然水到渠成。第三，它拓展了學生的思維空間。如在三年級上學期，剛學多位數(shù)乘一位數(shù)時，學生利用加法思考乘法算式的結果時，就多了一種思路可以選擇。譬如，學習“2×10”的計算，按以前的要求，可以通過想“10個2相加是多少”來求得答案，而現(xiàn)在由于乘法意義的改動也可以通過思考“2個10相加是多少”來求得計算的結果?？梢钥隙ǖ氖?，相比而言，探索“2×10”的計算結果，思考“2個10相加是多少”比思考“10個2相加是多少”更加方便。而且，學生在思考“3×200”甚至更大的多位數(shù)乘一位數(shù)時，這種以前不敢使用的思考方法更有優(yōu)勢！又如讓學生計算“72×8+2×72”，這種題型在過去是一個教學難點。因為理解它必須用到“交換律”和“分配律”，要不就會“拐不過彎來”。今天的學生卻可以十分自然地選擇適當?shù)囊饬x而想到：8個72加上2個72不就是10個72啦！而這種如此簡單的想法在過去會被認為是不合邏輯或不嚴密的。因此，新教材“乘法意義”解放了學生的思想，開拓了學生