線性代數(shù)模擬試題及答案(共46頁)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上 線性代數(shù)期末模擬試題一 得分閱卷人一、填空（本題20分每小題2分）1設(shè)為四階行列式,若表示元素的余子式，表示元素的代數(shù)余子式，則+= 。2三階行列式中只有位于兩條對角線上的元素均不為零， 則該三階行列式的所有項中有 項不為零，這一結(jié)論對階行列式（填成立或不成立）。3設(shè)均為3維列向量，記矩陣記矩陣，若，則。4設(shè)矩陣，則。5設(shè)矩陣可逆，且矩陣，所以矩陣一定可以由矩陣經(jīng)過（填行或列）初等變換而得到。6設(shè)向量組，若 則一定可以由向量唯一的線性表示。7非齊次線性方程組有 唯一的解是對應(yīng)的齊次方程組只有零解的充分但不必要條件。8設(shè)3階矩陣的行列式 ，則矩陣一定有一個特征值。9階

2、矩陣有個特征值1，2，階矩陣與相似，則。10向量組： （填是或不是）向量空間一個規(guī)范正交基。得分閱卷人二、單項選擇（本題10分，每小題2分）注意：請務(wù)必將你的選擇題的答案按要求填入下表，否則答案無效！題號12345答案序號1設(shè)矩陣為階方陣，則關(guān)于非齊次線性方程組的解下列說法（ ）不正確（A） 若方程組有解，則系數(shù)行列式; （B） 若方程組無解，則系數(shù)行列式;（C） 若方程組有解，則或者有唯一解或者有無窮多解;（D） 系數(shù)行列式是方程組有唯一解的充分必要條件.2. 設(shè)為階可逆矩陣，下列正確的是（ ）（A） ； (B) ；(C) ；(D) 。3. 奇異方陣經(jīng)過（ ）后，矩陣的秩有可能改變。(A)

3、初等變換； (B) 左乘初等矩陣； (C) 左、右同乘初等矩陣； (D) 和一個單位矩陣相加。4設(shè)非齊次線性方程組的系數(shù)矩陣是矩陣，且的行向量組線性無關(guān)，則有（ ）。(A) 的列向量組線性無關(guān)；(B) 增廣矩陣的行向量組線性無關(guān)；(C) 增廣矩陣的任意4個列向量組線性無關(guān)；(D) 增廣矩陣的列向量組線性無關(guān)。5設(shè)是非奇異矩陣的一個特征值，則矩陣有一個特征值為 ( ) (A) 4/3； (B) 3/4；(C) 1/2； (D) 1/4。三、計算（2道題，共16分）1設(shè)行列式D= ，求（其中分別是第三行各個元素的對應(yīng)的余子式）。2計算 （得分閱卷人四、（本題12分）已知，為3階矩陣，表示3階單位陣

4、，且（1） 求 ；（2）證明矩陣為逆矩陣； （3）若矩陣，滿足，證明。得分閱卷人五、（本題12分）問取何值時，方程組有唯一解；2.有無窮多解，并求通解。得分閱卷人六、（本題10分）向量組：由四個向量組成，其中， ， 求：（）向量組的秩；（2）向量組線性相關(guān)性；（3）向量組的一個最大無關(guān)組。 得分閱卷人七、（本題10分）已知二次型（其中為待定系數(shù)）經(jīng)過正交變換化為，試回答下列問題：(1) 寫出二次型的矩陣可以含待定系數(shù)；(2) 寫出的全部特征值；(3) 利用（1）、（2）求出的值得分閱卷人八、（本題5分）在中，取兩組基 組：， 組：，若向量在基下的坐標(biāo)為，求它在基下的坐標(biāo)得分閱卷人九、（本題5分

5、）設(shè)非齊次方程組有解其中，并且試回答：（1）非齊次方程組是幾元的？（2）若是對應(yīng)的齊次方程組，則寫出它的一個基礎(chǔ)解系。（3）寫出方程組的通解。 線性代數(shù)期末模擬試題二 得分閱卷人 一、填空題（6×4=24分），將答案填在橫線上。1若2方程組3 45若6若得分閱卷人二、方程組（12分）當(dāng)k為何值時，方程組 1有唯一解；2有無窮多解；3無解。得分閱卷人三、（10分）設(shè)1已知2已知得分閱卷人四、（12分）設(shè)得分閱卷人五、（8分）設(shè)向量組1|A|=2該向量組線性無關(guān)的充要條件是k滿足3方程組Ax=0有非零解的充要條件是k滿足k=3 ork=-44若Ax=0的基礎(chǔ)解系為1，1，1T，則k=。得

6、分閱卷人六、單項選擇題（5×2=10分）在括號內(nèi)填上唯一選擇項的代號：1設(shè)3個同階方陣A，P，Q分別為對稱陣，可逆陣，正交陣，下列四個矩陣變換中，保持A的秩、行列式的值、特征值和對稱性都不變的矩陣變換是（ ）。2設(shè)A，B均為n階方陣，在下列各項中只有（ ）正確。 （1）若A0，B0，則AB0； （2）若A和B都是對稱矩陣，則AB也是對稱矩陣； （3）若AB不可逆，則A和B都不可逆；（4）若AB可逆，則A和B都可逆3設(shè)n階矩陣A，B，C滿足關(guān)系式ABC=I,則（2 ）成立。(1) ACB=I ; (2) BCA=I ;(3) BAC=I ; (4) CBA=I。4設(shè)，則（ 3 ）。 （

7、1）當(dāng)m<n時，AB可逆； （2）當(dāng)m<n時，AB不可逆； （3）當(dāng)m>n時，AB不可逆； （4）當(dāng)m>n時，AB可逆。5設(shè)，則（ ）。 （1）A的列向量組線性無關(guān)； （2）A的列向量組線性相關(guān)； （3）A的行向量組線性無關(guān)；（4）A的行向量組線性相關(guān)。得分閱卷人七、（12分）設(shè)1求該二次型對應(yīng)的對稱陣A；2當(dāng)k滿足什么條件時A正定？得分閱卷人八、證明下列各題（2×6=12分）1證明：若n階實對稱陣A的兩個不同的特征值，則p和q正交。2 設(shè)。 線性代數(shù)期末模擬試題三 一、填空（每小題填對者得4分，填錯或不填者一律不得分，共16分）得分閱卷人1設(shè)為n階行列式D的

8、元素，的代數(shù)余子式，則 （其中）。2設(shè)3階矩陣A與矩陣相似，A的特征值為 。 3設(shè)A為n階矩陣，若 ，則稱 A為正交矩陣。4n元非齊次線性方程組存在解的充分必要條件為 。二、選擇填空（每小題填對者得4分，填錯或不填者一律不得分，共16分）得分閱卷人1.設(shè)A和B均為n階矩陣，則下列結(jié)論正確的是（ ）(A) ； (B)；(C) ； (D) 。2.設(shè)為階方陣，且，是非齊次線性方程的兩個不同的解向量，則的通解為（ ）（其中、為任意常數(shù)）(A) (B) (C) (D) 3. 設(shè)，且有，則（ ）。(A) (B) (C) (D) 4.設(shè)A為n階矩陣，且A的行列式|A|=0，則A中（ ）(A) 必有一列向量是

9、其余列向量的線性組合；(B) 必有一列元素全為0；(C) 必有兩列元素成比例； (D) 任意一列向量是其余列向量的線性組合。三、（每小題6分，共12分）計算下列行列式得分閱卷人1計算4階行列式2計算n+1階行列式 得分閱卷人四、（10分）已知，為3階矩陣，滿足，其中和都是不為0的常數(shù)（1） 計算，其中是3階單位矩陣（2） 證明及均可逆； （3） 若，求矩陣。得分閱卷人五、（10分）設(shè) 1求矩陣A的秩；2判別A的列向量組的線性相關(guān)性；3求矩陣A的列向量組的一個極大線性無關(guān)組；得分閱卷人六、（12分）求非齊次線性方程組 通解，并指出對應(yīng)齊次方程組的基礎(chǔ)解系。得分閱卷人七、（14分）已知二次型1寫出

10、二次型的矩陣，并寫出二次型的矩陣表達式；2求的全部特征值；3求一個正交變換將二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形；并指出二次型的正定性。八、證明下列各題（每小題5分，共10分）得分閱卷人1設(shè)n階矩陣相似，證明相似2設(shè)3維向量組線性無關(guān)，證明：線性無關(guān) 線性代數(shù)期末模擬試題四 得分閱卷人一、填空題（本題18分，每小題3分）1、若，則。2、若對一個矩陣實施一次行變換等價于在該矩陣的邊乘以一個相應(yīng)的初等矩陣。3、為四階的方陣，且是它的伴隨陣，則 。 4、。5、設(shè)n階矩陣的行列式 ，則方程組（有，無）解6、若2，4，6，8是四階矩陣A的4個特征值，則矩陣的4個特征值。二、選擇填空（每小題只選擇一個答案，選錯或不選一律不得

11、分，每小題3分，共18分）得分閱卷人1、 設(shè)矩陣，行列式，若矩陣行列式（ ）（A）8 ； (B) ； (C) 24 ； (D) -216 。2、設(shè)A、B、C為n階矩陣，且矩陣A可逆，則下列四個結(jié)論中不正確的是（ ）。(A) ； (B) 若；(C) 若； (D) 若 。3、設(shè)非齊次線性方程組的系數(shù)矩陣A是則方程組（ ）。（A）在時一定有解； （B）在時有唯一解；(C) 在有無窮解； （D）在時有唯一解。4、向量組線性無關(guān)的充分必要條件是（ ）。(A) 存在一組全不為零的數(shù)，使等式成立；(B)存在一組全為零的數(shù)，使等式成立；(C)每個都不能用其他向量線性表示； (D)有線性無關(guān)的部分組。5、若其中

12、是n階矩陣，則下列四個結(jié)論中正確的是（ ）。(A)都是的特征值 ； (B) 1是的特征值；(C) -1或1至少有一個是的特征值； (D) -1是的特征值6、n階矩陣A與n階矩陣B相似，則下列四個結(jié)論中不正確的是（ ）。(A) A與B有n個相同特征值； (B) A與B有相同的特征向量；(C) A與B有相等的行列式； (D) A與B有相同的秩三、計算（每小題6分，共12分）得分閱卷人1、 2，得分閱卷人四、（11分）設(shè)向量組（1）該向量組的秩； （）該向量組的一個最大無關(guān)組；（）將向量組中不屬于最大無關(guān)組的向量用最大無關(guān)組線性表示。得分閱卷人五、（12分）試求方程組 當(dāng)為何值時有唯一一組解、無解或

13、有無窮多組解 ? 并在有無窮多組解時求其通解。得分閱卷人六、（10分）矩陣得分閱卷人七、（14分）已知二次型，寫出二次型的矩陣，并寫出二次型的矩陣表達式；求的特征值；求一個正交變換將二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形；指出二次型的秩與正定性。得分閱卷人八、證明題（5分）已知向量組 是兩個線性無關(guān)組，并且每個和每個都正交。證明：向量線性無關(guān)。 線性代數(shù)期末模擬試題五 得分閱卷人一、填空題（每小題5分，共20分）設(shè)，則設(shè)，則=設(shè)均為n維向量（），則向量組必線性 關(guān)。設(shè) （其中m為正整數(shù)）得分閱卷人二、選擇填空（每小題只選擇一個答案，選錯或不選一律不得分，每小題5分，共20分）設(shè)(A)；(B) ；(C) ；（D）。如

14、果向量可由向量組線性表示，則必有（ ）。(A)存在一組不全為零的數(shù)，使等式成立；(B)存在一組全為零的數(shù)，使等式成立；(C)對的表示式不唯一；(D)向量組線性相關(guān)。n元方程組有唯一解的充分必要條件是（ ）。(A)秩 ； (B) 為方陣且；(C) ； (D)秩，且可由的列向量組線性表示。設(shè)是可逆矩陣的特征值，則矩陣有一個特征值為（ ）。(A) ； (B) ； (C) ； (D) 。三、計算下列行列式（每小題6分，共12分）得分閱卷人 計算n階行列式(n>2)得分閱卷人四、（10分）問取何值時，方程組無解；有唯一解；有無窮多解，并求通解。得分閱卷人五、（7分）設(shè) ，,求得分閱卷人六、（7分）

15、設(shè)，證明：可逆的充分必要條件是矩陣可逆。得分閱卷人七、（14分）已知二次型，且已知二次型的矩陣的一個特征值為1。寫出二次型的矩陣，并寫出二次型的矩陣表達式；求得值，并求的另兩個特征值；求一個正交變換將二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形；指出二次型的秩與正定性。八、（每小題5分，共10分）證明下列各題已知n維向量的各分量均大于零，即，又設(shè)n階矩陣，即矩陣。證明秩； 證明向量的特征向量，并求所對應(yīng)的特征值。已給2n維向量組和2n維向量組，而且該向量組是方程組的基礎(chǔ)解系。證明向量組是方程組的基礎(chǔ)解系。 線性代數(shù)期末模擬試題六 得分閱卷人一、填空（每題2分，共20分）1、排列的逆序數(shù)為。2、當(dāng)滿足 時，矩陣可逆。3、若

16、A是5階方陣，且=1，則 = 。4、當(dāng)X為 行 列矩陣時,下列運算可以進行 ;其結(jié)果是 行 列矩陣。 5、矩陣的伴隨矩陣= ， 逆陣= 。 6、向量組是線性_關(guān)的。7、2是A的特征值，則。8、向量空間的維數(shù)為 。9、若，則 。10，如果與四元線性方程組AX=O的同解方程組是，則有R(A)= ，AX=O的基礎(chǔ)解系有 個解向量。得分閱卷人二、單項選擇（每題2分，共10分）1, 設(shè)A、B為n階方陣，E是n階單位矩陣，則AB+B=；(A) (A+1)B ; (B) B(A+E) ; (C) (A+E)B ; (D) B(1+A) 。2，為n階方陣A的伴隨矩陣，則； (A) ; (B) ; (C) ;

17、(D) .3, 設(shè)為非齊次線性方程組，下列結(jié)論正確的是；（A） 若無解,則也無解;（B） 若有解,則也有解;（C） 若只有零解,則只有唯一解 ；(D) 若有無多解,則也有無窮多解。4, 設(shè)A、B為n階方陣，若，則；（A） 或 ；（B） A=0或B=0 ; (C) A+B=0 ; (D) BA=0 。5, 下列結(jié)論不正確的是；（A） 如階矩陣A有個線性無關(guān)的特征向量，則矩陣A一定可以對角化；（B） 如階矩陣A有個不同的特征值，則矩陣A一定可以對角化；（C） 如階矩陣A有個不同的特征向量，則矩陣A一定可以對角化；（D） 如階矩陣A是對稱陣，則矩陣A一定可以對角化。得分閱卷人三、計算行列式（每題7分

18、，共14分）1 2 得分閱卷人四、計算矩陣（每題8分，共16分）1、2、 已知，為3階矩陣，其中可逆，且，（1）證明及均可逆；（2）若，求矩陣。得分閱卷人五、方程組的解（12分）取何值時，方程組 有唯一一組解、無解或有無窮多組解 ? 并在有無窮多組解時求其通解。得分閱卷人六、向量組的線性相關(guān)性（10分）向量組：由五個向量組成，其中，求：（）向量組的秩；（）向量組的一個最大無關(guān)組；（）將向量組中不屬于最大無關(guān)組的向量用最大無關(guān)組線性表示。得分閱卷人七、二次型（12分）已知二次型，1) 寫出二次型的矩陣，并寫出二次型的矩陣表達式；2) 求的全部特征值；3) 求一個正交變換，將二次型化為標(biāo)準(zhǔn)型。得分

19、閱卷人八、證明題（分）設(shè)為階矩陣且滿足，是矩陣的特征值，求證：也是矩陣的特征值。 線性代數(shù)期末模擬試題一答案 一、填空：10； 22，不成立；3-2；4；5； 6 ；7、充分；80； 9 ；10是。得分閱卷人二、單項選擇：題號12345選項AADBB三、1解：方法一：= =2=-2=-4=4方法二：所以=42 解：原式= =四、解：（1）； （2）可逆；（3）由得可逆，。五、解： 當(dāng)時，此時方程有唯一解。當(dāng)時，此時方程有無數(shù)解。 與原方程同解的方程為，取得方程的通解為 六、解：（1）向量組所對應(yīng)的矩陣A故； （2）<，故向量組線性相關(guān)； （3）由A，知是A的一個最大無關(guān)組； 七、解：（1

20、），二次型的矩陣=；二次型的矩陣表達式=； （2），寫出的全部特征值為0，2，1；（3）， 八、解：記方法一：由過渡陣（2分）利用初等變換得： 所以P=由坐標(biāo)轉(zhuǎn)換公式，在基下的坐標(biāo) 方法二：由過渡陣又在基下的坐標(biāo)得九、解：（1）解向量是四維的，非齊次方程組是四元的； （2）的基礎(chǔ)解系含4-3=1個向量； 是非齊次方程組的解 2是的一個解 又2=2是的基礎(chǔ)解系方程組的通解 +（成為任意常數(shù)） 線性代數(shù)期末模擬試題二答案 一、填空題：1；2；3；4；5；6。二、解：或 1當(dāng)k2且k1時有唯一解；2當(dāng)k=1時， 有無窮多解；3當(dāng)k=1時， 無解。三、解： 12法1： 所以 法2： 四、解： 所以 五

21、、解答：12（k+4）(k3)；2 k-4且k3；3 k=-4或k=3；4.4 。六、單項選擇題：1（ 4 ）;2（ 4 ）;3（ 3 ）； 4（ 3 ）;5（ 2 ）。七、解：設(shè)23于是 因為k=3時A不正定，所以k=3,m=1法2：2 3所以，。此時因此m=1。此時二次型的標(biāo)準(zhǔn)形不能是 ?？傊?，當(dāng)k=3,m=1時。八、1證明：因為所以2證明：設(shè)（1）（2）（3）。 線性代數(shù)期末模擬試題三 答案一、填空：10; 22,5,1; 3; 4 二、選擇填空：1. D； 2. C ;3.C；4.A 三、解：1.原式=-1442原式= =四、解：（1）=； （2）將代入（1）得=，故及均可逆； （3）

22、由得，即由得：= 五、 解：1 所以 2由于矩陣A的秩為3，所以A的列向量組的秩也為3，而向量的個數(shù)為4，所以矩陣A的列向量組是線性相關(guān)的。 3由于A經(jīng)過初等行變換后化為U，而U的第1，2，4列是U的列向量組的一個極大線性無關(guān)組，所以。六、解： 對應(yīng)同解方程組令，得非齊次方程組得一個特解 ，對應(yīng)齊次方程組的同解方程組令，得齊次方程組得基礎(chǔ)解系：，七、解： 由得特征值為： 。 當(dāng)時，解方程組正交化得 單位化得 當(dāng)時，解方程組 作正交變換：，則二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形 由于，所以二次型的秩是1，二次型不是正定的。 八、1證明：因為相似，所以存在可逆矩陣，使，因此，所以相似。2 證明：設(shè)有常數(shù)，則有由于向量

23、組線性無關(guān)，所以有解之得：，所以線性無關(guān)。 線性代數(shù)期末模擬試題四 一、填空題：1、12； 2、左；3、；4、3；5、無；6、-1，1，3，5。二、選擇填空：1、A；2、A；3、A；4、C；5、C；6、B。三、解：1、= =-3 。2，原式= 四、解：令=，由此得：（1）該向量組的秩為3。 （2）是該向量組的一個最大無關(guān)組。繼續(xù)對A實行行的初等變換得：，由此得：（3）； 。五、解：由得：（1）且時，方程組有唯一解。（2）時，無解。（3）時，有無窮解。在有無窮多組解時，由此得：通解為：。，則。七、解：（1），。（2）=，即，。（3）時，基礎(chǔ)解系：，單位化；同理可求：，；，。取，正交變換可以使二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形：（4）所以，二次型的秩是3；由于特征值都大于零，故屬正定二次型。八、證明：設(shè)有使得：成立，則需證：。令，則，而線性無關(guān)，。同理可證。 線性代數(shù)期末模擬試題五答案 一、填空題：一、 6k； ； 相； 0 。二、選擇填空： (B)； (D)；(D)； (C) 。三、解: =0 相鄰兩列相減（后列減前列）得=0四、解：當(dāng)時，此時方程組無解。 當(dāng)時，