考點專題二_平面向量與復(fù)數(shù)

1、考點專題二平面向量與復(fù)數(shù)(2)【考情分析】從近四年高考試卷分析來看，本專題知識理科每年考查1 2題，所占分值比例約為 4.8%,難易度以容易題、中等題為主，文科每年考查1 2題，所占分值比例約為 4.5%，難易度以容易題為主，此知識是高考中的必考容此知識在近四年常以填空題、選擇題、解答題的形式在高考題中出現(xiàn)，主要考查復(fù)數(shù)的四則運算，復(fù)平面等相關(guān)知識復(fù)數(shù)在高考試卷中的考查形式比較單一【知識梳理】重難點1. 復(fù)數(shù)的相等：兩個復(fù)數(shù) 乙 a bi(a,b R), z2 c di(c,d R)，當(dāng)且僅當(dāng)a c且b d時，ziZ2.特別地，當(dāng)且僅當(dāng) a b 0時，a bi 0.2. 復(fù)數(shù)的模：復(fù)數(shù)Zia

2、bi (a, b R)的模記作z或a bi，有 z la bib2.3. 共軛復(fù)數(shù)：當(dāng)兩個復(fù)數(shù)的實部相等，虛部互為相反數(shù)時， 這兩個復(fù)數(shù)叫做共軛復(fù)數(shù).復(fù)數(shù)Z的共軛復(fù)數(shù)記作 乙Z、 Z互為共軛復(fù)數(shù).如果Z a bi,Z a bi(a,b R)，則有z R的充要條件是z z; z是純虛數(shù)的充要條 件是z z且z 0.4. 復(fù)平面在平面直角坐標(biāo)系中，可以用點Z(a,b)表示復(fù)數(shù)Z1 a bi(a,b R)，建立直角坐標(biāo)系來表示復(fù)數(shù)的平面叫做復(fù)平面，在復(fù)平面上，稱x、y軸分別為實軸和虛軸，并且復(fù)數(shù)集C和復(fù)平面所有的點構(gòu)成的集合建立對應(yīng)關(guān)系5. 實系數(shù)一元二次方程實系數(shù)一元二次方程在復(fù)數(shù)集中恒有解，當(dāng)判

3、別式 b2 4ac 0時，實系數(shù)一元二次方程ax2 bx c 0(a,b,c R且a 0)在復(fù)數(shù)集中有一對互相共軛的虛數(shù)根 b V4ac b2 .xi.2a 2a易錯點1. 在進行復(fù)數(shù)計算時，要靈活利用i和（1 . 3i）的性質(zhì)，會適當(dāng)變形，創(chuàng)造條件,2 2從而轉(zhuǎn)化為關(guān)于i和的計算問題，并注意以下結(jié)論的靈活運用:(1 i)2 2i :1 i 1 i4n4n 1. .4n 24ni ,i ； i 1,ii, i1,ii 1 i3 i(n Z)；2.在進行復(fù)數(shù)的運算時,2 0.不能把實數(shù)集的某些法則和性質(zhì)照搬到復(fù)數(shù)集中來,如下面的結(jié)論,當(dāng)z C時不總是成立的：（zm）nmnm nz (m, n為分

4、數(shù))：z zn(z 1);2 2z1z20z1z20， z2【基礎(chǔ)練習(xí)】1.若復(fù)數(shù)（1bi）（3 i）是純虛數(shù)（i是虛數(shù)單位，b為實數(shù)），則b 2. 設(shè)z （2 i）2（i為虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)z的模為.【答案】5（2013）3.已知復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)z 1 2i（i為虛數(shù)單位），則z在復(fù)平面對應(yīng)的點位于（A.第一象限 B .第二象限.第三象限D(zhuǎn)第四象限【解析】z的共軛復(fù)數(shù)z 1 2i，則2i ,對應(yīng)點的坐標(biāo)為(1,2),故答案為D. (2013理）4.已知集合M1,2,zi ,i為虛數(shù)單位,N 3,4 , M N，則復(fù)數(shù)zA 2iB.2iC. 4iD.4i解析：因為M1,2,zi , N 3,4

5、，由N 4，得 4 M，所以zi4，所以z 4i .答案：C【命題立意】知識：集合的運算和復(fù)數(shù)的運算 |，則5.若向量，滿足|【答案】90°（ 2001上春）.試題難度：較小.（2013理）所成角的大小為.6.已知z C，且z 2 2i(A) 2.(B) 3.7.“2 a 2 ”是“實系數(shù)1,i為虛數(shù)單位，則(C) 4.兀二次方程x2ax 12 2i的最小值是（(D) 5. (2009 上春)0有虛根”的（A）必要不充分條件.（C）充要條件.（B）充分不必要條件.（D）既不充分也不必要條件.解：由實系數(shù)一元二次方程 x2 ax 1 0有虛根，可得 a2 4 0,即可得a （ 2,2）

6、 , （ 2,2） 2,2 , 2 a 2 ”是“實系數(shù)一元二次方程2x ax 1 0有虛根”的必要不充分條件，故應(yīng)選A.（ 2009上文）8.設(shè)Zi、Z2是復(fù)數(shù)，則下列命題中的假命題是（）【答案】D （2013理）A 若 Zi Z20,則 ZiZ2B.若 ZiZ2，則 ZiZ222C.若 ZiZ2，則 ZiZi Z2Z2 D.若 Zi Z2，貝y ZiZ2【解析】設(shè)Zi abi, Z2 c di,若 | 乙 Z21 0,則 | 乙Z21（a c） （b d）i ,a c,b d，所以z1z2，故A項正確；若zz2，貝Ua c,b d，所以z,z2，故B項正確；若|Zi| Z21，則a2b2c

7、2 d2，所以乙.乙z2.z2，故C項正確；2 2 2 2當(dāng) | Zi| |Z2 | 時，可取Zi1, Z2i，顯然Zi1, Z21，即ZiZ2 ,假命題.【例題精講】例1.已知復(fù)數(shù)Zi滿足（Zi 2）（1 i） 1 i （i為虛數(shù)單位），復(fù)數(shù)Z2的虛部為2 , Zi Z2是 實數(shù)，求 z2. （2011 上）解：（乙2)(1i) 1iZi2 i設(shè)z2a2i,aR,則 ZiZ2(2 i)(a 2i)(2a 2) (4 a)i ,Z1Z2R ,Z24 2i例2.已知Z是復(fù)數(shù)，z 2i、-均為實數(shù)（i為虛數(shù)單位），且復(fù)數(shù)（z ai）在復(fù)平面上2 i對應(yīng)的點在第一象限，數(shù)a的取值圍.（2005上春）

8、設(shè)z xyi(x、y R),Z2ix(y2）i，由題意得y 2.Zx 2i1(x2i)(2i)2 i2 i11(2x52)5(x4)i由題意得x 4 .Z4 2i.(z2ai)2(12 4a a2)8(a2)i ,根據(jù)條件,可知12 4aa20解得2a 6,實數(shù)a的取值圍是（2, 6）8(a2) 0A.1B.-1C.0D.i解法1：由b21，得b 1或b1.又a 1,由集合中元素的互異性知b1.由c2b，即 c21，得ci或ci .(1)當(dāng)i a1,b1,c i 時,S 1, 1,i,d，因為集合S具有性質(zhì)“'對任意x、 yS，必有xyS ”，所以ac iS,bc i S，故dib c

9、d1.(2 )當(dāng)a1,b1,ci時，S 1,1, i,d ，因為集合S具有性質(zhì)“對任意x、yS，必有xyS ”，所以aciS, bci S，故 d ib cd1.a1,a 1a 1a1a1b2解法2:*1，b 1或b 1或b1或b1 ，又因為集合中的兀素具有c2bc 1c1cicia1a1互異性，且對任意x，y S，必有xyS，所以b1或b1，所以b c d1ii例3.已知復(fù)數(shù)Zbi ( a 、 bR ） （ i是虛數(shù)單位）是方程x2 4x 50的根.復(fù)數(shù) w u 3i (u滿足w z2. 5，求U的取值圍.（2009上文）解：原方程的根為X1,22 i,例4.則當(dāng)a,b R ,2 i,|w

10、z| |(u 3i)(2 i)|對于復(fù)數(shù)a,b,c, d，若集合ab22c1,1時,b c d等于,(u 2)2 42 5,2 u 6.a,b,c,d具有性質(zhì)“對任意x，y S，必有xy S ”,）（2010 理）考查閱讀與理解、信息遷移以及學(xué)生的學(xué)習(xí)潛力點評：（1）本題涉及復(fù)數(shù)與集合等知識點， 考查學(xué)生分析問題和解決問題的能力，屬于創(chuàng)新題型.（2） 解法1步步為營，借助“分類討論”求出不同情況下的 c、d的不同取值，進而 求出b c d ；解法2直接解方程，然后驗證條件，排除不滿足的條件；顯然解法1優(yōu)于 解法2（3）主要考查推理論證能力、運算求解能力、數(shù)據(jù)處理能力、創(chuàng)新意識；考查函數(shù)與 方程

11、思想、分類與整合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想.（4）與前三年的復(fù)數(shù)、集合題型有很大的不同， 往年較少出現(xiàn)復(fù)數(shù)與集合的交匯題型， 在題目的設(shè)計上更顯新意，雖然題型新穎，但是萬變不離其宗， 所以在復(fù)習(xí)中一定要掌握好基本知識.（5）隨著高中新課程標(biāo)準(zhǔn)、新教材的使用，高考對考生創(chuàng)新意識和創(chuàng)新能力的要求逐步提 高“出活題，考能力”就是要求學(xué)生能綜合靈活運用所學(xué)數(shù)學(xué)知識，思想方法，對新概念、 新知識、新信息、新情景、新問題進行分析，探索、創(chuàng)造性地解決問題.所以“新定義問題” 將是高考創(chuàng)新題中一種命題趨勢.【能力強化】1.在復(fù)平面，復(fù)數(shù)（2 i）2對應(yīng)的點位于（）（2013理）【答案】DA.第一象限B.第二象限C.

12、 第三象限D(zhuǎn).第四象限【解析】由題知z=g= 口(3岀=33 4i (3 4i )(3 4i)513. z 2 mi, m R ,若一1-對應(yīng)點在第二象限，則i的取值圍為4.在復(fù)平面上，一個正方形的三個頂點對應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為點對應(yīng)的復(fù)數(shù)為.2 i、0，則第四個頂5.已知z為復(fù)數(shù)，則z z 2的一個充要條件是 z滿足. （ 2003上春）【答案】6.設(shè)集合My y cos2 x sin2 x, x R , N1 _xx - V2,i為虛數(shù)單位,x R ,則 iM N為【答案】0,1（2011 理）7.（2013理第5題）滿足a,b1,0,1,2 ，且關(guān)于x的方程ax2 2x b 0有實數(shù)解的有序數(shù)

13、對（a, b）的個數(shù)為（ ）A. 14 B . 13C . 1210【答案】B2若復(fù)數(shù)z滿足（3 4i）z 4 3i錯誤！未找到引用源。，則z的虛部為（ ）（2013全國新課標(biāo)I理）4 4A.4B .C . 4D .5 5【命題意圖】本題主要考查復(fù)數(shù)的概念、運算及復(fù)數(shù)模的計算，是容易題4 4-i，故z的虛部為一，故選D.5 52【解析】方程ax 2x b 0有實數(shù)解，分析討論當(dāng)a 0時，很顯然為垂直于 x軸的直線方程，有解.此時 b可以取4個值.故有4種有 序數(shù)對(2,1 ),(2,2).滿足題意的 （a,b） 的取值為(1,0),( 1,1),( 1,1),(1,2),(1,1),(1,0)

14、,(1,1),(2, 1),(2,0 ),共 9 個.8.在復(fù)數(shù)圍解方程z23 i (z z)i2 i（i為虛數(shù)單位）(2005 上)解：原方程化簡為z2(z z)i 1 i ,設(shè) z=x+yi(x、y R)h代入上述方程得x 2+y2+2xi=1-i, x2+y2=1 且 2x=-1,1解得x=- 且y=±,3522當(dāng)a 0時，需要4 4ab 0 ,即ab 1.顯然有3個實數(shù)對不滿足題意，分別為（1,2 ）,原方程的解是z=- ±3 i.2 22x 19. 已知實數(shù)p滿足不等式 竺0 ,試判斷方程z2 2z 5 p2 0x 2有無實根，并給出證明（ 2004上春）解：由 罷 0，解得2 x 2 ,2 p 方程z2 2z 5 p2 0的判別式 4（ p2 4）.2 p 2 , p2 4 ,0，由此得方程z2 2z 5