專接本數(shù)學常用公式及考點

1、第一部分 初等數(shù)學預備知識一、初等代數(shù)1. 一元二次方程（）， 根的判別式當時，方程有兩個相異實根；當時，方程有兩個相等實根；當時，方程有共軛復根。 求根公式為 . 韋達定理 ；.2. 對數(shù)運算性質（，） 若，則； ，； ； ； ； ， .3. 指數(shù)運算性質， ； ； ； ； .4.常用不等式及其運算性質若，則， ；（）， （）；（）， （）；（，），（，）；（為正整數(shù)，）.絕對值不等式 設，為任意實數(shù)，則；（）等價于，特別；（）等價于或；某些重要不等式設，為任意實數(shù)，則；設，均為正數(shù)，為正整數(shù)，則.5.常用二項式展開及因式分解公式 ； ； ； ； ； ； ； ；5. 牛頓二項式展開公式（為正

2、整數(shù)）.其中組合系數(shù)，.6. 常用數(shù)列公式等差數(shù)列：，.首項為，第項為，公差為，前項的和為 .等比數(shù)列：，.首項為，公比為，前項的和為.7. 一些常見數(shù)列的前項和；.8. 階乘.2、 平面三角1.基本關系 ； ； ； ； ； ；.2.倍角公式 ；.3.半角公式；.4.和角公式；.5.和差化積公式；.6.積化和差公式；.7.特殊三角函數(shù)值 角函數(shù)0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 三、初等幾何下面初等幾何公式中，字母表示圓半徑，表示高，表示斜高，表示角度。1.三角形面積（為底邊長） 2.梯形面積（，為梯形兩底邊長）3.圓周長；圓面積4.圓扇形周長；圓扇形面積5.正圓柱

3、體體積；正圓柱體側面積6.正圓錐體體積；正圓錐體側面積7.球體體積；球體表面積四、平面解析幾何1.基本公式給定點，則與間的距離設有兩直線，其斜率分別為，則兩直線平行的充要條件為兩直線垂直的充要條件為12.平面直線的各種方程點斜式：直線過點，其斜率為，則直線方程為 斜截式：直線斜率為，在軸上截距為，則直線方程為 兩點式：直線過點與，則直線方程為 截距式：設直線在軸與軸上的截距分別為，則直線方程為 3.曲線方程圓周方程：圓心在點，半徑為的圓周方程為 拋物線方程：頂點在圓點，焦點在的方程為 頂點在圓點，焦點在的方程為 頂點在，對稱軸為的方程為 頂點在，對稱軸為的方程為 橢圓方程：中心在原點，為長半軸

4、，為短半軸，焦點在軸上的橢圓方程為 雙曲線方程：中心在原點，為實半軸，為虛半軸，焦點在軸上的雙曲線方程為 等邊雙曲線方程：中心在原點，以坐標軸為漸近線的雙曲線方程為 （為常數(shù)）第二部分 專接本數(shù)學知識考點大全一、基本初等函數(shù)1、常函數(shù) ，其定義域（）2、冪函數(shù) （為常數(shù)），性質隨改變，在總 有定義且時，函數(shù)在定義域內單調增加；當時， 在單調減少。圖像必過點（1,1）， 舉例如圖13、 指數(shù)函數(shù) ，定義域，值域 。當時，單調增加，當時，單調減少， 常用函數(shù)4、 對數(shù)函數(shù) ，是指數(shù)函數(shù)的反函數(shù)， 定義域，值域，當時，單調增加， 當時，單調減少5、 三角函數(shù)有六個：6、 反三角函數(shù) 有四個：二、函數(shù)

5、極限1、 極限收斂及其性質：或 性質有：唯一性、有界性、奇偶子列均收斂、保序性2、 數(shù)列四則運算法則：，則（1） （2）當及時，數(shù)列的極限也存在， 且有3、函數(shù)極限兩邊夾定理：如果函數(shù)滿足： （在的某空心鄰域內成立即可）； （2），則4、 重要極限 （1） （2） 5、無窮大（?。┝?當。 則：（1）時，稱 或是的低階無窮小。記（） （2）時，稱， 當時，稱兩者為等價無窮小。 記： （）6、連續(xù)：，連續(xù)必須左右極限均存在, 為一個間斷點間斷點的分類： 第一類：左右極限均存在，又分為：（1） 可去間斷點：，即存在，但或沒意義；（2） 跳躍間斷點第二類間斷點：不屬于第一類間斷點的都是第二類。 或

6、稱為無窮型間斷點。7、 零點定理：若函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，且與 異號，則至少存在一點，使得 三、導數(shù)1、定義; 存在都存在且相等 幾個求導公式： ， ， ， 2、中值定理 、羅爾定理：若函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，在開區(qū)間可導，且在區(qū)間端點的函數(shù)值相等，即，則至少存在一點，使、拉格朗日中值定理：若函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)， 在開區(qū)間可導，則至少存在一點， 使（該式又稱拉格朗日中值公式）3、 洛必達法則對于未定型函數(shù)極值， 4、函數(shù)極值問題 、費馬定理：設函數(shù)在點處可導，且在處取得極值則，導數(shù)值為0點即駐點。（注可導函數(shù)極值點必是駐點，反之不一定成立） 、兩個充分條件; 第一條件：兩端導數(shù)異號，左增右減為 極大

7、值點，反之，極小值點； 第二條件：函數(shù)在處二階可導，且，則當時，在處取得極小值；當時，在處取得極大值。（時條件失效）（3） 應用題中極值題解題步驟： 設變量函數(shù)表達式化簡值域開區(qū)間 求導找駐點求最值 5、函數(shù)凹凸性及拐點 （1）、凹凸性判定：內0，函數(shù)圖形凹； 反之0為凸函數(shù)。 （2）、拐點判定： 求 ； ，求根即 不存在的點； 同號時不是。 （3）、漸近線 若，則直線 是曲線的水平漸近線； ，則直線是的一條垂直漸近線 。 數(shù)掌握（4）應用公式：總成本：； 邊際成本； 總收益：； 邊際收益:； 總利潤：； 邊際利潤 四、積分 1、不定積分 一、常用公式 ； ； ； ； ；（9） ；（10） ；

8、（11） ；（12） (12)（13） （13）；（14） ；（15） ；（16） ；（17）（18）（19）（20）（21） (22)； ；(24)； (25)二、換元方法 （1）湊微分 換元法：I上連續(xù)，在I對應的內有連續(xù)導數(shù)，且，則有換元公式，其中是的反函數(shù)。 三、分部積分法：或2、 定積分 注意：僅與被積函數(shù)法則和積分區(qū)間有關； ； 定積分中值定理： 一、性質：線性、可加性、保號性、保序性、 ， 中值定理： 二、原函數(shù)存在定理： 注意：（1）換元與分部積分同定積分；（2） 為偶函數(shù)則； 為奇函數(shù)則）3、廣義積分 討論廣義積分的斂散性（） （分2種情況討論P=1和， 結論：時積分發(fā)散；

9、時收斂）4、旋轉體積： （數(shù)一）四、向量（既有大小又有方向）1、 線性運算 1.1 加法： 交換律、結合律； 乘法： 結合律、分配律 數(shù)乘 ，則單位向量 1.2空間向量 兩點間距離公式1.3 向量積 內積 滿足交換律 、結合律、分配律內極坐標式 ，則矢量積（外積）：令，則； c與a，b都垂直；a，b，c符合右手定則5、 平面方程 （1）法向量是垂直于平面的非零向量 點法式方程 截距式方程 （2） 平面關系：相交、平行、重合 平面 ； 平面 ， 點到平面距離 6、空間直線方程 （點，方向向量） 直線標準式 （對稱式、點向式） （則直線垂直于x軸） 參數(shù)方程 令， 則 直線一般（交面式）方程 右手

10、定則應用 ，則 線面夾角 L與它在平面上投影直線間的夾角， 為L與法向量間夾角， ，7、曲面方程 橢球面 ： （a=b時旋轉橢球面）拋物面 ，用截得截痕為雙曲拋物面或馬鞍面 錐面方程：5、 多元微分1、偏導：在某一點處極限值 即為在該點處對x的偏導數(shù)。 混合偏導定理：連續(xù)函數(shù) 2、 全微分 （即線性主部） 可微充分條件： 在點處可微； 必要條件：可微在該點偏導存在，且，從而在該點全微分； 充要：的偏導在在該點連續(xù)。 3、 復合求導：鏈式法則：復合函數(shù) ，u,v偏導存在,f在點 (u,v)可微，則在該店偏導數(shù)存在，且4、 隱函數(shù)求導： （條件F(x,y,z)具有連續(xù)偏導，）5、 多元極值：1、

11、存在的必要條件：偏導存在，且在處有極值， 則該點偏導必為零即極值存在充分條件：二階偏導連續(xù)，一階導為零，令，（1），是極值點，是極大值點，是極小值點；（2），不是極值點；（3）時不能判斷。 2、條件極值 ：拉格朗日乘數(shù)法（自變量間存在約束關系時） 求在條件下極值步驟： 構造L函數(shù)：（為參數(shù)，稱拉格朗日常數(shù)）寫方程組：解得駐點6、 二重積分（體積）1、 性質：線性、積分區(qū)域可加性、保號性、保序性、 2、 x型區(qū)域上二重積分“先y后x”的二次積分 Y型“先x后y” 3、 極坐標計算 先r后 :先后：4曲線積分計算公式： 5、 格林公式：閉區(qū)域由光滑或分段光滑的簡單閉曲線L（正向）圍成，在D上一階偏

12、導則： 6、積分曲線與路徑無關：等價命題：二元函數(shù)在G一階連續(xù)偏導： 光滑閉曲線L， 曲線積分與路徑無關7、 級數(shù)1、 通項：（）的部分和數(shù)列，S有限，若， 則稱式收斂，S為的和，若極限不存在則發(fā)散2、 等比級數(shù)： 3、 性質： 線性、級數(shù)加減有限項不改變斂散性、收斂級數(shù)加括號仍收斂 收斂必要條件：通向極限為零即 （注：但該級數(shù)發(fā)散）4、 正項級數(shù)收斂的充要條件是部分和數(shù)列有界5、 判定方法：（1）比值審斂法： 兩正項級數(shù)，且， 則當級數(shù)收斂時，級數(shù)也收斂； 發(fā)散時，也發(fā)散。 極限形式：若 內則兩級數(shù)同時收斂或發(fā)散（2） 比值審斂法（達朗貝爾） 正項級數(shù)且， 則當時收斂；時發(fā)散5、交錯級數(shù)：，

13、 萊布尼茨定理：交錯級數(shù)滿足 （1）； （2），則級數(shù)收斂，且其和， 余項絕對值 絕對收斂： 若級數(shù)的絕對值級數(shù)收斂， 則絕對收斂， 若發(fā)散，而收斂，則是條件收斂。6、 冪級數(shù)：，取，則得x的冪級數(shù) （）（1）阿貝爾定理：對于式（1）當它在點（）處，則它在滿足的任何點x處都絕對收斂；（2）當它在點處發(fā)散則對的任何點x處也發(fā)散。（2）收斂半徑判定：設，則當時， ； 當時，；當時，R=0（3）計算 ：和函數(shù)逐項求導s(x)=； 逐項求積分：（4） 泰勒展開： ； 8、 微分方程1、 通 解：若為某個n階常微分方程的解，且含有n個相互獨立的任意常數(shù)則稱這個解為方程的通解。（注：同解未必是全部解） 特

14、 解：確定了解中任意常數(shù)，或滿足一定的條件。 隱式解： 定解問題：微分方程連同初始條件或邊界問題共同構成確定微分方程解的問題2、 一階微分方程（1） 變量可分離方程： （連續(xù)函數(shù)） 分離變量 （2） 一階線性微分方程 (奇次形式 )齊次通解 *（C為任意常數(shù)）非齊次通解 （3） 二階線性微分方程 （齊次） 齊次兩線性無關解的組合是齊次的通解； 非齊次的特解與齊次的通解的非齊次的通解： 二階常系數(shù)齊次線性微分方程 對應的特征方程 特征根 方程的解為相異實根 二重實根 二階常系數(shù)非齊次線性微分方程 求解方法：已知齊次相應解，再求一個特解，利用待定系數(shù)法，求特解過程如下： 方程 ， 其中， 方程，其

15、中九、行列式 （數(shù)表，正負各半）1、 概念： 1.1主對角線 ：左上角到右下角的連線；次對角線：右上角到左下角的連線 1.2余子式：行列式中劃去元素所在的那一行和列所稱的子式，記為，而稱為的代數(shù)余子式2、 性質： 行列式與其轉置相等； 互換行列式兩行（列），行列式變號 行列式兩行（列）相的值為0； 用一個數(shù)乘以行列式每一行（列）=用該數(shù)乘以行列式每一行（列）中所有元素； 行列式兩行（列）對應成比例，行列式值為0； 行列式某一行（列）中各元素乘以同一數(shù)，然后加到令一行（列）對應元素上去，行列式值不變。3、 克萊姆法則：為系數(shù)行列式 若非其次線性方程的系數(shù)行列式D，則方程有唯一解：。 其中是把系數(shù)

16、行列式D中第j列元素依次用方程右邊常數(shù)代替后得到的階行列式。 即法則含義：，非齊次方程有唯一解；齊次只有零解；逆否命題：非齊次有非零解則D=0十、矩陣1、 單位陣： 對角矩陣： 反對稱矩陣：主對角線元素兩側對稱位置上元素絕對值相等， 正負號相反2、 運算：加法：兩矩陣均為階，對應位置相加減； 數(shù)與矩陣相乘： ， 且滿足 兩矩陣相乘：是陣，是陣，則乘積是矩陣，其中， 可交換矩陣：滿足；注意:不能推出： 方陣的冪：， 矩陣轉置： 方陣行列式：由方陣中元素按原來的位置所構成的行列式， 記為 性質：（大題）3、逆矩陣：稱矩陣A可逆，B為A的逆矩陣伴隨矩陣： ； 方陣A可逆充要條件： A的行列式，若A可

17、逆則性質：（）， ，3、 矩陣初等行變換：三種形式： 、對換變換：互換兩行 、倍數(shù)變換：用非零數(shù)乘以某一行； 、倍加變換：數(shù)K乘以某行元素后加到另一行對應元素上去 等價矩陣：A經初等變換成B，則稱等價； 具有反身性、對稱性、傳遞性 行最簡形：非零行的首非零元素是1； 首非零元素所在列其余元素都為零 標準形：主對角元素1，1的個數(shù)小于等于列數(shù)其余0 兩矩陣等價充要條件：具有相同標準形4、 求逆矩陣:(單位陣經一次初等變換得到的矩陣）坐乘行變換，右成 列變換 5、 矩陣秩：矩陣A中存在一個 r階子式不為零，而高于 r的子式全為零則稱 r為矩陣A的秩，記做R(A)=r，當A=0時，R(A)=0. 若

18、r=n，則稱A為滿秩矩陣，否則稱為降秩；滿秩充要條件；A可逆充分條件A秩； 初等行變換不改變矩陣秩十一、向量組1、n維向量； 標準向量 ； 負向量 向量空間：V為n維向量的非空集合，V對線性運算封閉， 封閉指對 2、 線性相關： 若線性組合為m+1個向量，存在一組數(shù)，使，則稱是的線性組合 2.1、定義：設是向量空間V的一向量組，不全為零，使，則稱線性相關（或相關集組）；否則為線性無關 2.2、判別：向量組相關充要條件是其中至少一個向量是其余的線性組合；線性無關，而線性無關，則可由表示且表示唯一；和均為V的向量組，B可由A線性表示，則；相關向量組加上有限個同維向量，新組合仍相關；線性無關的組合加分量后仍無關3、 向量極大無關組和秩： 若存在同維向量的一個子集滿足：線性無關；均可由線性表示，則為的最大（或極大）無關組，而r為的秩。注：只含0向量的的向量組秩為0；一般情況極大組不唯一性質:無關充要條件：向量個數(shù)等于秩； 向量組和它的最大無關組等價； 等價的向量組有相同的秩； 矩陣行秩=矩陣列秩=矩陣的秩十二、方程組，則齊次方程組可表示為（*）或向量