平板電容模型(共11頁(yè))

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上平板式電容傳感器的工作原理和數(shù)學(xué)模型大家都知道，在電容器中加入不同的電介質(zhì)，會(huì)使得電容器有不同的電容量。利用這一性質(zhì)，人們已經(jīng)制造出了許多具有不同用途的電容傳感器。諸如測(cè)量液位、壓力、位移1、加速度、介電常數(shù)23、含水量45等的電容傳感器都是利用電容器的這一特性制造的。它們通常具有體積小、結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、響應(yīng)時(shí)間短、分辨率高等突出優(yōu)點(diǎn)。而且由于檢測(cè)頭結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，所以能接受相當(dāng)大的溫度變化及各種輻射作用，可在強(qiáng)烈振動(dòng)等惡劣條件下工作。 近些年來(lái)電容傳感器受到人們的廣泛關(guān)注，它是一類為較理想的檢測(cè)儀器。本文將要研究的平板式電容傳感器就屬于電容傳感器。本文作者查閱了大量的關(guān)于電容傳

2、感器的相關(guān)文獻(xiàn)。但發(fā)現(xiàn)雖然對(duì)于該類傳感器的研究工作，已有一些文獻(xiàn)發(fā)表，但多數(shù)研究工作是在對(duì)該類電容傳感器所產(chǎn)生的靜電場(chǎng)中電力線、電位等物理量的性質(zhì)作了一定的人為假設(shè)的前提下進(jìn)行的。而這些人為假設(shè)與實(shí)際情況都是有一定的差距的。所以得到的數(shù)學(xué)模型可以說(shuō)都是些近似模型，所得結(jié)果也會(huì)有較大的誤差，如3中近似地用半圓弧線代替電力線的真實(shí)曲線。2中用二維場(chǎng)中的拉普拉斯方程代替真實(shí)的三維空間的拉普拉斯方程來(lái)描述該類電容傳感器所產(chǎn)生的靜電場(chǎng)的電位分布。這樣都會(huì)給研究結(jié)果帶來(lái)誤差。針對(duì)這一情況，本文作者已經(jīng)在前期研究了電容傳感器的普遍原理。利用靜電場(chǎng)及場(chǎng)中導(dǎo)體和電介質(zhì)、電容器等的相關(guān)理論，經(jīng)過(guò)嚴(yán)密的數(shù)學(xué)推導(dǎo)，建

3、立了該類電容傳感器的精確的偏微分方程數(shù)學(xué)模型，來(lái)確定檢測(cè)電容影響的靜電場(chǎng)的電勢(shì)。但是當(dāng)被測(cè)物體的形狀、檢測(cè)電容的兩極的形狀為任意的形狀時(shí)，所建偏微分方程模型的精確解往往難以求得。通?？捎脭?shù)值計(jì)算得到其近似解，再利用所求近似解對(duì)該類電容傳感器的工作狀況進(jìn)行研究。本文將介紹的平板式電容傳感器是用來(lái)測(cè)量木材含水率的高精度儀器。由于象木材這樣的電介質(zhì)的含水量可直接影響電介質(zhì)的介電常數(shù)。在一定的條件下木材的介電常數(shù)可以被它的含水量惟一確定，并且介電常數(shù)和含水量的對(duì)應(yīng)關(guān)系是一對(duì)一的，所以在特定的條件下可以利用該電容傳感器先測(cè)量出木材的介電常數(shù)，再間接地得到木材的含水量。本文以一種特殊尺寸的平板式電容傳感器

4、為例，利用數(shù)值分析的方法對(duì)本文所建立的偏微分方程數(shù)學(xué)模型，構(gòu)造了便于計(jì)算和研究的離散近似模型。利用該近似模型對(duì)該類電容傳感器的工作狀況進(jìn)行了論分析，得到了相關(guān)結(jié)論。文中所用方法可以方便地推廣到具有一般尺寸和結(jié)構(gòu)的平板式電容傳感器上去。 1、平板式電容傳感器的工作原理及相關(guān)靜電場(chǎng)的理論針對(duì)平板式電容傳感器的特點(diǎn)，首先討論其工作原理。平板式電容傳感器的結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)圖如下圖所示。首先取兩金屬片作為檢測(cè)電容器的兩極，并固定在某特定的空間位置，如圖中的。則在兩檢測(cè)電容器電極間的電容量將受到周圍環(huán)境的影響，當(dāng)周圍的其它環(huán)境不變時(shí)，如果把被測(cè)的木材放入檢測(cè)電容器兩極形成的電場(chǎng)中，假設(shè)被測(cè)物體的尺寸、形狀都是確定的

5、，檢測(cè)電容的電容量將由被木材的介電常數(shù)唯一確定。且該電容量為介電常數(shù)的一對(duì)一的單值函數(shù)。所以可以通過(guò)測(cè)量檢測(cè)電容器的電容量，來(lái)得到木材的介電常數(shù)。又因?yàn)樵谝欢ǖ臈l件下木材的介電常數(shù)可以被它的含水量惟一確定，并且介電常數(shù)和含水量的對(duì)應(yīng)關(guān)系也是一對(duì)一的，所以當(dāng)其它條件不改變時(shí)，可以利用該電容傳感器先測(cè)量出木材的介電常數(shù)，再利用測(cè)量出的木材介電常數(shù)得到木材的含水量。這就是平板式電容傳感器的簡(jiǎn)單工作原理。而上述獲得木材含水量的方法中，一個(gè)關(guān)鍵的問(wèn)題是找出檢測(cè)電容器的電容量與被測(cè)木材的介電常數(shù)之間的函數(shù)關(guān)系。由于檢測(cè)電容器的電容量是和很容易測(cè)得的。所以只要得到了檢測(cè)電容器的電容量與被測(cè)木材的介電常數(shù)之間

6、的函數(shù)關(guān)系，就可以方便的得到木材的含水量。 在一般的電磁學(xué)理論書籍中，通常都是針對(duì)平行、圓柱形、球形等特殊形狀的電容器（有時(shí)還要忽略邊緣效應(yīng)），對(duì)電容器的結(jié)構(gòu)尺寸作一些假定，近似給出電容器中電場(chǎng)的場(chǎng)強(qiáng)分布等，最后得到電容器的計(jì)算公式。但這種方法不便于推廣到具有任意結(jié)構(gòu)形狀的檢測(cè)電容器上。 圖1 平板式電容傳感器的結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)圖本文的主要內(nèi)容就是要利用靜電場(chǎng)的相關(guān)理論，通過(guò)嚴(yán)格的數(shù)學(xué)推導(dǎo)，得到確定檢測(cè)電容器的電容量與被測(cè)木材的介電常數(shù)之間關(guān)系的精確數(shù)學(xué)模型和計(jì)算公式。而這一方法還要可以推廣到具有任意結(jié)構(gòu)形狀的電容器上去。下面再給出本文所需的靜電場(chǎng)的相關(guān)概念和理論。至于這些理論的推導(dǎo)過(guò)程，請(qǐng)讀者查找物理

7、學(xué)中的相關(guān)內(nèi)容。（1）、帶電量為的點(diǎn)電荷產(chǎn)生的電場(chǎng)分布為，其中和分別為由指向討論點(diǎn)的空間矢量對(duì)應(yīng)的單位矢量和模，為該電介質(zhì)的介電常數(shù)。（2）、由電荷產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)分布具有可疊加性。（3）、在電場(chǎng)中假想有一組曲線，曲線上任意一點(diǎn)的切線方向，恰好是該點(diǎn)電場(chǎng)強(qiáng)度的方向，而垂直于電場(chǎng)強(qiáng)度的方向上單位面積穿過(guò)的曲線根數(shù)正好是該處電場(chǎng)強(qiáng)度的大小。則稱這組假想的曲線為電力線。（4）、穿過(guò)電場(chǎng)中某一曲面的電力線的根數(shù)，稱為穿過(guò)該曲面的電通量。由上述概念和理論可推導(dǎo)出著名的高斯定理（5）、高斯定理：在靜電場(chǎng)中通過(guò)任意閉合曲面的電通量等于該閉合曲面所包圍的電荷電量的代數(shù)和除以。（6）、電場(chǎng)內(nèi)某點(diǎn)處試探電荷的電勢(shì)能與其

8、電量之比，稱為該點(diǎn)的電勢(shì)。（7）、電場(chǎng)中任意一點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度的大小等于電勢(shì)在該處梯度的模，而方向相反。（8）、電容器兩極分別帶等量異號(hào)的電量時(shí)，與兩極之間的電勢(shì)差之比：稱為該電容器的電容量。（9）、靜電場(chǎng)中處于靜電平衡狀態(tài)的同一導(dǎo)體上各點(diǎn)電勢(shì)相同。2、微分方程數(shù)學(xué)模型的建立設(shè)檢測(cè)電容的兩金屬電極所占據(jù)空間區(qū)域分別為，被檢木材所占據(jù)的空間區(qū)域?yàn)椤Ｒ字ゲ幌嘟?，通常它們也可以互不接觸。由于靜電場(chǎng)中處于靜電平衡狀態(tài)的同一導(dǎo)體上各點(diǎn)電勢(shì)相同。不妨設(shè)上電勢(shì)分別為，兩常數(shù)。又設(shè)被測(cè)物的介電常數(shù)為，如果能計(jì)算出電極上所帶電量（為，等的函數(shù)）的值，則可以得到檢測(cè)電容器的電容量與介電常數(shù)的函數(shù)關(guān)系。若得到了檢測(cè)電

9、容器的電容量與木材的介電常數(shù)的函數(shù)關(guān)系。只要能檢測(cè)出電容器的電容量就可以由此關(guān)系算出被測(cè)物的介電常數(shù)，從而進(jìn)一步得到木材的含水量。下面只需討論在上述假設(shè)條件下，如何求所帶電量。由于在靜電場(chǎng)中導(dǎo)體內(nèi)部電勢(shì)都相等，所以其梯度都為零。從而在導(dǎo)體內(nèi)部場(chǎng)強(qiáng)為零，再由高斯定理知，在導(dǎo)體內(nèi)部無(wú)凈電荷，所以電極所帶電荷都在其表面上。由高斯定理容易得到導(dǎo)體表面處某點(diǎn)的電荷密度與該點(diǎn)處外電場(chǎng)強(qiáng)度成正比。并有關(guān)系式=。由于的表面為等勢(shì)面，所以在上電場(chǎng)強(qiáng)度與垂直。這樣如果知道電極表面的外場(chǎng)強(qiáng)的分布，和，則所帶電荷為和故可以把問(wèn)題歸結(jié)為如何求處的外電場(chǎng)強(qiáng)度分布，。又由于電場(chǎng)場(chǎng)強(qiáng)矢量等于電勢(shì)分布函數(shù)梯度負(fù)的矢量，所以如果

10、要能夠得到電勢(shì)分布函數(shù)在的外表面附近的表達(dá)式就可以得到所需場(chǎng)強(qiáng)分布，。下面來(lái)推導(dǎo)電勢(shì)分布函數(shù)的數(shù)學(xué)模型。在上，任取一小體積元，則由高斯定理知內(nèi)所帶電荷為：其中為該部分的介電常數(shù)，當(dāng)該部分為空氣時(shí)，可近似認(rèn)為=。從另一方面，由于上無(wú)電荷存在，故其子區(qū)域也無(wú)電荷存在，即=0。再由的任意性，知在內(nèi)滿足方程同理可得在被測(cè)物內(nèi)部的上也有在的邊界的內(nèi)外兩側(cè)還要滿足一定的連接條件，首先由于在邊界上無(wú)電偶極層，故應(yīng)在處連續(xù)，即其中，分別表示在邊界內(nèi)，外兩側(cè)趨向時(shí)的極限值。其次，在上任意一點(diǎn)作一個(gè)很薄層的圓柱面，如圖2所示。其中在D內(nèi)的底面記為，在D外的底面記為，兩底面無(wú)限貼近，記圓柱側(cè)面為。在該柱面上應(yīng)用高斯

11、定理，注意到在上無(wú)自由電荷，所以有由于圓柱的底面無(wú)限貼近，故后兩項(xiàng)趨于零。同時(shí)和的外法線方向分別趨于的外法線方向和其負(fù)方向，和趨于相等，所以上式取極限得到其中，分別表示在邊界內(nèi)，外兩側(cè)趨向時(shí)，場(chǎng)強(qiáng)在外法線方向分量的極限值。圖2其中n表示法線的方向的分量，從而得到其中分別表示在邊界內(nèi)，外兩側(cè)趨向時(shí)，V的外法線方向?qū)?shù)的極限值。最后由于有限區(qū)域內(nèi)的電荷對(duì)于無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)的影響為零，故有由得到的上述所有條件就可以確定電勢(shì)分布函數(shù)。綜合上述結(jié)果可得到求檢測(cè)電容器的電容量與被測(cè)木材的介電常數(shù)間關(guān)系函數(shù)的步驟如下(1) 當(dāng)被測(cè)木材和電極所占空間區(qū)域?yàn)?，電極上電勢(shì)，都已確定時(shí)，假設(shè)被測(cè)物介電常數(shù)為。(2) 由下面

12、偏微分方程問(wèn)題確定出電勢(shì)分布函數(shù)。(3) 求的梯度得到場(chǎng)強(qiáng)分布。(4) 利用積分求出（或）的帶電量（或） (5) 得到檢測(cè)電容器的電容量與被測(cè)物介電常數(shù)的關(guān)系式其中為介電常數(shù)的函數(shù)。但應(yīng)當(dāng)注意到第（2）步中，由偏微分方程問(wèn)題求電勢(shì)分布函數(shù)通常很難得到精確解。一般情況下整個(gè)計(jì)算過(guò)程可以利用數(shù)值方法得到近似結(jié)果。只要誤差在允許的范圍之內(nèi)，都可以在工程中得到應(yīng)用。下面通過(guò)一個(gè)例子給出近似求解偏微分方程問(wèn)題（2）簡(jiǎn)單的離散方法差分方法。3、一個(gè)數(shù)值方法離散格式的例子為了得到符合條件的離散格式，先對(duì)被測(cè)木材的棱、角處電勢(shì)分布情況進(jìn)行一下分析。先來(lái)考慮被測(cè)木材的棱處電勢(shì)分布情況。如圖3，做以棱為軸、以棱上

13、M點(diǎn)為軸的中圖3心的圓柱。由于圓柱內(nèi)無(wú)電荷，所以由高斯定理有 其中分別為圓柱的側(cè)面和兩底面在被測(cè)木材的外部，內(nèi)部的部分。由于當(dāng)圓柱的各個(gè)尺寸充分小時(shí)，兩底面是高階小量。所以當(dāng)圓柱的半徑趨向于零時(shí)，近似的有注意到上積分又可以表示為（由于電勢(shì)函數(shù)與場(chǎng)強(qiáng)的關(guān)系） 又可近似的表示為其中分別為電勢(shì)函數(shù)法向?qū)?shù)在被測(cè)木材的外部，內(nèi)部平均值。再來(lái)考慮被測(cè)木材的角處電勢(shì)分布情況。如圖4所示，以被測(cè)木材的角M點(diǎn)為球心做圖4球面，記它在被測(cè)木材外部，內(nèi)部的部分分別為。由于球內(nèi)無(wú)電荷，所以由高斯定理有 由于電勢(shì)函數(shù)與場(chǎng)強(qiáng)的關(guān)系又可以表示為又可近似的表示為 其中分別為電勢(shì)函數(shù)法向?qū)?shù)在被測(cè)木材的外部，內(nèi)部平均值。下面我們通過(guò)一個(gè)例子，用差份格式近似計(jì)算，說(shuō)明本文給出的理論和算法。設(shè)檢測(cè)電容的兩金屬電極所占據(jù)空間區(qū)域分別為，被檢測(cè)木材所占據(jù)的空間區(qū)域?yàn)橛捎谒懻搯?wèn)題空間的對(duì)稱性，電極上電勢(shì)，應(yīng)當(dāng)是反號(hào)的。不妨假設(shè)加在電極上的電勢(shì)，分別是1和-1，另外假設(shè)被測(cè)木材介電常數(shù)為。這時(shí)由于整個(gè)結(jié)構(gòu)的對(duì)稱性知，在xz電勢(shì)為零。且電勢(shì)關(guān)于yz平面對(duì)稱，關(guān)于xz平面反對(duì)稱。此時(shí)