《數(shù)列基礎(chǔ)知識》word版

1、數(shù)列基礎(chǔ)知識一、數(shù)列 1數(shù)列、項的概念：按一定 次序 排列的一列數(shù)，叫做 數(shù)列 ，其中的每一個數(shù)叫做數(shù)列的項 2數(shù)列的項的性質(zhì)： 有序性 ； 確定性 ； 可重復(fù)性 3數(shù)列的表示：通常用字母加右下角標表示數(shù)列的項，其中右下角標表示項的位置序號，因此數(shù)列的一般形式可以寫成a1，a2，a3，an，（），簡記作 an 其中an是該數(shù)列的第 n 項，列表法、 圖象法、 符號法、 列舉法、 解析法、 公式法（通項公式、遞推公式、求和公式）都是表示數(shù)列的方法 4數(shù)列的一般性質(zhì)：單調(diào)性 ；周期性 5數(shù)列的分類：按項的數(shù)量分： 有窮數(shù)列 、 無窮數(shù)列 ；按相鄰項的大小關(guān)系分：遞增數(shù)列 、遞減數(shù)列 、常數(shù)列、擺動

2、數(shù)列 、其他；按項的變化規(guī)律分：等差數(shù)列、等比數(shù)列、其他；按項的變化范圍分：有界數(shù)列、無界數(shù)列 6數(shù)列的通項公式：如果數(shù)列an的第n項an與它的序號n之間的函數(shù)關(guān)系可以用一個公式a=f（n）（nN+或其有限子集1，2，3，n） 來表示，那么這個公式叫做這個數(shù)列的 通項公式 數(shù)列的項是指數(shù)列中一個確定的數(shù)，是函數(shù)值，而序號是指數(shù)列中項的位置，是自變量的值由通項公式可知數(shù)列的圖象是 散點圖 ，點的橫坐標是 項的序號值 ，縱坐標是 各項的值 不是所有的數(shù)列都有通項公式，數(shù)列的通項公式在形式上未必唯一 7數(shù)列的遞推公式：如果已知數(shù)列an的第一項（或前幾項），且任一項an與它的前一項an-1（或前幾項a

3、n-1，an-2，）間關(guān)系可以用一個公式 an=f（a）（n=2，3，） （或 an=f（a,a）(n=3，4，5，)，）來表示，那么這個公式叫做這個數(shù)列的 遞推公式 8數(shù)列的求和公式：設(shè)Sn表示數(shù)列an和前n項和，即Sn=a1+a2+an，如果Sn與項數(shù)n之間的函數(shù)關(guān)系可以用一個公式 Sn= f（n）（n=1，2，3，） 來表示，那么這個公式叫做這個數(shù)列的 求和公式 9通項公式與求和公式的關(guān)系：通項公式an與求和公式Sn的關(guān)系可表示為： 二、等差數(shù)列 1等差數(shù)列、公差的概念：一般地，如果一個數(shù)列從第二項起，每一項與它的前一項的差等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列叫做等差數(shù)列（又叫算術(shù)數(shù)列），這個常

4、數(shù)叫做等差數(shù)列的公差根據(jù)公差的范圍可把等差數(shù)列分為以下三種類型：公差范圍d 0d 0d = 0類 型遞增數(shù)列遞減數(shù)列常數(shù)列 2等差數(shù)列的性質(zhì)：定義公式：an an-1（n2）= an+1 an = d 通項公式：an=a1+（n1）d=ak+（nk）d 注：a是關(guān)于n的一次型代數(shù)式，即可寫成an= an+b ，其中n的系數(shù)為公差公差公式：公差是等差數(shù)列的圖象的斜率中項公式：a、b、c成等差數(shù)列ba=cb2b=a+cb= b是a與c的等差中項； an 為等差數(shù)列2an=an-1+an+1（n2）（存在性與唯一性）換和公式：m、n、p、qN， m+n=p+qam+an=ap+aq（可推廣）求和公式

5、：Sn= （a1+an）n=na1+ n（n1）d=an（n為奇數(shù)）注：Sn是關(guān)于n的 二次型 代數(shù)式，且無 常數(shù)項 ，即可寫成Sn= an2+bn ，其中n2的系數(shù)為 公差的一半 經(jīng)驗公式：ap=q，aq=p (pq) a= 0 ；（方程、函數(shù)、數(shù)形結(jié)合等思想） Sp=q，Sq=p (pq)S= (p+q) ； Sp=Sq (pq)S= 0 3子數(shù)列：若an,bn是等差數(shù)列，公差分別為d1、d2，則以下數(shù)列為an的子數(shù)列：子數(shù)列akn+bSn+k-1-Sn-1Skn-Sk(n-1)pan+qbn公 差kd1kd1kd1d1/2p d+qd首 項aSSap a+qb（k、b、p、q為常數(shù)，k、

6、bZ，且k2+b20，S0=0）4奇數(shù)項的和與偶數(shù)項的和：在有窮等差數(shù)列an中，設(shè)S奇 表示所有奇數(shù)項的和，S偶表示所有偶數(shù)項的和：若項數(shù)為2k1（kN），S奇S偶=a，S奇:S偶= （k1）:k ；若項數(shù)為2k（kN），S偶S奇= kd ，S奇:S偶=ak:ak+15S的最值：若Sn=an2+bn，則當n為最接近 的正整數(shù)時，Sn最大(a<0)或最?。╝>0）在等差數(shù)列an中，若ak0ak+1，則n= k 時，Sn最大；若ak-1ak=0ak+1，則n= k或k1 時，Sn最大；若an0，則n= 1 時，Sn最大在等差數(shù)列an中，若ak0ak+1，則n= k 時，S最??；若ak-

7、1ak=0ak-1， 則n= k或k1 時，Sn最小；若an0，則n= 1 時，Sn最小6|an|的前n項的和：若等差數(shù)列an的前n項和為Sn，用Tn表示|an|的前n項和，則：當ak0ak+1時，；當an0時，Tn= Sn 當ak0ak+1時，；當an0時，Tn=Sn 7兩個等差數(shù)列和的比與項的比之間的關(guān)系：若等差數(shù)列an、bn的前n項和分別為An、Bn ，則三、等比數(shù)列 1等比數(shù)列，公比的概念：一般地，如果一個數(shù)列從第二項起，每一項與它的前一項的比等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列叫做等比數(shù)列（又叫幾何數(shù)列），這個常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比（在等比數(shù)列中，各項與公比都不為0）根據(jù)公比和首項的范圍可把

8、等比數(shù)列分為以下四種類型：類 型 公比 首項 q00q1q=1q1a>0擺動數(shù)列遞減數(shù)列常數(shù)列遞增數(shù)列a<0擺動數(shù)列遞增數(shù)列常數(shù)列遞減數(shù)列 2等比數(shù)列的性質(zhì)：定義公式：（n2）= q 通項公式：a=a1 qn-1 = ak qn-k 注：an是關(guān)于n的指數(shù)式與非零常數(shù)的乘積，即可寫成an=a·bn（ab0），其中指數(shù)式的底數(shù)為 數(shù)列的公比 中項公式：a、b、c成等比數(shù)列b是a與c的等比中項b2=ac；（存在性與唯一性）an為等比數(shù)列 =an+1an-1a= 換積公式：m、n、p、qN，m+n=p+qaman=apaq（可推廣） 求和公式： 注：公比不為1時，Sn是關(guān)于n的

9、指數(shù)式與與非零常數(shù)的乘積，再減去該常數(shù)，即可寫成Sn= a·bna （ab0），指數(shù)的底數(shù)為 數(shù)列的公比 Skn-Sk(n-1)Sn+k-1-Sn-1 3子數(shù)列：若an,bn是等比數(shù)列，公比分別為q1、q2，則以下數(shù)列為an的子數(shù)列：子數(shù)列ank|an|panbn公 比q1q1q1q1q1q2首 項aSSapab（k、b、p為常數(shù)，p，k、bZ，k2+b2，S0=0，有時要規(guī)定q或q）四、等差數(shù)列與等比數(shù)列的關(guān)系 1非零常數(shù)列既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列 2若an是首項為a1，公差為d的等差數(shù)列，則（b為常數(shù)，且b0）為等比數(shù)列，其首項為 ，公比為 b 3若an是首項為a，公比為q的等比

10、數(shù)列，且各項均為正數(shù)，則（b為常數(shù)，且b0，b1）為等差數(shù)列，其首項為 ，公差為 五、數(shù)列問題的常用處理方法 （“降龍十八掌”）1觀察歸納法：由特殊到一般 2迭代遞求法：已知遞推公式和初始條件，求an3逐差疊加法：若anan-1=f（n）（n2），a1=a，求an 4逐商疊乘法：若=f（n）（n2），a1=a，求an5基本參量法：an和Sn公式的正用和逆用求基本量用基本量求目標量6對稱設(shè)項法：已知三個或四個數(shù)成等差數(shù)列或等比數(shù)列7倒序相加法：若an是等差數(shù)列，求a1C+a2C+a3C+anC等8通項分組法：若an=（an+b）+p·cn+r·tn，求Sn（“差”“比”和數(shù)列

11、）9錯位相減法：若an=（an+b）·cn，求Sn（“差”“比”積數(shù)列）10拆項消去法：若a1=a，an=f（n）f（n+k）（k為正整數(shù)常數(shù)），求Sn11討論奇偶法：若an=（1）nf（n）或，求Snanan-1= an+b，an×an-1= p·cn（隔項數(shù)列）男女相間、逐和、逐積12構(gòu)造數(shù)列法：倒數(shù)構(gòu)造、平方構(gòu)造、開方構(gòu)造、添數(shù)（加常數(shù)、乘指數(shù)式）構(gòu)造、逐差構(gòu)造、指對數(shù)構(gòu)造13同構(gòu)相減法：已知Sn或Sn與an的關(guān)系求an （注意首項）14相除消元法：已知等比數(shù)列Sm和Sn求an 15整體求解法：換和、換積等 （滑位和、步位和） 子數(shù)列問題16待定系數(shù)法：先設(shè)目標形式，再確定系數(shù)17公式求和法：，（可用高次方差、二項式定理推導(dǎo)）18數(shù)學歸納法：高階等差數(shù)列：數(shù)列中，令，若是公差不為零的等差數(shù)列，則稱為二階等差數(shù)列；若是公差不為零的等差數(shù)列，則稱為三階等差數(shù)列；（用遞歸法可定義各階等差數(shù)列）階等差數(shù)列的通項公式是關(guān)于的次多項式，反之亦然。通項公式與遞推公式是從不同角度采用不同形式表示數(shù)列的兩種不同方法，但都屬于公式法。只不過通項公式是通過數(shù)列的項與序號之間的內(nèi)在的函數(shù)關(guān)系反映該數(shù)列的排列規(guī)律的一種直接方法；而遞推公式則是通過數(shù)列的相鄰幾項的相互關(guān)系反映該數(shù)列的排列規(guī)律的間接方法。前者給出了數(shù)列函數(shù)解析式，后者給出了數(shù)列函數(shù)的變換公式