Leslie矩陣模型

1、3.4 Leslie 矩陣模型本節(jié)將以種群為例，考慮種群的年齡結構，種群的數(shù)量主要由總量的固有增長率決定，但是不同年齡結構動物的繁殖率和死亡率有著明顯的不同，為了更精確地預測種群的增長，在此討論按年齡分組的種群增長預測模型，這個向量形式的差分方程是Leslie在20世紀40年代用來描述女性人口變化規(guī)律的，雖然這個模型僅考慮女性人口的發(fā)展變化，但是一般男女人口的比例變化不大。假設女性最大年齡為歲，分歲為個年齡區(qū)間：年齡屬于的女性稱為第組，設第組女性人口數(shù)目為，稱為女性人口年齡分布向量，考慮隨的變化情況，每隔年觀察一次，不考慮同一時間間隔內(nèi)的變化（即將時間離散化）。設初始時間為，時間的年齡分布向量

2、為，這里只考慮由生育、老化和死亡引起的人口演變，而不考慮遷移、戰(zhàn)爭、意外災難等社會因素的影響。設第組女性的生殖率（已扣除女嬰的死亡率）為（第組每位女性在年中平均生育的女嬰數(shù)，），存活率（第組女性在年仍活著的人數(shù)與原來人數(shù)之比，），死亡率，假設，在同一時間間隔內(nèi)保持不變，這個數(shù)據(jù)可由人口統(tǒng)計資料獲得。時第一組女性的總數(shù)是時各組女性（人數(shù)為）所生育的女嬰的總數(shù)，可以由下式表示：時第組（）女性人數(shù)是時第組女性經(jīng)年存活下來的人數(shù)，可以由下式表示：用矩陣將上兩式表示為：記：， 則有 稱為Leslie矩陣，由上式可算出時間各年齡組人口總數(shù)、人口增長率以及各年齡組人口占總人口的百分比。利用Leslie模型分

3、析人口增長，發(fā)現(xiàn)觀察時間充分長后人口增長率和年齡分布結構均趨于一個穩(wěn)定狀態(tài)，這與矩陣的特征值和特征向量有關。矩陣有唯一的單重正特征值，對應的特征向量為：若是矩陣的正特征值，則的任一個（實的或者復的）特征值都滿足：若矩陣的第一行有兩個順序元素，則的正特征值是嚴格優(yōu)勢特征值這種要求在人口模型中是能保證的，所以矩陣必有嚴格優(yōu)勢特征值。若矩陣有嚴格優(yōu)勢特征值，對應特征向量為，則：這表明時間充分長后，年齡分布向量趨于穩(wěn)定，即各年齡組人數(shù)占總數(shù)的百分比幾乎等于特征向量中相應分量占分量總和的百分比。同時充分大后，人口增長率趨于，或說時，人口遞增；時，人口遞減；時，人口總數(shù)穩(wěn)定不變。例1 加拿大人口數(shù)量預測問

4、題為了研究加拿大的人口年齡結構，對加拿大的人口進行數(shù)據(jù)統(tǒng)計，1965年的統(tǒng)計資料如下表所示（由于大于50歲的婦女生育者極少，故只討論050歲之間的人口增長問題）表1 加拿大人口統(tǒng)計數(shù)據(jù)年齡組年齡區(qū)間10,5)0.000000.9965125,10)0.000240.99820310,15)0.058610.99802415,20)0.286080.99729520,25)0.447910.99694625,30)0.363990.99621730,35)0.222590.99460835,40)0.104590.99184940,45)0.028260.998701045,50)0.00240

5、分析：由上表得到加拿大人口的Leslie矩陣如下所示，求解特征方程，可以得到矩陣的特征值：和特征向量： 通過上述過程大家可以發(fā)現(xiàn)，一旦矩陣的維數(shù)過大，那么求解特征方程將是一個非常復雜的過程，運用matlab求解程序如下：clear allL=zeros(10,10);L(1,:)=0,0.00024,0.05861,0.28608,0.44791,0.36399,0.22259,0.10459,0.02868,0.00240;L(2,1)=0.99651;L(3,2)=0.99820;L(4,3)=0.99802;L(5,4)=0.99729;L(6,5)=0.99694;L(7,6)=0.9

6、9621;L(8,7)=0.99460;L(9,8)=0.99184;L(10,9)=0.98700;v,d=eig(L);a1=d(1,1);a2=v(:,1);a3=v(:,1)./sum(v(:,1);pie(a3)legend('0,5)','5,10)','10,15)','15,20)','20,25)','25,30)','30,35)','35,40)','40,45)','45,50)')結果：圖1 加拿大人口結構示意圖由矩陣的特性可知：當時間充分長后，年齡分布向量趨于穩(wěn)定，即各年齡組人數(shù)占總數(shù)的百分比幾乎等于特征向量中相