等比數(shù)列的前n和教學(xué)設(shè)計(jì)

1、課題：等比數(shù)列的前n 項(xiàng)和（第一課時）一 教學(xué)目標(biāo) :1.知識與技能目標(biāo) :1)掌握等比數(shù)列求和公式,并能用之解決簡單的問題。2)通過對公式的推導(dǎo) ,對學(xué)生滲透方程思想、分類討論思想以及等價轉(zhuǎn)化思想。2 過程與方法目標(biāo)：通過對公式的推導(dǎo)提高學(xué)生研究問題、 分析問題、解決問題能力； 體會公式探求中從特殊到一般的數(shù)學(xué)思想，同時滲透如上所說的多種數(shù)學(xué)思想。3.情感與態(tài)度目標(biāo)：通過公式的推導(dǎo)與簡單應(yīng)用， 激發(fā)學(xué)生求知欲， 鼓勵學(xué)生大膽嘗試， 敢于探索、創(chuàng)新的學(xué)習(xí)品質(zhì)。二 教學(xué)重點(diǎn) ：等比數(shù)列項(xiàng)前 n 和公式的推導(dǎo)與簡單應(yīng)用。三 教學(xué)難點(diǎn) ：等比數(shù)列 n 項(xiàng)和公式的推導(dǎo)。四 教學(xué)方法 ：啟發(fā)引導(dǎo)，探索發(fā)

2、現(xiàn)（多媒體輔助教學(xué)）。五 教學(xué)過程 ：1創(chuàng)設(shè)情境，導(dǎo)入新課：1）復(fù)習(xí)舊知，鋪墊新知：（1）等比數(shù)列定義及通項(xiàng)公式；（2）等比數(shù)列的項(xiàng)之間有何特點(diǎn)？說明：如此設(shè)計(jì)目的是在于引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)等比數(shù)列各項(xiàng)特點(diǎn)：從第二項(xiàng)起每一項(xiàng)比前一項(xiàng)多乘以q ，從而為“錯位相減法”求等比數(shù)列前n 和埋下伏筆。2）問題情境，引出課題：從前，一個窮人到富人那里去借錢，原以為富人不愿意，哪知富人一口答應(yīng)了下來，但提出了如下條件：在30 天中，富人第一天借給窮人1 萬元，第二天借給窮人 2 萬元，以后每天所借的錢數(shù)都比上一天多一萬；但借錢第一天， 窮人還 1 分錢，第二天還2 分錢，以后每天所還的錢數(shù)都是上一天的兩倍，30 天

3、后互不相欠。窮人聽后覺得挺劃算，但怕上當(dāng)受騙，所以很為難。請?jiān)谧耐瑢W(xué)思考一下 ,幫窮人出個主意 .注：師生合作分別給出兩個和式：S3012330T30122223228229學(xué)生會求，對學(xué)生知道是等比數(shù)列項(xiàng)前n 和的問題但卻感到不會解！問 1：能不能用等差數(shù)列求和方法去求？（不行）問 2：怎么辦？（用追問的方式引出課題）2師生互動，新課探究：問題 1如何求和：T30122223228229注：（給學(xué)生時間讓他們觀察、思考）如果學(xué)生想不出來，師做必要啟發(fā)：1）等式右邊各項(xiàng)有什么特點(diǎn)？（等比數(shù)列30 項(xiàng)和）2）公比是多少？（ 2）即：從第二項(xiàng)起每一項(xiàng)比前一項(xiàng)多乘以2.3）因此，如果兩邊 （教師語

4、速放慢，看學(xué)生反應(yīng)狀況，再往下提示：把等式兩邊同乘以公比2）從而有：T301222232 282292T3022223242 29230師：如何求 T30 ？（此處給學(xué)生充分的觀察思考的時間，師不忙給出結(jié)論，讓他們自己得出求解的方法：作差）注：學(xué)生解出 T30 ，并與 S30 比較（到底能不能向富人借錢） 。這種求和的方法叫錯位相減法。此處先不忙介紹“錯位相減法”的要點(diǎn)，只讓學(xué)生有個大致印象，后面還有應(yīng)用，體現(xiàn)從特殊到一般、學(xué)生自主探究教材的新教材理念。問題 2如何求等比數(shù)列 an 的前 n 項(xiàng)和 Sn ：Sn a1a1 q a1 q 2a1 qn 1注：學(xué)生已有上面問題的處理經(jīng)驗(yàn)，肯定有不少

5、學(xué)生會想到“錯位相減法” ，教師可放手讓學(xué)生探究，并請學(xué)生上臺板演。將 Sna1a1qa1q 2a1qn 1 兩邊同時乘以公比 q 后會得到qSa qa q2a q3a q n，兩個等式相減后，哪些項(xiàng)被消去，還n1111剩下哪些項(xiàng)，剩下項(xiàng)的符號有沒有改變？這些都是用錯位相減法求等比數(shù)列前 n 項(xiàng)和的關(guān)鍵所在，讓學(xué)生先思考，再討論，最后師用多媒體予以突出強(qiáng)調(diào)，加深印象！兩等式作差得到(1 )a1(1qn ) 時 ，肯 定 會有 學(xué)生 直接 得到q Snna (1q )Sn1，師不忙揭露錯誤，等一會用練習(xí)反饋這個易錯知識點(diǎn)，從而掌握公式的本質(zhì)！練習(xí) 1. 用等比數(shù)列求和公式求和：公式的1)S9 3

6、 323339應(yīng) 用2)S100555(1 0 個0 5相加 )注：此組練習(xí)目的： 熟悉等比數(shù)列求和公式的直接應(yīng)用。 公比 q1時,公式還能用嗎 ?na1 (q1)從而得到：等比數(shù)列 an 前 n 項(xiàng)和 Sn 公式應(yīng)為： Sna1 (1q n ).1(q1)q 通過糾錯的方式給出公式比平鋪直敘方式得出公式的效果要好得多，學(xué)生通過：自己推導(dǎo)出公式（不完整）公式應(yīng)用得出矛盾完整公式的過程，很好地解決了本節(jié)課重、難點(diǎn)。練習(xí) 2.求和：1(11)1)11122012221912122)等比數(shù)列 an 中, a16, q2, an192, 求 an 前n項(xiàng)和 Sn .注：練習(xí) 1）中數(shù)列的項(xiàng)數(shù)的確定是很

7、容易失誤的地方，學(xué)生誤解為是19 項(xiàng)。從而強(qiáng)調(diào)求和公式Sn 中的“ n ”指的是項(xiàng)數(shù) .另外，還要指出等比數(shù)列求和公式中的公比 q 的指數(shù)是“n ”，而等比數(shù)列通項(xiàng)公式ana1q n 1 的公比 q 的指數(shù)是“ n 1” .練習(xí)2）的目的在于引出等比數(shù)列求和的第二個公式形式：na1 (q1)Sna1 (1q n )a1an q，根據(jù)所給條件選擇哪個求和公式進(jìn)行求解。1q1 q(q1)很多學(xué)生會根據(jù)條件先求出n ，再帶到求和公式中去求 Sn ，而直接用 Sn 的另一個公式去求，可使計(jì)算過程簡化，從而自然引出這個知識點(diǎn). 求和公式中共有五個量：Sn , a1 , q, n, an ，可用方程（組）

8、思想：知三求二 .典例分析已知等比數(shù)列31, 求 a1.an 中， a3,S3 422解：當(dāng)q時候，a1a2a3 ,此時正好有1S3a1a2a3 4 1 , 適合題意。2a q2312當(dāng)q時，依題意有解之，1a (1q3 )114,1q2得 a16，綜上得 a13 或a1 6.2注：在不知道公比是否為 1 的情況下 ,利用等比數(shù)列求和公式求和時一定要對公比要進(jìn)行分類討論 ,這是學(xué)生容易忽視的問題 .公式再證對于問題： T1 2222322822930強(qiáng)化理解還可以這樣考慮 :T3012222322822912(12228 )12(T30229 )T302301問：從這種證法中，大家受何啟發(fā)？你能用這種方法證明等比數(shù)列的前 n 項(xiàng)和公式嗎？注：此處給時間給學(xué)生思考、證明（并投影強(qiáng)調(diào)步驟） .Sn a1a1q a1q2a1qn 2a1qn 1a1q(a1a1qa1q2a1qn 2 ) a1 q(Sn a1q n 1 )(1q)Sna1a1qna (1qn )1q1Sn1qna1q1六課堂小結(jié)特殊數(shù)列求和一般情況下等比數(shù)列求和公式T301 2229Sna1 a1 q a1q 2a1 q n 1應(yīng)用方程（組）思想：錯位相減法知三求二注：通過教師的提問和幻燈片的順序播放， 進(jìn)一步鞏固本節(jié)課的內(nèi)容