5 時(shí) 離散型隨機(jī)變量的均值

1、§5離散型隨機(jī)變量的均值與方差第1課時(shí)離散型隨機(jī)變量的均值1理解離散型隨機(jī)變量的均值的意義，會(huì)根據(jù)離散型隨機(jī)變量的分布列求出均值(重點(diǎn))2會(huì)利用離散型隨機(jī)變量的均值反映離散型隨機(jī)變量的取值水平，解決一些相關(guān)的實(shí)際問(wèn)題(難點(diǎn))基礎(chǔ)·初探教材整理離散型隨機(jī)變量的均值閱讀教材P57P59“練習(xí)”以上部分，完成下列問(wèn)題1離散型隨機(jī)變量的均值(1)設(shè)隨機(jī)變量X的分布列為P(Xai)pi(i1,2，r)，則X的均值為_(kāi)(2)隨機(jī)變量的均值EX刻畫的是X取值的“_”【答案】(1)a1p1a2p2arpr(2)中心位置2均值的性質(zhì)(1)若X為常數(shù)C，則EX_.(2)若YaXb，其中a，b為

2、常數(shù)，則Y也是隨機(jī)變量，且EYE(aXb)_.(3)常見(jiàn)的離散型隨機(jī)變量的均值分布名稱參數(shù)均值超幾何分布N，M，n_二項(xiàng)分布n，p_【答案】(1)C(2)aEXb(3)nnp1下列說(shuō)法正確的有_(填序號(hào))隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望EX是個(gè)變量，其隨X的變化而變化；隨機(jī)變量的均值反映樣本的平均水平；若隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望EX2，則E(2X)4；隨機(jī)變量X的均值EX.【解析】錯(cuò)誤，隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望EX是個(gè)常量，是隨機(jī)變量X本身固有的一個(gè)數(shù)字特征錯(cuò)誤，隨機(jī)變量的均值反映隨機(jī)變量取值的平均水平正確，由均值的性質(zhì)可知錯(cuò)誤，因?yàn)镋Xx1p1x2p2xnpn.【答案】2已知離散型隨機(jī)變量X的分布列為：X123P

3、則X的數(shù)學(xué)期望EX_.【解析】EX1×2×3×.【答案】質(zhì)疑·手記預(yù)習(xí)完成后，請(qǐng)將你的疑問(wèn)記錄，并與“小伙伴們”探討交流：疑問(wèn)1：解惑：疑問(wèn)2：解惑：疑問(wèn)3：解惑：小組合作型離散型隨機(jī)變量的均值公式及性質(zhì)已知隨機(jī)變量X的分布列如下：X21012Pm(1)求m的值；(2)求EX；(3)若Y2X3，求EY.【精彩點(diǎn)撥】(1)利用分布列的性質(zhì)求m；(2)利用離散型隨機(jī)變量的均值公式求解；(3)利用離散型隨機(jī)變量均值的性質(zhì)求解【自主解答】(1)由隨機(jī)變量分布列的性質(zhì)，得m1，解得m.(2)EX(2)×(1)×0×1×2&#

4、215;.(3)法一：由公式E(aXb)aEXb，得EYE(2X3)2EX32×3.法二：由于Y2X3，所以Y的分布列如下：Y75311P所以EY(7)×(5)×(3)×(1)×1×.1該類題目屬于已知離散型分布列求均值，求解方法是直接套用公式，EXx1p1x2p2xnpn求解2對(duì)于aXb型的隨機(jī)變量，可利用均值的性質(zhì)求解，即E(aXb)aEXb；也可以先列出aXb的分布列，再用均值公式求解，比較兩種方式顯然前者較方便再練一題1已知隨機(jī)變量X的分布列為：X123P且YaX3，若EY2，求a的值【解】EX1×2×3&

5、#215;，EYE(aX3)aEX3a32，a3.求離散型隨機(jī)變量的均值在甲、乙等6個(gè)單位參加的一次“唱讀講傳”演出活動(dòng)中，每個(gè)單位的節(jié)目集中安排在一起，若采用抽簽的方式隨機(jī)確定各單位的演出順序(序號(hào)為1,2，6)，求：(1)甲、乙兩單位的演出序號(hào)至少有一個(gè)為奇數(shù)的概率；(2)甲、乙兩單位之間的演出單位個(gè)數(shù)的分布列與均值【精彩點(diǎn)撥】(1)可先求“甲乙兩單位的演出序號(hào)至少有一個(gè)為奇數(shù)”的對(duì)立事件的概率；(2)先求出的取值及每個(gè)取值的概率，然后求其分布列和均值【自主解答】只考慮甲、乙兩單位的相對(duì)位置，故可用組合計(jì)算基本事件數(shù)(1)設(shè)A表示“甲、乙的演出序號(hào)至少有一個(gè)為奇數(shù)”，則表示“甲、乙的演出序

6、號(hào)均為偶數(shù)”，由等可能性事件的概率計(jì)算公式得P(A)1P()11.(2)的所有可能取值為0,1,2,3,4，且P(0)，P(1)，P(2)，P(3)，P(4).從而知的分布列為01234P所以E0×1×2×3×4×.求離散型隨機(jī)變量的均值的步驟1根據(jù)的實(shí)際意義，寫出的全部取值2求出的每個(gè)值的概率3寫出的分布列4利用定義求出均值其中第(1)、(2)兩條是解答此類題目的關(guān)鍵，在求解過(guò)程中應(yīng)注重分析概率的相關(guān)知識(shí)再練一題2盒中裝有5節(jié)同牌號(hào)的五號(hào)電池，其中混有兩節(jié)廢電池現(xiàn)在無(wú)放回地每次取一節(jié)電池檢驗(yàn)，直到取到好電池為止，求抽取次數(shù)X的分布列及均值【解

7、】X可取的值為1,2,3，則P(X1)，P(X2)×，P(X3)××1.抽取次數(shù)X的分布列為X123PEX1×2×3×.探究共研型離散型隨機(jī)變量的均值實(shí)際應(yīng)用探究1某籃球明星罰球命中率為0.7，罰球命中得1分，不中得0分，則他罰球一次的得分X可以取哪些值？X取每個(gè)值時(shí)的概率是多少？【提示】隨機(jī)變量X可能取值為0,1.X取每個(gè)值的概率分別為P(X0)0.3，P(X1)0.7.探究2在探究1中，若該球星在一場(chǎng)比賽中共罰球10次，命中8次，那么他平均每次罰球得分是多少？【提示】每次平均得分為0.8.探究3在探究1中，你能求出在他參加的各場(chǎng)比

8、賽中，罰球一次得分大約是多少嗎？為什么？【提示】在球星的各場(chǎng)比賽中，罰球一次的得分大約為0×0.31×0.70.7(分)因?yàn)樵谠撉蛐菂⒓痈鲌?chǎng)比賽中平均罰球一次的得分只能用隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望來(lái)描述他總體得分的平均水平具體到每一場(chǎng)比賽罰球一次的平均得分應(yīng)該是非常接近X的均值的一個(gè)分?jǐn)?shù)隨機(jī)抽取某廠的某種產(chǎn)品200件，經(jīng)質(zhì)檢，其中一等品126件，二等品50件，三等品20件，次品4件已知生產(chǎn)1件一、二、三等品獲得的利潤(rùn)分別為6萬(wàn)元、2萬(wàn)元、1萬(wàn)元，而1件次品虧損2萬(wàn)元，設(shè)1件產(chǎn)品的利潤(rùn)(單位：元)為X.(1)求X的分布列；(2)求1件產(chǎn)品的平均利潤(rùn)(即X的數(shù)學(xué)期望)；(3)經(jīng)技術(shù)革

9、新后，仍有四個(gè)等級(jí)的產(chǎn)品，但次品率降為1%，一等品率提高為70%，如果此時(shí)要求1件產(chǎn)品的平均利潤(rùn)不小于4.73萬(wàn)元，則三等品率最多是多少？【精彩點(diǎn)撥】【自主解答】(1)X的所有可能取值有6,2,1，2.P(X6)0.63，P(X2)0.25，P(X1)0.1，P(X2)0.02.故X的分布列為：X6212P0.630.250.10.02(2)EX6×0.632×0.251×0.1(2)×0.024.34.(3)設(shè)技術(shù)革新后的三等品率為x，則此時(shí)1件產(chǎn)品的平均利潤(rùn)為EX6×0.72×(10.70.01x)1×x(2)×

10、;0.014.76x(0x0.29)依題意，EX4.73，即4.76x4.73，解得x0.03，所以三等品率最多為3%.1實(shí)際問(wèn)題中的均值問(wèn)題均值在實(shí)際生活中有著廣泛的應(yīng)用，如對(duì)體育比賽的成績(jī)預(yù)測(cè)，消費(fèi)預(yù)測(cè)，工程方案的預(yù)測(cè)，產(chǎn)品合格率的預(yù)測(cè)，投資收益的預(yù)測(cè)等方面，都可以通過(guò)隨機(jī)變量的均值來(lái)進(jìn)行估計(jì)2概率模型的三個(gè)解答步驟(1)審題，確定實(shí)際問(wèn)題是哪一種概率模型，可能用到的事件類型，所用的公式有哪些(2)確定隨機(jī)變量的分布列，計(jì)算隨機(jī)變量的均值(3)對(duì)照實(shí)際意義，回答概率，均值等所表示的結(jié)論再練一題3甲、乙兩射擊運(yùn)動(dòng)員進(jìn)行射擊比賽，射擊相同的次數(shù)，已知兩運(yùn)動(dòng)員擊中的環(huán)數(shù)X穩(wěn)定在7,8,9,10環(huán)

11、將它們的比賽成績(jī)畫成頻率分布直方圖如圖2­5­1甲和圖乙所示圖2­5­1(1)根據(jù)這次比賽的成績(jī)頻率分布直方圖推斷乙擊中8環(huán)的概率P(X乙8)，以及甲擊中9環(huán)以上(包括9環(huán))的概率；(2)根據(jù)這次比賽的成績(jī)估計(jì)甲、乙誰(shuí)的水平更高(即平均每次射擊的環(huán)數(shù)誰(shuí)大)【解】(1)由圖乙可知P(X乙7)0.2，P(X乙9)0.2，P(X乙10)0.35.所以P(X乙8)10.20.20.350.25.同理P(X甲7)0.2，P(X甲8)0.15，P(X甲9)0.3，所以P(X甲10)10.20.150.30.35.P(X甲9)0.30.350.65.(2)因?yàn)镋X甲7

12、×0.28×0.159×0.310×0.358.8，EX乙7×0.28×0.259×0.210×0.358.7，則有EX甲>EX乙，所以估計(jì)甲的水平更高構(gòu)建·體系1設(shè)X為隨機(jī)變量，XB，若隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望EX2，則P(X2)等于()A.B.C.D.【解析】因?yàn)閄B，所以EX2，所以n6，所以P(X2)C24.【答案】D2口袋中有編號(hào)分別為1,2,3的三個(gè)大小和形狀相同的小球，從中任取2個(gè)，則取出的球的最大編號(hào)X的均值為() 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：62690041】A. B. C2 D.【解析】X的取值為2,3.因?yàn)镻(X2)，P(X3).所以EX2×3×.【答案】D3某射手射擊所得環(huán)數(shù)的分布列如下：78910Px0.10.3y已知的均值E8.9，則y的值為_(kāi)【解析】依題意得即解得y0.4.【答案】0.44設(shè)離散型隨機(jī)變量X可能的取值為1,2,3，P(Xk)akb(k1,2,3)又X的均值EX3，則ab_.【解析】P(X1)ab，P(X2)2ab，P(X3)3ab，EX1×(ab)2×(2ab)3×(3ab)3，14a6b3.又(ab)(2ab)(3ab)1，6a3b1.由可知a，b，ab.【答案】5袋中有4個(gè)黑球，3個(gè)白球，2個(gè)紅球，從中任取