高二數(shù)學(xué)算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)一 新課標(biāo) 人教版

1、2022年2月23日星期三1.()abba定理對(duì)稱(chēng)性2.()abbcac 定理且傳遞性3.abacbc定理（同加性）abcdacbd推論：且（同向不等式的可加性）知識(shí)回顧：知識(shí)回顧：4.()00.abcacbcabcacbc定理同乘性且；且1.00abcdacbd推論（非負(fù)同向不等式的可乘性）且.0nnabab*推論2 （非負(fù)不等式乘方性質(zhì)）（其中nN ）.01nnabab*定理5 （非負(fù)不等式開(kāi)方性質(zhì)）（其中nN 且n）定理定理1.如果如果Rba,，那么，那么abba222（當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng)ba 時(shí)取時(shí)取“=”）證明：222)(2baabba0)(0)(22babababa時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)abb

2、a2221指出定理適用范圍： Rba,2強(qiáng)調(diào)取“=”的條件： ba 1.新課講解：新課講解：定理定理2：如果：如果 那么那么 ba,是正數(shù)，是正數(shù)， abba2（當(dāng)且僅當(dāng)（當(dāng)且僅當(dāng)ba 時(shí)取時(shí)取“=”）證明：證明： 22()()2aba b abba2 即： abba2當(dāng)且僅當(dāng)ba 時(shí), abba22.注意：1這個(gè)定理適用的范圍： , a bR 2語(yǔ)言表述：兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)。它們的幾何平均數(shù)。稱(chēng)2ab為, a b的算術(shù)平均數(shù)，的算術(shù)平均數(shù)，稱(chēng)ab為, a b的幾何平均數(shù)。的幾何平均數(shù)。我們把2ab看做兩個(gè)正數(shù), a b的等差中項(xiàng)，ab看做正數(shù)

3、, a b的等比中項(xiàng)，那么定理2可以敘述為：兩個(gè)正數(shù)的等差中項(xiàng)不小于它們的等比中項(xiàng)。兩個(gè)正數(shù)的等差中項(xiàng)不小于它們的等比中項(xiàng)。3.關(guān)于關(guān)于“平均數(shù)平均數(shù)”的概念：的概念：1如果 *12,1naaaRnnN、 、 、且 則： naaan21 叫做這n個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)。nnaaa21叫做這n個(gè)正數(shù)的幾何平均數(shù)。2.基本不等式： *121212.nnnnaaaa aaaaaRnNn其中 、 、，語(yǔ)言表述：語(yǔ)言表述：n個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)。abba2 的幾何解釋?zhuān)篈DDCabB以ABa b 為直徑作圓， 過(guò)C作弦DDAB 取C使AC=a,CB=b, 則 abCBCACD2從而 abCD 而半徑 abCDba24.5.舉例：舉例：例1.已知, ,a b cR 求證： 222abcabbcca證：證： 222abab222bcbc222caca以上三式相加： 2222()222abcabbcca222a