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1、1此幻燈片可在網(wǎng)址http:/上下載第5講2第二章第二章 一維隨機(jī)變量及其分布一維隨機(jī)變量及其分布3第一節(jié) 隨機(jī)變量4觀察一個(gè)隨機(jī)現(xiàn)象, 其樣本點(diǎn)可以是數(shù)量性質(zhì)的, 也可以是非數(shù)量性質(zhì)的. 前者如拋一顆均勻的骰子, 可能出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)是1點(diǎn),2點(diǎn),6點(diǎn); 后者如擲一枚均勻的硬幣, 可能出現(xiàn)正面, 也可能出現(xiàn)反面, 現(xiàn)在約定, 出現(xiàn)正面記為1, 出現(xiàn)反面記為0. 無(wú)論哪一種情形, 都體現(xiàn)出這樣的共同點(diǎn): 對(duì)隨機(jī)試驗(yàn)的每一個(gè)可能的結(jié)果, 有唯一一個(gè)實(shí)數(shù)與之對(duì)應(yīng). 這種對(duì)應(yīng)關(guān)系實(shí)際上定義了樣本空間W上的函數(shù), 通常記作X=X(w), wW. 盡管在試驗(yàn)之前不能確定X(w)會(huì)取哪個(gè)實(shí)數(shù)值, 但我們可以研究

2、它取任一實(shí)數(shù)集所對(duì)應(yīng)的概率.5定義定義 設(shè)X=X(w)是定義在樣本空間W上的實(shí)值單值函數(shù), 稱X=X(w)為一維隨機(jī)變量一維隨機(jī)變量. 隨機(jī)變量通常用大寫字母X,Y,Z,W,或者用希臘字母x,h,z等表示,Ww1w2w3x6例例1 一射手對(duì)目標(biāo)進(jìn)行射擊, 擊中目標(biāo)記為1分, 未中目標(biāo)記為0分. 設(shè)X表示該射手在一次射擊中的得分, 它是一個(gè)隨機(jī)變量, 可以表示為., 0;, 1未中擊中wwX7例例2 觀察某電話交換臺(tái)在一段時(shí)間(0,T內(nèi)接到的呼叫次數(shù). 如果用X表示呼叫次數(shù), 那么X=k(k=0,1,2,)表示一隨機(jī)事件, 顯然Xk(k=0,1,2,)也表示一隨機(jī)事件.8一般地, 若I是一個(gè)實(shí)數(shù)

3、集合, XI記為事件B, 即B=w|X(w)I. 于是PXI=P(B)=Pw|X(w)I.隨機(jī)變量的取值隨試驗(yàn)結(jié)果而定, 而試驗(yàn)的各個(gè)結(jié)果落在某一個(gè)結(jié)果集合中, 或者事件的出現(xiàn)有一定的概率, 因而隨機(jī)變量的取值落在某一實(shí)數(shù)集合內(nèi)有一定的概率. 當(dāng)然, 有的時(shí)候這一集合中只包含一個(gè)數(shù)a, 這個(gè)時(shí)候可記X落在此集合中的概率為PX=a.9例例1 一射手對(duì)目標(biāo)進(jìn)行射擊, 擊中目標(biāo)記為1分, 未中目標(biāo)記為0分. 設(shè)X表示該射手在一次射擊中的得分, 它是一個(gè)隨機(jī)變量, 可以表示為., 0;, 1未中擊中wwX在此例中, 若假定該射手的命中率為0.9, 則PX=1=0.9, 且PX=0=0.1, 還有PX0

4、.5=0.1, P0X1=0.10引入隨機(jī)變量, 就是可以設(shè)想所有的實(shí)驗(yàn)都在實(shí)數(shù)軸上進(jìn)行, 也就是設(shè)想樣本空間W就只是實(shí)數(shù)軸.按照隨機(jī)變量可能取值的情況, 可以把它們分為兩類: 離散型隨機(jī)變量和非離散型隨機(jī)變量, 而非離散型隨機(jī)變量中最重要的是連續(xù)型隨機(jī)變量. 因此, 本章主要研究離散型及連續(xù)型這兩種隨機(jī)變量.11第二節(jié) 離散型隨機(jī)變量12定義定義 如果隨機(jī)變量的全部可能取的值只有有限個(gè)或可列無(wú)限多個(gè), 則稱這種隨機(jī)變量為離離散型隨機(jī)變量散型隨機(jī)變量.例如, 第一節(jié)例1的隨機(jī)變量X, 它只可能取0,1兩個(gè)值; 以及例2的隨機(jī)變量X, 它可能取0,1,2,可列無(wú)限個(gè)值.13一般地, 設(shè)離散型隨機(jī)

5、變量X所有可能取的值為xk(k=1,2,), X取各個(gè)可能值的概率, 即事件X=xk的概率為PX=xk=pk, k=1,2,(1)稱(1)式為離散型隨機(jī)變量X的分布律分布律.分布律也可以直觀地用下面的表格來(lái)表示:Xx1x2xnpkp1p2pn1415例例1 某系統(tǒng)有兩臺(tái)機(jī)器相互獨(dú)立地運(yùn)轉(zhuǎn). 設(shè)第一臺(tái)與第二臺(tái)機(jī)器發(fā)生故障的概率分別為0.1, 0.2. 以X表示系統(tǒng)中發(fā)生故障的機(jī)器數(shù), 求X的分布率.解解 設(shè)Ai表示事件第i臺(tái)機(jī)器發(fā)生故障, i=1,2, 則121212120()0.9 0.80.72,1()()0.1 0.80.9 0.20.262()0.1 0.20.02P XP A AP X

6、P A AP A AP XP A A16解解 設(shè)Ai表示事件第i臺(tái)機(jī)器發(fā)生故障, i=1,2, 則121212120()0.9 0.80.72,1()()0.1 0.80.9 0.20.262()0.1 0.20.02P XP A AP XP A AP A AP XP A A故所求的概率分布為X012pk0.720.260.0217下面介紹三種重要的離散型隨機(jī)變量的分布.(一一) (0-1)分布分布設(shè)隨機(jī)變量X只可能取0與1兩個(gè)值, 它的分布律是PX=k=pkq1-k,k=0,1, p+q=1(0p1), (2)則稱X服從(0-1)分布或兩點(diǎn)分布.(0-1)分布的分布律也可寫成X01pkqp1

7、8對(duì)于任何一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)E, 任給它的樣本空間W中的一個(gè)事件A, 0P(A)1, 總能在W上定義一個(gè)針對(duì)此事件A的, 服從(0-1)分布的隨機(jī)變量AAXXwww當(dāng)當(dāng), 1, 0)(來(lái)描述這個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)的事件A發(fā)生與否的情況. 例如, 檢查產(chǎn)品的質(zhì)量是否合格, 對(duì)新生嬰兒的性別進(jìn)行登記, 檢驗(yàn)種子是否發(fā)芽及前面多次討論過的拋硬幣試驗(yàn)都可以用(0-1)分布的隨機(jī)變量來(lái)描述.1920例如, E是拋擲一枚硬幣觀察得到正面或反面, A表示得正面, 這是一個(gè)伯努利試驗(yàn). 如果將硬幣拋擲n次, 就是n重伯努利試驗(yàn). 又如檢查一件產(chǎn)品的質(zhì)量, 若A表示得到合格品, A表示得到次品, 這也是一個(gè)伯努利試驗(yàn). 從一大

8、批同種產(chǎn)品中連續(xù)取出n件作放回抽樣, 這就是n重伯努利試驗(yàn). 在n重伯努利試驗(yàn)中, 我們主要關(guān)心的是事件A(或事件A)發(fā)生的次數(shù).21以X表示n重伯努利試驗(yàn)中事件A出現(xiàn)的次數(shù), X是一個(gè)隨機(jī)變量, 它所有可能的取值為0,1,2,n. 現(xiàn)在來(lái)求它的分布律.若以Bk記n重伯努利試驗(yàn)中事件A正好出現(xiàn)k次這一事件, 即事件X=k, 而以Ai表示第i次試驗(yàn)中出現(xiàn)事件A, 以Ai表示第i次試驗(yàn)中出現(xiàn)A, 則121121kkknn kn knBA AA AAA AAAA- (3)22121121kkknn kn knBA AA AAA AAAA- (3)121121()() ()() ()()kknkknk

9、n kP A AA AAP A P AP A P AP Ap q-其中q=1-p.23同理可得(3)中右邊各項(xiàng)所對(duì)應(yīng)的概率均為pnqn-k, 利用概率的加法定理知()kn kknP Bp qk- 即(),0,1,2,(4)kn knP Xkp qknk- 24顯然PX=k0;(),0,1,2,(4)kn knP Xkp qknk- 00()1,nnkn knkknP Xkp qpqk- 25例例2 已知某類產(chǎn)品的次品率為0.2, 現(xiàn)從一大批這類產(chǎn)品中隨機(jī)地抽查20件, 問恰好有k件(k=0,1,20)次品的概率是多少?解解 這是不放回抽樣. 但由于這批產(chǎn)品的總數(shù)很大, 且抽查的產(chǎn)品的數(shù)量相對(duì)于

10、產(chǎn)品的總數(shù)來(lái)說(shuō)又很小, 因此可以當(dāng)作放回抽樣來(lái)處理. 這樣做會(huì)有一些誤差, 但誤差不大. 我們將檢查一件產(chǎn)品是否為次品看成一次試驗(yàn), 檢查20件產(chǎn)品相當(dāng)于做20重伯努利試驗(yàn). 以X記抽出的20件產(chǎn)品中次品的件數(shù), 則X是一個(gè)隨機(jī)變量, 且有Xb(20, 0.2), 故所求的概率為26將計(jì)算結(jié)果列表如下:2020(0.2) (0.8),0,1,20.kkP Xkkk-kPX=kkPX=k00.01260.10910.05870.05520.13780.02230.20590.00740.218100.00250.175110是常數(shù), 則稱X服從參數(shù)為的泊松分泊松分布布, 記為Xp().顯然, P

11、X=k0, k=0,1,2, 且有000eeee1!kkkkkP Xkkk-即PX=k滿足分布律的兩個(gè)條件.32具有泊松分布的隨機(jī)變量在實(shí)際應(yīng)用中是很多的. 例如電話交換臺(tái)接到的呼叫次數(shù), 公共汽車站到達(dá)的乘客數(shù), 一本書一頁(yè)中的印刷錯(cuò)誤數(shù)以及放射性分裂落到某區(qū)域的質(zhì)點(diǎn)數(shù)等等都服從泊松分布. 一般地, 泊松分布可以作為描述大量重復(fù)試驗(yàn)中稀有事件出現(xiàn)的頻數(shù)的概率分布情況的數(shù)學(xué)模型.33例例4 商店的歷史銷售記錄表明, 某種商品每月的銷售量服從參數(shù)為=10的泊松分布. 為了以95%以上的概率保證該商品不脫銷, 問商店在月底至少應(yīng)進(jìn)該商品多少件?解解 設(shè)商店每月銷售某種商品X件, 月底的進(jìn)貨量為n件, 按題意要求為PXn0.95,X服從=1