181924　241　拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程

1、2.4拋物線2.4.1拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程學(xué)習(xí)目標(biāo)：1.掌握拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程(重點)2.掌握求拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的基本方法自 主 預(yù) 習(xí)探 新 知拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程標(biāo)準(zhǔn)方程y22pxy22pxx22pyx22py圖形焦點坐標(biāo)準(zhǔn)線方程xxyy開口方向向右向左向上向下基礎(chǔ)自測1判斷正誤：(1)標(biāo)準(zhǔn)方程y22px(p0)中p的幾何意義是焦點到準(zhǔn)線的距離()(2)拋物線的焦點位置由一次項及一次項系數(shù)的正負(fù)決定()(3)x22y表示的拋物線開口向左()【解析】(1).拋物線y22px(p0)的焦點為，準(zhǔn)線為x，故焦點到準(zhǔn)線的距離是p.(2).一次項決定焦點所在的坐標(biāo)軸，一次項系數(shù)的正負(fù)決定焦點是在正半軸或負(fù)半軸上

2、，故該說法正確(3).x22y表示的拋物線開口向下【答案】(1)(2)(3)2焦點坐標(biāo)為(0,2)的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為_【解析】由題意知p224，焦點在y軸正半軸上，方程為x224y，即x28y.【答案】x28y合 作 探 究攻 重 難求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程分別求滿足下列條件的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程： (1)準(zhǔn)線方程為2y40；(2)過點(3，4)；(3)焦點在直線x3y150上. 【導(dǎo)學(xué)號：95902128】思路探究【自主解答】(1)準(zhǔn)線方程為2y40，即y2，故拋物線焦點在y軸的正半軸上，設(shè)其方程為x22py(p0)又2，所以2p8，故拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x28y.(2)點(3，4)在第四象限，設(shè)拋物

3、線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y22px(p0)或x22p1y(p10)把點(3，4)的坐標(biāo)分別代入y22px和x22p1y，得(4)22p3,322p1(4)，即2p，2p1.所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2x或x2y.(3)令x0得y5；令y0得x15.拋物線的焦點為(0，5)或(15,0)所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x220y或y260x.規(guī)律方法求拋物線方程的主要方法是待定系數(shù)法(1)若已知拋物線的焦點位置，則可設(shè)出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，求出p值即可；(2)若拋物線的焦點位置不確定，則要分情況討論.注意：焦點在x軸上的拋物線方程可統(tǒng)一設(shè)成y2ax(a0)，焦點在y軸上的拋物線方程可統(tǒng)一設(shè)成x2ay(a0).跟蹤訓(xùn)練1

4、(1)焦點在x軸上，且焦點在雙曲線1上的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為_(2)拋物線的頂點在原點，對稱軸重合于橢圓9x216y2144的短軸所在的直線，拋物線焦點到頂點的距離為3，則拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為_【解析】(1)由題意可設(shè)拋物線方程為y22mx(m0)，則焦點為.焦點在雙曲線1上，1，求得m4，所求拋物線方程為y28x或y28x.(2)橢圓的方程可化為1，其短軸在y軸上，拋物線的對稱軸為y軸，設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x22py或x22py(p0)，由拋物線焦點到頂點的距離為3得3，p6，拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x212y或x212y.【答案】(1)y28x或y28xx212y或x212y由拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程求焦點

5、坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程求下列拋物線的焦點坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程：(1)yx2；(2)xy2(a0). 【導(dǎo)學(xué)號：95902129】思路探究【自主解答】(1)拋物線yx2的標(biāo)準(zhǔn)形式為x24y，所以p2，所以焦點坐標(biāo)是(0,1)，準(zhǔn)線方程是y1.(2)拋物線xy2的標(biāo)準(zhǔn)形式為y2ax，所以p，故焦點在x軸上，坐標(biāo)為，準(zhǔn)線方程為x.規(guī)律方法求拋物線焦點坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程的步驟：跟蹤訓(xùn)練2求拋物線ay2x(a0)的焦點坐標(biāo)與準(zhǔn)線方程【解析】把拋物線ay2x(a0)方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式為y2x，所以拋物線的焦點坐標(biāo)為，準(zhǔn)線方程為x.拋物線的定義及標(biāo)準(zhǔn)方程的應(yīng)用探究問題1拋物線定義是什么？能否用數(shù)學(xué)式表示拋物線的定義？【提示】平

6、面內(nèi)到一定點F和一條定直線l(F不在l上)的距離相等的點的軌跡叫做拋物線設(shè)拋物線上任意一點P，點P到直線l的距離為PD，則拋物線的定義可表示為PFPD.2拋物線y22px(p0)上一點P的橫坐標(biāo)為x0，那么點P到其焦點F的距離是什么？【提示】拋物線y22px(p0)的準(zhǔn)線方程為x，根據(jù)拋物線的定義可知拋物線上的點到焦點的距離等于其到準(zhǔn)線的距離，所以點P到其焦點F的距離為PFx0x0.3探究2中得到的用點P的橫坐標(biāo)表示其到焦點的距離的公式稱為拋物線的焦半徑公式，對于其它三種形式的方程的焦半徑公式是什么？【提示】設(shè)拋物線上一點P的橫坐標(biāo)為x0，對于拋物線y22px(p0)，PFx0；設(shè)拋物線上一點

7、P的縱坐標(biāo)為y0，對于拋物線x22py(p0)，PFy0y0；設(shè)拋物線上一點P的縱坐標(biāo)為y0，對于拋物線x22py(p0)，PFy0.4通過以上探究，你得到了什么啟示？【提示】當(dāng)題目中涉及拋物線上的點到焦點的距離時，一般轉(zhuǎn)化為拋物線上的點到準(zhǔn)線的距離較為簡單，這樣就將兩點間的距離轉(zhuǎn)化為點到直線的距離，將二次問題轉(zhuǎn)化為一次問題已知拋物線的方程為y22x，F(xiàn)是其焦點，點A(4,2)，在拋物線上是否存在點M，使MAMF取得最小值？若存在，求此時點M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由思路探究【自主解答】如圖，由于點M在拋物線上，所以MF等于點M到其準(zhǔn)線l的距離MN，于是MAMFMAMN，所以當(dāng)A，M，N三點

8、共線時，MAMN取最小值，亦即MAMF取最小值，這時M的縱坐標(biāo)為2，可設(shè)M(x0,2)代入拋物線方程得x02，即M(2,2)規(guī)律方法1此類題目的實質(zhì)是拋物線定義的應(yīng)用，將拋物線上的點到焦點的距離轉(zhuǎn)化成到準(zhǔn)線的距離，從而化曲為直，利用點到直線的距離求最小值2涉及拋物線上任意一點P與平面上的定點A以及拋物線焦點F的距離和PAPF的最小值問題，有以下處理思路：(1)若點A在拋物線外部，則直線FA與拋物線的交點P使得PAPF最小，其最小值為AF；(2)若點A在拋物線內(nèi)部，則過A點作與準(zhǔn)線l垂直的直線，它與拋物線的交點為P，則PAPF最小，其最小值為點A到準(zhǔn)線l的距離跟蹤訓(xùn)練3已知點P是拋物線y22x上

9、的一個動點，則點P到點A(0，2)的距離與P到該拋物線準(zhǔn)線的距離之和的最小值為_. 【導(dǎo)學(xué)號：95902130】【解析】如圖，由拋物線定義知PAPQPAPF，則所求距離之和的最小值轉(zhuǎn)化為求PAPF的最小值，則當(dāng)A、P、F三點共線時，PAPF取得最小值又A(0,2)，F(xiàn)，(PAPF)minAF.【答案】構(gòu)建體系 當(dāng) 堂 達(dá) 標(biāo)固 雙 基1拋物線x216y的焦點坐標(biāo)是_. 【導(dǎo)學(xué)號：95902131】【解析】4，焦點在y軸上，開口向下，焦點坐標(biāo)應(yīng)為，即(0，4)【答案】(0，4)2拋物線yx2的準(zhǔn)線方程是_【解析】由yx2得x24y，所以拋物線的準(zhǔn)線方程是y1.【答案】y1 3.拋物線y24x的焦點到雙曲線1漸近線的距離為_【解析】拋物線焦點F(1,0)，雙曲線漸近線為3x4y0，點F到直線3x4y0的距離為d.【答案】4頂點在坐標(biāo)原點，對稱軸為坐標(biāo)軸，過點(2,3)的拋物線方程是_【解析】點(2,3)在第二象限，設(shè)拋物線方程為y22px(p0)或x22py(p0)，又點(2,3)在拋物線上，p，p，拋物線方程為y2x或x2y.【答案】y2x或x