正定矩陣概念及例題

1、正定二次型和正定矩陣的概念正定二次型和正定矩陣的概念判別二次型或矩陣正定的方法判別二次型或矩陣正定的方法 正定二次型正定二次型下頁關(guān)閉 正定二次型是二次型中討論最多的類型，本節(jié)正定二次型是二次型中討論最多的類型，本節(jié)結(jié)合二次型的標(biāo)準(zhǔn)型中系數(shù)給出正定二次型的概念，結(jié)合二次型的標(biāo)準(zhǔn)型中系數(shù)給出正定二次型的概念，并給出了判定二次型正定及實(shí)對(duì)稱矩陣的幾種方法。并給出了判定二次型正定及實(shí)對(duì)稱矩陣的幾種方法。 二次型的標(biāo)準(zhǔn)形不是唯一的。二次型的標(biāo)準(zhǔn)形不是唯一的。 標(biāo)準(zhǔn)形中所含項(xiàng)數(shù)是確定的標(biāo)準(zhǔn)形中所含項(xiàng)數(shù)是確定的( 即是二次型的秩即是二次型的秩 )。 限定變換為實(shí)變換時(shí)，標(biāo)準(zhǔn)形中正系數(shù)的個(gè)數(shù)是限定變換為實(shí)變

2、換時(shí)，標(biāo)準(zhǔn)形中正系數(shù)的個(gè)數(shù)是不變的。不變的。正定二次型和正定矩陣的概念正定二次型和正定矩陣的概念定理定理11 ( 慣性定理慣性定理 ) 設(shè)有實(shí)二次型設(shè)有實(shí)二次型, xAxfT 它的秩是它的秩是 r ，有兩個(gè)實(shí)的可逆變換，有兩個(gè)實(shí)的可逆變換, zPxyCx 與與.,)0(,)0(,212122222112222211個(gè)數(shù)相等個(gè)數(shù)相等中正數(shù)的中正數(shù)的中正數(shù)的個(gè)數(shù)與中正數(shù)的個(gè)數(shù)與則則及及使使rrirrirrkkkzzzkykykyk 上頁下頁返回正數(shù)的個(gè)數(shù)稱為正數(shù)的個(gè)數(shù)稱為正慣性指數(shù)正慣性指數(shù)，負(fù)數(shù)的個(gè)數(shù)，負(fù)數(shù)的個(gè)數(shù)稱為稱為負(fù)慣性指數(shù)負(fù)慣性指數(shù)對(duì)任何對(duì)任何 x 0 , 都有都有 f(x) 0 , 則

3、稱則稱 f 為為負(fù)定二次型負(fù)定二次型，并稱對(duì)稱陣并稱對(duì)稱陣 A 是是負(fù)定的負(fù)定的 ，記作，記作 A 0,（顯然（顯然 f(0) = 0 ），則稱），則稱 f 為為正定正定二次型二次型，并稱對(duì)稱陣，并稱對(duì)稱陣 A 是是正定的正定的。記作。記作 A 0 ；如果；如果定理定理12 實(shí)二次型實(shí)二次型xAxfT 為正定的充分為正定的充分必要條件是：它的標(biāo)準(zhǔn)形的必要條件是：它的標(biāo)準(zhǔn)形的 n 個(gè)系數(shù)全為正。個(gè)系數(shù)全為正。證證 設(shè)可逆變換設(shè)可逆變換使使yCx 上頁下頁返回先證充分性先證充分性. 0)(, 0, 0)., 2 , 1(0121 niiiiykxfxCxnik故故則則任給任給設(shè)設(shè) 推論推論 對(duì)稱陣

4、對(duì)稱陣 A 為正定的充分必要條件是：為正定的充分必要條件是：A 的特的特征值全為正。征值全為正。再證必要性：用反證法。假設(shè)有再證必要性：用反證法。假設(shè)有 ks 0 , 則則,時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)sey ( 單位坐標(biāo)向量單位坐標(biāo)向量 ) 時(shí)，時(shí)，, 0)( sskeCf. 0 seC顯然顯然這與假設(shè)這與假設(shè) f 正定矛盾，正定矛盾，. 0 ik故故上頁下頁返回 定理定理13 對(duì)稱陣對(duì)稱陣 A 為正定的充分必要條件是：為正定的充分必要條件是：A 的各階主子式都為正。即的各階主子式都為正。即; 0, 0, 011112221121111 nnnnaaaaaaaaa對(duì)稱陣對(duì)稱陣 A 為負(fù)定的充分必要條件是：奇數(shù)階

5、主子式為為負(fù)定的充分必要條件是：奇數(shù)階主子式為負(fù)，而偶數(shù)階主子式為正。即負(fù)，而偶數(shù)階主子式為正。即)., 2 , 1( , 0)1(1111nraaaarrrrr 這個(gè)定理稱為這個(gè)定理稱為霍爾維茲定理霍爾維茲定理。上頁下頁返回 注意：對(duì)于二次型，除了有正定和負(fù)定以外，注意：對(duì)于二次型，除了有正定和負(fù)定以外，還有半正定和半負(fù)定及不定二次型等概念。還有半正定和半負(fù)定及不定二次型等概念。上頁下頁返回判別矩陣正定的方法判別矩陣正定的方法 根據(jù)正定矩陣的定義及性質(zhì)，判別對(duì)稱矩陣根據(jù)正定矩陣的定義及性質(zhì)，判別對(duì)稱矩陣A 的正定性有兩種方法。的正定性有兩種方法。 一是求出一是求出A 的所有特征值。若的所有特

6、征值。若A 的特征值均為的特征值均為正數(shù)，則正數(shù)，則A 是正定的；若是正定的；若A 的特征值均為負(fù)數(shù)，則的特征值均為負(fù)數(shù)，則A 為負(fù)定的。為負(fù)定的。 二是計(jì)算二是計(jì)算A 的各階主子式。若的各階主子式。若A 的各階主子式的各階主子式均大于零，則均大于零，則A 是正定的；若是正定的；若A 的各階主子式中，的各階主子式中，奇數(shù)階主子式為負(fù)，偶數(shù)階為正，則奇數(shù)階主子式為負(fù)，偶數(shù)階為正，則A 為負(fù)定的。為負(fù)定的。上頁下頁返回例例16 判定對(duì)稱矩陣判定對(duì)稱矩陣 300031013A正定性。正定性。解解 方法一方法一, 0311 a因?yàn)橐驗(yàn)? 08311322211211 aaaa, 02430003101

7、3| A所以所以A 是正定的。是正定的。上頁下頁返回),4)(3)(2(300031013| EA方法二：方法二：A 的特征多項(xiàng)式為的特征多項(xiàng)式為. 4, 3, 2321正正定定的的是是從從而而知知的的特特征征值值為為故故AA 上頁下頁返回 由實(shí)二次型的矩陣表示及對(duì)稱矩陣的正定性判由實(shí)二次型的矩陣表示及對(duì)稱矩陣的正定性判別法知，判斷二次型的正定性也有兩種方法。別法知，判斷二次型的正定性也有兩種方法。 一是利用對(duì)稱矩陣一是利用對(duì)稱矩陣A 的正定性。若二次型的正定性。若二次型 f 的的對(duì)稱矩陣對(duì)稱矩陣A 是正定的，則是正定的，則f 是正定二次型；若是正定二次型；若A 是是負(fù)定的，則負(fù)定的，則 f

8、也是負(fù)定二次型。也是負(fù)定二次型。 二是將二是將 f 化為標(biāo)準(zhǔn)形。若其標(biāo)準(zhǔn)形的化為標(biāo)準(zhǔn)形。若其標(biāo)準(zhǔn)形的 n 個(gè)系數(shù)個(gè)系數(shù)全為正，則全為正，則 f 是正定的；若是正定的；若 f 的標(biāo)準(zhǔn)形的的標(biāo)準(zhǔn)形的 n 個(gè)系數(shù)個(gè)系數(shù)全為負(fù)，則全為負(fù)，則 f 是負(fù)定的。是負(fù)定的。 由于將由于將 f 化為標(biāo)準(zhǔn)形非常復(fù)雜，因此第二種方化為標(biāo)準(zhǔn)形非常復(fù)雜，因此第二種方法一般不用。法一般不用。上頁下頁返回判別二次型正定的方法判別二次型正定的方法解解f 的矩陣是的矩陣是,402062225 A, 080, 0266225, 052221121111 Aaaaaa所以所以 f 是負(fù)定的。是負(fù)定的。例例1717判別二次型判別二次

9、型xzxyzyxf44465222 的正定性。的正定性。A 的各階主子式為：的各階主子式為：上頁下頁返回例例18設(shè)二次型設(shè)二次型.,42244323121232221為為正正定定二二次次型型取取何何值值時(shí)時(shí)問問fxxxxxxxxxf 解解f 的矩陣是的矩陣是,4212411 A, 0)2)(1(4, 0441, 022221121111 AaaaaaA 的各階主子式為：的各階主子式為：.,12二次型為正定的二次型為正定的時(shí)時(shí)解得解得 上頁下頁返回Ex.11判別二次型判別二次型2331212142xxxxxxf 解解f 的矩陣是的矩陣是,102001211 A, 01102001211, 010

10、111, 012221121111 Aaaaaa所以所以 f 既不是正定的，也不是負(fù)定的，即不定二次既不是正定的，也不是負(fù)定的，即不定二次型。型。的正定性。的正定性。A 的各階主子式為：的各階主子式為：上頁下頁返回例例19 設(shè)設(shè)C 是滿秩矩陣，實(shí)對(duì)稱矩陣是滿秩矩陣，實(shí)對(duì)稱矩陣A 是正定的，是正定的，則則C TAC是正定的。是正定的。證證因?yàn)橐驗(yàn)锳 為正定，所以對(duì)任意為正定，所以對(duì)任意, 0 x, 0 xAxfT有有, yCx 作作,)(yACCyfTT 則則, 0,01 xCyCx得得可逆可逆及及由由, 0)( yACCyxAxfTTT從從而而即即C TAC是正定的。是正定的。上頁下頁返回Ex

11、.12 證明：若實(shí)對(duì)稱矩陣證明：若實(shí)對(duì)稱矩陣A = ( aij ) 為正定矩陣，為正定矩陣，則則 aii 0 ( i =1, 2, , n ).證證因?yàn)橐驗(yàn)锳 為正定，所以對(duì)任意為正定，所以對(duì)任意, 0 x, 0 xAxfT有有),0 , 1 , 0( Tiex取取)., 2 , 1(0niaxAxiiT 則則上頁返回第五章小結(jié)第五章小結(jié) 本章通過向量的內(nèi)積，從而給本章通過向量的內(nèi)積，從而給n維向量建立了度維向量建立了度量的概念，結(jié)合方陣的特征值理論，給出了判定矩量的概念，結(jié)合方陣的特征值理論，給出了判定矩陣是否可以對(duì)角化的判定方法；通過對(duì)實(shí)對(duì)稱矩陣陣是否可以對(duì)角化的判定方法；通過對(duì)實(shí)對(duì)稱矩陣

12、所具有的特點(diǎn)，說明實(shí)對(duì)稱矩陣不僅可以相似對(duì)角所具有的特點(diǎn)，說明實(shí)對(duì)稱矩陣不僅可以相似對(duì)角化，而且可以正交對(duì)角化；從而為二次型化標(biāo)準(zhǔn)型化，而且可以正交對(duì)角化；從而為二次型化標(biāo)準(zhǔn)型提供了一種重要方法：正交變換法。由二次型與實(shí)提供了一種重要方法：正交變換法。由二次型與實(shí)對(duì)稱矩陣的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，將二次型的討論轉(zhuǎn)化為對(duì)稱矩陣的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，將二次型的討論轉(zhuǎn)化為矩陣的討論，并討論了正定二次型。矩陣的討論，并討論了正定二次型。上頁下頁返回第五章主要方法第五章主要方法一一) 方陣的特征值與特征向量的求法方陣的特征值與特征向量的求法|;|)().1(EAfA 的特征多項(xiàng)式的特征多項(xiàng)式計(jì)算計(jì)算;,0)().2(的

13、全部特征值的全部特征值即即的全部根的全部根求出求出Af ., 0)().3(的的全全部部特特征征向向量量于于特特征征值值的的屬屬線線性性組組合合就就是是則則這這個(gè)個(gè)基基礎(chǔ)礎(chǔ)解解系系的的非非零零系系個(gè)個(gè)基基礎(chǔ)礎(chǔ)解解并并求求出出這這個(gè)個(gè)方方程程組組的的一一線線性性方方程程組組的的特特征征值值逐逐個(gè)個(gè)代代入入齊齊次次把把 AxEAA 上頁下頁返回二二 ) 用正交方陣將方陣化為對(duì)角陣的方法用正交方陣將方陣化為對(duì)角陣的方法 (1).求求A 的特征值；的特征值； (2).求求A 的特征值對(duì)應(yīng)的的特征值對(duì)應(yīng)的n 個(gè)線性無關(guān)的特征向量；個(gè)線性無關(guān)的特征向量； (3). 將重特征值所對(duì)應(yīng)的特征向量正交化，連同單

14、將重特征值所對(duì)應(yīng)的特征向量正交化，連同單特征值所對(duì)應(yīng)的特征向量一起就得到兩兩正交的特征特征值所對(duì)應(yīng)的特征向量一起就得到兩兩正交的特征向量；向量； (4). 將將 (3) 中中 n 個(gè)特征向量單位化，得到個(gè)特征向量單位化，得到 n 個(gè)兩兩個(gè)兩兩正交的單位特征向量；正交的單位特征向量； (5). 以這些特征向量作為列向量的矩陣就是所求的以這些特征向量作為列向量的矩陣就是所求的正交矩陣，且有正交矩陣，且有.1 APP上頁下頁返回三三) 化二次型為標(biāo)準(zhǔn)型的方法化二次型為標(biāo)準(zhǔn)型的方法 (1).正交變換法正交變換法 1 .寫出二次型對(duì)應(yīng)的矩陣寫出二次型對(duì)應(yīng)的矩陣A . 2 .將將A化為對(duì)角陣，求出正交陣化為對(duì)角陣，求出正交陣P . 3 .寫出標(biāo)準(zhǔn)型，且正交變換為寫出標(biāo)準(zhǔn)型，且正交變換為X=PY . (2).配方法配方法 1.含有平方項(xiàng)，直接配方；含有平方項(xiàng)，直接配方； 2.不含有平方項(xiàng)不含有平方項(xiàng),化成含有平方項(xiàng)化成含有平