傅里葉變換的基本性質(zhì)

1、3-5 傅里葉變換的基本性質(zhì)傅里葉變換建立了時間函數(shù)和頻譜函數(shù)之間轉(zhuǎn)換關(guān)系。在實際信號分析中，經(jīng)常需要對信號的時域和頻域之間的對應(yīng)關(guān)系及轉(zhuǎn)換規(guī)律有一個清楚而深入的理解。因此有必要討論傅里葉變換的基本性質(zhì)，并說明其應(yīng)用。一、 線性傅里葉變換是一種線性運算。若 則 其中a和b均為常數(shù)，它的證明只需根據(jù)傅里葉變換的定義即可得出。例3-6 利用傅里葉變換的線性性質(zhì)求單位階躍信號的頻譜函數(shù)。解 因 由式(3-55)得二、對稱性若 證明 因為 有 將上式中變量換為x，積分結(jié)果不變，即再將t用代之，上述關(guān)系依然成立，即最后再將x用t代替，則得所以 證畢若是一個偶函數(shù)，即，相應(yīng)有，則式(3-56)成為可見，傅

2、里葉變換之間存在著對稱關(guān)系，即信號波形與信號頻譜函數(shù)的波形有著互相置換的關(guān)系，其幅度之比為常數(shù)。式中的表示頻譜函數(shù)坐標(biāo)軸必須正負(fù)對調(diào)。例如例3-7 若信號的傅里葉變換為 試求。解 將中的換成t，并考慮為的實函數(shù)，有 該信號的傅里葉變換由式(3-54)可知為根據(jù)對稱性 故 再將中的換成t，則得為抽樣函數(shù)，其波形和頻譜如圖3-20所示。三、折疊性若 則 四、尺度變換性 觀看動畫若 則 證明 因a0，由令，則，代入前式，可得函數(shù)表示沿時間軸壓縮(或時間尺度擴展) a倍，而則表示沿頻率軸擴展(或頻率尺度壓縮) a倍。該性質(zhì)反映了信號的持續(xù)時間與其占有頻帶成反比，信號持續(xù)時間壓縮的倍數(shù)恰好等于占有頻帶的

3、展寬倍數(shù)，反之亦然。例3-8 已知 ,求頻譜函數(shù)。解 前面已討論了 的頻譜函數(shù)，且根據(jù)尺度變換性，信號比的時間尺度擴展一倍，即波形壓縮了一半，因此其頻譜函數(shù)兩種信號的波形及頻譜函數(shù)如圖3-21所示。五、時移性若 則 此性質(zhì)可根據(jù)傅里葉變換定義不難得到證明。它表明若在時域平移時間，則其頻譜函數(shù)的振幅并不改變，但其相位卻將改變。例3-9 求 的頻譜函數(shù)。解: 根據(jù)前面所討論的矩形脈沖信號和傅里葉變換的時移性，有六、頻移性若 則 證明 證畢頻移性說明若信號乘以，相當(dāng)于信號所分解的每一指數(shù)分量都乘以，這就使頻譜中的每條譜線都必須平移，亦即整個頻譜相應(yīng)地搬移了位置。頻譜搬移技術(shù)在通信系統(tǒng)得到了廣泛應(yīng)用，

4、諸如調(diào)幅、同步解調(diào)、變頻等過程都是在頻譜搬移的基礎(chǔ)上完成的。頻譜搬移實現(xiàn)原理是將信號乘以所謂載頻信號或，即七、時域微分性若 則 證明 因為 兩邊對t求導(dǎo)數(shù)，得所以 同理，可推出例3-10 求的頻譜函數(shù)。解: 因為 由時域微分性 例3-11 圖3-22所示信號為三角形函數(shù) 求其頻譜函數(shù)。解: 將微分兩次后，得到圖3-22(c)所示函數(shù)，其表達(dá)式為由微分性所以 八、頻域微分性若 則 例3-12 求的頻譜函數(shù)。解: 因為 根據(jù)頻域微分性九、時域積分性若 則 例3-13 根據(jù)和積分性求的頻譜函數(shù)。解: 因為 又 根據(jù)時域積分性例3-14 求圖3-23所示信號的頻譜函數(shù)。解: 對求兩次微分后，得且 由時

5、域積分性 十、頻域積分性若 則 例3-15 已知，求。解: 因為根據(jù)頻域積分性十一、時域卷積定理若 則 證明例3-16 圖3-24(a)所示的三角形函數(shù)可看做為兩個如圖324(b)所示門函數(shù)卷積。試?yán)脮r域卷積定理求其頻譜函數(shù)。解：因 又 所以 例3-17 一個信號的希伯特變換是和的卷積，即解： 因為 則對稱性 有 由時域卷積定理即 十二、頻域卷積定理若 則 或 例3-18 利用頻域卷積定理求的傅里葉變換。解： 因為 由對稱性 有 所以根據(jù)頻域卷積定理有 即 十三、帕塞瓦爾定理若 則 可推廣 若為實函數(shù)，則若,為實函數(shù)，則例3-19 求。解： 因 又 由帕塞瓦爾定理可得十四、奇偶性若，則(1) 當(dāng)為實函數(shù)時，則若為實偶函數(shù)，即，則若為實奇函數(shù)，即，則(2) 當(dāng)為虛函數(shù)，即時，則傅里葉變換的基本性質(zhì)歸納如表3-3所示。表3-3傅里葉變換的基本性質(zhì)性 質(zhì) 名 稱時 域頻 域1. 線性2. 對稱性3. 折