北師大版八年級數(shù)學(xué)下第二章學(xué)案(共15頁)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上第一課 分解因式本節(jié)知識點(diǎn)：1.理解分解因式的概念和意義.2.理解分解因式與整式乘法是互逆變形.知識點(diǎn)1分解因式的定義討論99399能被100整除嗎？你是怎樣想的？與同伴交流.小明是這樣做的：99399=99×99299=99×（9921）=99×9800=99×98×100其中有一個因數(shù)為100，所以99399能被100整除.想一想99399還能被哪些正整數(shù)整除？在這里，解決問題的關(guān)鍵是把一個數(shù)化成了幾個數(shù)的積的形式。例題1（1）計(jì)算下列各式：（m+4）（m4）=_;（y3）2=_;3x（x1）=_;m（a+b+c）

2、=_;a（a+1）（a1）=_.（2）根據(jù)上面的算式填空：3x23x=（ ）（ ）;m216=（ ）（ ）;ma+mb+mc=（ ）（ ）;y26y+9=（ ）2.a3a=（ ）（ ）（ ）在（1）中我們知道從左邊推右邊是整式乘法；在（2）中由多項(xiàng)式推出整式乘積的形式是因式分解.把一個多項(xiàng)式化成幾個整式的積的形式，這種變形叫做把這個多項(xiàng)式分解因式.筆記：（1）分解因式的對象是多項(xiàng)式，不是單項(xiàng)式，也不是分式。 （2）分解因式的結(jié)果必須是整式的乘積的形式，且每個因式的次數(shù)必須低于原來的次數(shù)。 （3）不是所有的多項(xiàng)式都能分解因式。 （4）分解因式要徹底，直到不能分解為止。針對性訓(xùn)練11 下列各式從左

3、到右的變形是分解因式的是（ ）。Aa（ab）a2abBa22a1a（a2）1Cx2xx（x1）Dx2（x）（x）知識點(diǎn)2 分解因式與整式乘法的關(guān)系如果把整式乘法看做一個變形過程，那么多項(xiàng)式的分解因式就是它的逆變形。實(shí)質(zhì)上，整式乘法和分解因式就是互逆的恒等變形過程。ma+mb+mc m（a+b+c） ( a-b）(a+b ) 筆記：（1）整式乘法中，變形對象是整式相乘的形式，所得結(jié)果是多項(xiàng)式，即單項(xiàng)式×多項(xiàng)式的結(jié)果是多項(xiàng)式；多項(xiàng)式×多項(xiàng)式的結(jié)果是多項(xiàng)式。 （2）分解因式時，變形對象是多項(xiàng)式，即把一個多項(xiàng)式化成單項(xiàng)式×多項(xiàng)式或者多項(xiàng)式×多項(xiàng)式的形式，所得結(jié)果

4、是乘積的形式。 （3）整式乘法和分解因式就是互逆的恒等變形過程。 針對性訓(xùn)練2下列各式從左到右的變形，哪些是因式分解？（1）4a（a+2b）=4a2+8ab; ( )（2）6ax3ax2=3ax（2x）; ( )（3）a24=（a+2）（a2）; ( )（4）x23x+2=x（x3）+2. ( )針對性訓(xùn)練3 連一連：9x24y2 a（a1）24a28ab4 b2 3a（a2）3 a26a 4（ab）2a32 a2a （3x2y）（3x2y）思考題：320023200132000能被5整除嗎？為什么？第二節(jié) 提公因式法（二）教學(xué)目的：能提取公因式為單項(xiàng)式的式子引入：計(jì)算：（1）（2）多項(xiàng)式2x

5、2y+6x3y2中各項(xiàng)的公因式是什么？結(jié)論：（1）各項(xiàng)系數(shù)是整數(shù)，系數(shù)的最大公約數(shù)是公因式的系數(shù)； （2）各項(xiàng)都含有的字母的最低次冪的積是公因式的字母部分； （3）公因式的系數(shù)與公因式字母部分的積是這個多項(xiàng)式的公因式例題1 將以下多項(xiàng)式寫成幾個因式的乘積的形式：（1）ab+ac （2）x2+4x （3）mb2+nbb練習(xí) 將下列多項(xiàng)式進(jìn)行分解因式：（1）3x+6 （2）7x221x （3）8a3b212ab3c+ab （4）24x312x2+28x歸納：提取公因式的步驟： （1）找公因式； （2）提公因式易出現(xiàn)的問題：（1）第（3）題中的最后一項(xiàng)提出ab后，漏掉了“+1”； （2）第（4）題提

6、出“”時，后面的因式不是每一項(xiàng)都變號矯正對策：（1）因式分解后括號內(nèi)的多項(xiàng)式的項(xiàng)數(shù)與原多項(xiàng)式的項(xiàng)數(shù)是否相同； （2）如果多項(xiàng)式的第一項(xiàng)帶“”，則先提取“”號，然后提取其它公因式； （3）將分解因式后的式子再進(jìn)行單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，其積是否與原式相等反饋練習(xí) 1、找出下列各多項(xiàng)式的公因式：（1）4x+8y （2）am+an （3）48mn24m2n3 （4）a2b2ab2+ab 2、將下列多項(xiàng)式進(jìn)行分解因式： （1）8x72 （2）a2b5ab （3）4m38m2（4）a2b2ab2+ab（5）48mn24m2n3 （6）2x2y+4xy22xy第三課 提公因式法（二）本節(jié)知識點(diǎn)：1、 能觀察出

7、公因式是多項(xiàng)式的情況，并能合理地進(jìn)行分解因式知識點(diǎn)1公因式公因式的定義:多項(xiàng)式各項(xiàng)都含有的相同因式，叫做這個多項(xiàng)式各項(xiàng)的公因式。如（a+b）就是多項(xiàng)式(a+b)d+(a+b)c各項(xiàng)的公因式。筆記：公因式是多項(xiàng)式中每一項(xiàng)都含有的公共因式，可以是數(shù)字、也可以是字母，也可以是多項(xiàng)式。例題1 多項(xiàng)式中各項(xiàng)的公因式是什么？針對性訓(xùn)練1 寫出下列多項(xiàng)式各項(xiàng)的公因式.（1）a（x5）+2b（x5） （ ）（2） 6（mn）312（nm）2. （ ）（3） 9（p+q）212（q+p） （ ）（4）5（m2）+9（2m） （ ）知識點(diǎn)1提公因式法例題2 把a(bǔ)（x3）+2b（x3）分解因式.分析：這個多項(xiàng)式整體

8、而言可分為兩大項(xiàng)，即a（x3）與2b（x3），每項(xiàng)中都含有（x3）,因此可以把（x3）作為公因式提出來. 針對性訓(xùn)練2 把下列各式分解因式:（1）a（xy）+b（yx）; （2）6（mn）312（nm）2.分析：雖然a（xy）與b（yx）看上去沒有公因式，但仔細(xì)觀察可以看出（xy）與（yx）是互為相反數(shù)，如果把其中一個提取一個“”號，則可以出現(xiàn)公因式，如yx=（xy）.（mn）3與（nm）2也是如此.針對性訓(xùn)練3 請?jiān)谙铝懈魇降忍栍疫叺睦ㄌ柷疤钊搿?”或“”號，使等式成立:（1）2a=_（a2）; （2）yx=_（xy）;（3）b+a=_（a+b）; （4）（ba）2=_（ab）2;（5）mn

9、=_（m+n） （6）s2+t2=_（s2t2）.針對性訓(xùn)練4把下列各式分解因式（1）x（a+b）+y（a+b） （2）3a（xy）（xy）（3）6（p+q）212（q+p） （4）a（m2）+b（2m）（5）2（yx）2+3（xy） （6）mn（mn）m（nm）2針對性訓(xùn)練5把下列各式分解因式（1）5（xy）3+10（yx）2 （2）（ba）2+a（ab）+b（ba）（3）m（ab）n（ba） （4）m（mn）（pq）n（nm）（pq）活動與探究把（a+bc）（ab+c）+（ba+c）·（bac）分解因式.第四課 運(yùn)用公式法（1）本節(jié)知識點(diǎn)：1. 會用平方差公式將多項(xiàng)式分解因式2.

10、 會用完全平方公式將多項(xiàng)式分解因式知識點(diǎn)1用平方差公式分解因式形如的多項(xiàng)式分解因式的方法，即，我們把它叫做分解因式的平方差公式，可以敘述為：兩個數(shù)的平方差，等于這兩個數(shù)的和乘以這兩個數(shù)的差。筆記：（1）公式中的和既可以是單項(xiàng)式，也可以是多項(xiàng)式。 （2）常見的公式變式有：位置變化：；符號變化：系數(shù)變化：指數(shù)變化：增項(xiàng)變化：例題1 把下列各式分解因式（1） （2） 針對性訓(xùn)練1 把下列各式分解因式（1） （2）例題2 把下列各式分解因式（1） （2）針對性訓(xùn)練2 把下列各式分解因式（1） （2）當(dāng)多項(xiàng)式的各項(xiàng)含有公因式時，通常先提出這個公因式，然后再進(jìn)一步分解因式。知識點(diǎn)2 用完全平方公式分解因式

11、乘法公式中形如的多項(xiàng)式分解因式的方法，即，我們稱它為分解因式的完全平方公式，即兩數(shù)的平方和加上（或減去）它們積的2倍，等于這兩個數(shù)和（或差）的平方。 例題3 將下列各式分解因式。（1） (2)例題4 將下列各式分解因式(1) (2) 針對性訓(xùn)練3 把下列各式分解因式（1） （2）（3） （4） 針對性訓(xùn)練4（1） （2）第五課 運(yùn)用公式法（2）本節(jié)知識點(diǎn)：1. 會用完全平方公式將多項(xiàng)式分解因式知識點(diǎn)1 用完全平方公式分解因式乘法公式中形如的多項(xiàng)式分解因式的方法，即，我們稱它為分解因式的完全平方公式，即兩數(shù)的平方和加上（或減去）它們積的2倍，等于這兩個數(shù)和（或差）的平方。練一練：下列各式是不是完

12、全平方式？（1）a24a4；（2）x24x4y2；（3）4a22abb2；（4）a2abb2；（5）x26x9；（6）a2a0.25 例題1 將下列各式分解因式。（1） （2）x24xy4y2分析：大家先把多項(xiàng)式化成符合完全平方公式特點(diǎn)的形式，然后再根據(jù)公式分解因式 針對性訓(xùn)練1 把下列各式分解因式（1） （2）（3） （4）（5）4a24abb2； （6）a2b28abc16c2；例題2 將下列各式分解因式(1) (2) 分析：對一個三項(xiàng)式，如果發(fā)現(xiàn)它不能直接用完全平方公式分解時，要仔細(xì)觀察它是否有公因式，若有公因式應(yīng)先提取公因式，再考慮用完全平方公式分解因式如果三項(xiàng)中有兩項(xiàng)能寫成兩數(shù)或式的

13、平方，但符號不是“”號時，可以先提取“”號，然后再用完全平方公式分解因式 針對性訓(xùn)練2 把下列各式分解因式（1） （2） （3） （4） （5） （6）針對性訓(xùn)練2 把下列各式分解因式求的值。第六課 分解因式的第三種方法-分組分解法提問如何將多項(xiàng)式分解因式?定義分組分解法: 利用分組來分解因式的方法叫做分組分解法。 例題1把下列分解因式(1) (2) 原式= 原式=注意分組時要選擇分組方法，要保證分組后各組有公因式。針對性練習(xí)1把下列多項(xiàng)式分解因式: (1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)例題2把分解因式針對性練習(xí)2把分解因式第七課 分解因式的第四種方法-十字相乘法做一做, 找規(guī)律1

14、、計(jì)算:(1)=_=_;(2)=_=_;(3)=_=_;(4)=_=_;(5)=_=_.2、分解因式:(1)=_;(2)=_;(3)=_;(4)=_;(5)=_.二次三項(xiàng)式 把多項(xiàng)式，稱為字母x的二次三項(xiàng)式，其中稱為二次項(xiàng)，bx為一次項(xiàng)，c為常數(shù)項(xiàng)例如，和都是關(guān)于x的二次三項(xiàng)式在多項(xiàng)式中，如果把y看作常數(shù)，就是關(guān)于x的二次三項(xiàng)式；如果把x看作常數(shù)，就是關(guān)于y的二次三項(xiàng)式在多項(xiàng)式中，把a(bǔ)b看作一個整體，即，就是關(guān)于ab的二次三項(xiàng)式同樣，多項(xiàng)式，把xy看作一個整體，就是關(guān)于xy的二次三項(xiàng)式十字相乘法是適用于二次三項(xiàng)式的分解因式的方法十字相乘法的依據(jù)和具體內(nèi)容利用十字相乘法分解因式，實(shí)質(zhì)上是逆用(a

15、xb)(cxd)豎式乘法法則它的一般規(guī)律是：(1)對于二次項(xiàng)系數(shù)為1的二次三項(xiàng)式，如果能把常數(shù)項(xiàng)q分解成兩個因數(shù)a，b的積，并且ab為一次項(xiàng)系數(shù)p，那么它就可以運(yùn)用公式 分解因式這種方法的特征是“拆常數(shù)項(xiàng)，湊一次項(xiàng)”公式中的x可以表示單項(xiàng)式，也可以表示多項(xiàng)式，當(dāng)常數(shù)項(xiàng)為正數(shù)時，把它分解為兩個同號因數(shù)的積，因式的符號與一次項(xiàng)系數(shù)的符號相同；當(dāng)常數(shù)項(xiàng)為負(fù)數(shù)時，把它分解為兩個異號因數(shù)的積，其中絕對值較大的因數(shù)的符號與一次項(xiàng)系數(shù)的符號相同【口訣】：系數(shù)分解豎直寫，符號分解常數(shù)析，交叉相乘湊中項(xiàng)，橫向?qū)懗鰞梢蚴健＠}1 把下列各式分解因式：(1)； (2)分析(1)常數(shù)項(xiàng)15可分為3 ×(5)

16、，且3(5)2恰為一次項(xiàng)系數(shù)；(2)將y看作常數(shù)，轉(zhuǎn)化為關(guān)于x的二次三項(xiàng)式，常數(shù)項(xiàng)可分為(2y)(3y)，而(2y)(3y)(5y)恰為一次項(xiàng)系數(shù)針對性練習(xí)1把下列各式分解因式：(1) (2) (3) (4) (2)對于二次項(xiàng)系數(shù)不是1的二次三項(xiàng)式(a，b，c都是整數(shù)且a0)來說，如果存在四個整數(shù)，使，且，那么它的特征是“拆兩頭，湊中間”，這里要確定四個常數(shù)，分析和嘗試都要比首項(xiàng)系數(shù)是1的情況復(fù)雜，因此，一般要借助“畫十字交叉線”的辦法來確定學(xué)習(xí)時要注意符號的規(guī)律為了減少嘗試次數(shù)，使符號問題簡單化，當(dāng)二次項(xiàng)系數(shù)為負(fù)數(shù)時，先提出負(fù)號，使二次項(xiàng)系數(shù)為正數(shù)，然后再看常數(shù)項(xiàng)；常數(shù)項(xiàng)為正數(shù)時，應(yīng)分解為兩

17、同號因數(shù)，它們的符號與一次項(xiàng)系數(shù)的符號相同；常數(shù)項(xiàng)為負(fù)數(shù)時，應(yīng)將它分解為兩異號因數(shù)，使十字連線上兩數(shù)之積絕對值較大的一組與一次項(xiàng)系數(shù)的符號相同用十字相乘法分解因式，還要注意避免以下兩種錯誤出現(xiàn)：一是沒有認(rèn)真地驗(yàn)證交叉相乘的兩個積的和是否等于一次項(xiàng)系數(shù)；二是由十字相乘寫出的因式漏寫字母如：例題2 把下列各式分解因式：(1)； (2)分析：我們要把多項(xiàng)式分解成形如的形式，這里，而針對性練習(xí)2 把下列各式分解因式：(1) (2) (3) (4) 因式分解一般要遵循的步驟多項(xiàng)式因式分解的一般步驟：先考慮能否提公因式，再考慮能否運(yùn)用公式或十字相乘法，最后考慮分組分解法對于一個還能繼續(xù)分解的多項(xiàng)式因式仍然用這一步驟反復(fù)進(jìn)行以上步驟可用口訣概括如下：“首先提取公因式，然后考慮用公式、十字相乘試一試，分組分解要合適，四種方法反復(fù)試，結(jié)果應(yīng)是乘積式”針對性練習(xí)3把下列各式分解因式：(1)； (2)