四種命題、四種命題間的相互關系

1、四種命題四種命題間的相互關系1、四種命題的概念，寫出某個命題的逆命題、否命題和逆否命題。2、四種命題之間的關系以及真假性之間的聯(lián)系。3、會用命題的等價性解決問題?！竞诵膾呙琛浚?、結合命題真假的判定，考查四種命題的結構。(重點)2、掌握四種命題之間的相互關系。(重點)3、等價命題的應用。怫點)1、四種命題的概念(1)互逆命題：對于兩個命題，如果一個命題的條件和結論分別是另一個命題的結論和條件，那么這樣的兩個命題叫做互逆命題。其中一個命題叫原命題，另一個叫做原命題的逆命題。若原命題為“若p,則q"，則逆命題為“若q,則P”。(2)互否命題：對于兩個命題，其中一個命題的條件和結論恰好是另

2、一個命題的條件的否定和結論的否定，這樣的兩個命題叫做互否命題。如果把其中的一個命題叫做原命題，那么另一個叫做原命題的否命題。也就是說，若原命題為若p,則q”則否命題為若非p,則非q”。(3)互為逆否命題：對于兩個命題，其中一個命題的條件和結論恰好是另一個命題的結論的否定和條件的否定，這樣的兩個命題叫做互為逆否命題。如果把其中的一個命題叫做原命題，那么另一個叫做原命題的逆否命題.也就是說，若原命題為若p,則q"，則逆否命題為若非q,則非p。任何一個命題的結構都包含條件和結論，通過條件和結論的不同變換都可以得到這個命題的逆命題、否命題和逆否命題，因而任何一個命題都有逆命題、否命題和逆否命

3、題。2、四種命題的相互關系3、四種命題的真假性(1)四種命題的真假性，有且僅有下面四種情況:原命題逆命題否命題逆否命題真真真真真假假真假真真假假假假假(2)四種命題的真假性之間的關系：兩個命題互為逆否命題，它們有相同的真假性.兩個命題為互逆命題或互否命題，它們的真假性沒有關系.在四種命題中，真命題的個數(shù)可能會有幾種情況？因為原命題與逆否命題，逆命題和否命題互為逆否命題，它們同真同假，所以真命題的個數(shù)可能為0,2,4.一般地，用p和q分別表示原命題的條件和結論，用非p和非q分別表示p與q的否定,則四種命題的形式可表示為：原命題：若P,則q；逆命題：若q,則p；否命題：若非巳則非q；逆否命題：若非

4、q,則非p.(1)關于四種命題也可敘述為：交換命題的條件和結論，所得的新命題就是原命題的逆命題；同時否定命題的條件和結論，所得的新命題就是原命題的否命題；交換命題的條件和結論，并且同時否定，所得的新命題就是原命題的逆否命題.(2)已知原命題，寫出它的其他三種命題：首先，將原命題寫成若p,則q”的形式，然后找出條件和結論，再根據(jù)定義寫出其他命題。然后，對于含有大前提的命題，在改寫時大前提不動。如已知a,b為正數(shù)，若a>b,則|a|>|b|"中，巴知a,b為正數(shù)”在四種命題中是相同的大前提，寫其他命題時都把它作為大前提。四種命題的真假關系原命題為真，它的逆命題不一定為真；原命

5、題為真，它的否命題不一定為真；原命題為真，它的逆否命題一定為真；原命題的逆命題為真，它的否命題一定為真？四種命題的等價關系的應用：判斷某個命題的真假，如果直接判斷不易，可轉化為判斷它的逆否命題的真假。例如帶有否定詞的命題真假的判斷。因此，證明某一問題時，若直接證明不容易入手，可以通過證明它的逆否命題為真命題來間接地證明原命題為真命題四種命題之間的轉換【例1】寫出以下命題的逆命題、否命題和逆否命題(1)如果直線垂直于平面內(nèi)的兩條相交直線，那么這條直線垂直于平面；(2)如果x>10,那么x>0;(3)當x=2時，x2+x-6=0.思路探索：可先分清命題的條件和結論，寫成若p,則q”的形

6、式，再寫出逆命題、否命題和逆否命題。解：(1)逆命題：如果直線垂直于平面，那么直線垂直于平面內(nèi)的兩條相交直線；否命題：如果直線不垂直于平面內(nèi)的兩條相交直線，那么直線不垂直于平面；逆否命題：如果直線不垂直于平面，那么直線不垂直于平面內(nèi)的兩條相交直線(2)逆命題：如果x>0,那么x>10;否命題：如果x<10那么xWQ逆否命題：如果x<Q那么x<10.(3)逆命題：如果x2+x6=0,那么x=2;否命題：如果xZ那么x2+x6WQ逆否命題：如果x2+x6WQ那么xw2.規(guī)律方法：1、寫命題的四種形式時，首先要找出命題的條件和結論，然后寫出命題的條件的否定和結論的否定，

7、再根據(jù)四種命題的結構寫出所求命題。2、在寫命題時，為了使句子更通順，可以適當?shù)奶砑右恍┰~語，但不能改變條件和結論。寫出下列命題的逆命題、否命題和逆否命題。(1)垂直于同一平面的兩直線平行；(2)若m,<0,則方程mx2x+n=0有實根.解(1)逆命題：如果兩條直線平行，那么這兩條直線垂直于同一個平面否命題：如果兩條直線不垂直于同一平面，那么這兩條直線不平行逆否命題：如果兩條直線不平行，那么這兩條直線不垂直于同一平面(2)逆命題：若方程mx2-x+n=0有實數(shù)根，則m-n<0.否命題：若m,nR,0則方程mx2-x+n=0沒有實數(shù)根.逆否命題：若方程mx2-x+n=0沒有實數(shù)根，則m

8、-n>0.題型二四種命題真假的判斷【例2】有下列四個命題：“若x+y=0,則x,y互為相反數(shù)”的否命題；“若a>b,則a2>b2”的逆否命題；“若x3,則x2-x-6>0”的否命題；“同位角相等”的逆命題.其中真命題的個數(shù)是思路探索可先逐一分清兩個命題的條件和結論，再利用有關知識判斷真假解析“若x+yWQ則x,y不是相反數(shù)”，是真命題.“若a2而2,則a無”，取a=0,b=-1,a2寸2,但a>b,故是假命題.“若x>-3,則x2-x-6W0；解不等式x2x6W0可得一2aW3,而x=4>3不是不等式的解，故是假命題“相等的角是同位角”是假命題.答案1

9、規(guī)律方法：要判斷四種命題的真假：首先，要熟練四種命題的相互關系，注意它們之間的相互性；其次，利用其他知識判斷真假時，一定要對有關知識熟練掌握下列命題中是真命題的是：()A、命題若0<logab<1,則0<a<1<b"的逆命題B、命題若b=3,則b2=9”的逆命題C、命題當x=2時，x2-3x+2=0”的否命題D、命題相似三角形的對應角相等”的逆否命題解析對于A，逆命題為“若0<a<1<b，則0<logab<1”，由對數(shù)函數(shù)圖象得，當0<a<1<b時，logab<0,.A為假；B項，逆命題是若b2=9,

10、則b=3"，它未必成立，因為b可能等于3,所以B為假；C項，否命題是當xw2時，x2-3x+2W0；因為x=1時也可以使x2-3x+2=0成立，所以為假；D項，逆否命題是兩個三角形對應角不相等，則這兩個三角形不相似”，因為原命題與逆命題同真假，且原命題為真，所以逆否命題為真，故選D.答案D等價命題的應用判斷命題已知a,x為實數(shù)，若關于x的不等式x2+(2a+1)x+a2+2wo的解集不是空集，則a>1的逆否命題的真假.審題指導:本題的命題意圖是考查逆否命題的應用，由于原命題與它的逆否命題同真同假，所以可寫出原命題的逆否命題，再判斷其真假，或者由判斷原命題的真假得出逆否命題的真假

11、。規(guī)范解答法一：原命題的逆否命題：已知a,x為實數(shù)，若a<1,則關于x的不等式x2+(2a+1)x+a2+2w0的解集為空集.真假判斷如下：3分 拋物線y=x2+(2a+1)x+a2+2開口向上，判別式A=(2a+1)2-4(a2+2)=4a-7,6分若a<1,則4a7<0.即拋物線y=x2+(2a+1)x+a2+2與x軸無交點.9分所以關于x的不等式x2+(2a+1)x+a2+2W0的解集為空集.故原命題的逆否命題為真.12分法二：先判斷原命題的真假.因為a,x為實數(shù)，且關于x的不等式x2+(2a+1)x+a2+2W0的解集不是空集，所以A=(2a+1)2-4(a2+2)&

12、gt;Q4分即4a-7>Q又因為原命題與其逆否命題等價，所以逆否命題為真。12分由于原命題和它的逆否命題有相同的真假性，即互為逆否命題的命題具有等價性，所以我們在直接證明某一個命題為真命題有困難時，可以通過證明它的逆否命題為真命題，來間接地證明原命題為真命題。判斷命題若m>0,則方程x2+2x3m=0有實數(shù)根”的逆否命題的真假.解m>0,12m>0,.12m+4>0. 方程x2+2x3m=0的判別式A=12m+4>0.，原命題若m>0,則方程x2+2x3m=0有實數(shù)根”為真.又因原命題與它的逆否命題等價，所以若m>0,則方程x2+2x3m=0有實

13、數(shù)根”的逆否命題也為真.反證法的應用1、反證法的理論基礎：反證法就是證明結論的反面不成立，從而證明原結論成立。由于互為逆否命題的兩個命題具有等價性，從邏輯角度看，原命題為真，則它的逆否命題也為真。在直接證明原命題有困難時，就可轉化為證明它的逆否命題成立。2、反證法的思想方法：命題若p,則q”的逆否命題是若非q,則非p"，假設q不成立，即非q成立，由此進行推理，則非p一定成立，這與p成立矛盾，那么就說明假設q不成立”為假，從而可以導出若p,則q”為真，達到論證的目的，這就是反證法的思想方法.3、反證法證明命題的步驟：(1)反設：假設命題的結論不成立，即假設結論的否定成立；(2)歸謬：從這個假設出發(fā)，經(jīng)過推理論證，得出矛盾；(3)說明：由矛盾判定假設不正確，從而肯定命題的結論正確.否定結論是反證法的第一步，它的正確與否，對于反證法有直接影響.若a2+b2=c2,求證：a,b,c不可能都是奇數(shù)。思路分析：可以證明原命題的逆否命題為真命題，也可以運用反證法。法一：依題意，就是證明命題若a2+b2=c2,則a,b,c不可能都是奇數(shù)”為真命題。為此，只需證明其逆否命題若a,b,c都是奇數(shù)，則a2+b2充2.為真命題即可。.a,b,c都是奇數(shù)，則a2,b2,c2都是奇數(shù)。于是a2+b2為偶數(shù)，而c2為奇數(shù)，即a2+b2e 原