第6章共形映射

1、第6章 保角映射6.1 分式線性映射 導(dǎo)數(shù)的幾何意義是保角映射的理論基礎(chǔ). 6-1 映射在處的伸縮率與旋轉(zhuǎn)角是（ ）.（A） （B） （C） （D） 解 選（B）. 平移變換加伸縮反射得相似圖形，相似比即.6-2 在映射下，將映射為（ ）.（A）右半平面 （B）下半平面 （C）半平面 （D） 解1 而 ，即，故 選（C）. 解2 是分式線性變換，具有保圓性.而，將變到變到變到，故將圓變?yōu)橹本€，而圓心變到，故將變?yōu)榘肫矫? （C）. 6-3 映射將的區(qū)域映射為（ ）.（A） （B） （C）圓 （D）解 由的保圓性，知將映射為直線或圓，由映射為，映射為映為知，將映射為平面上的圓： 圖6-1而映射為

2、.故將映射為圓內(nèi). 選（C） 6-4 求將圓映射到右半平面，且的分式線性映射.解 令，則.由，可令 ，得，于是 .由于圓應(yīng)映射為虛軸，故又令得 ，解得于是 （這時圓上點(diǎn)映射為點(diǎn)，故滿足所求）. 6-5 求把上半平面映射成單位圓的分式線性映射，且滿足條件 （1）； （2） 解 （1）令 ，即令時，得，于是得到一個滿足要求的映射 （2）由，可令更令，得，更由得故，從而 要求時，故取時，也可寫作只要定即可. 6-6 求將上半平面映射為單位圓的分式線性變換. 解 設(shè)，將映射為，則它將映為圓心.而將映為，記，而有，故變換為由于變到上一點(diǎn)，即，記，則 （其中）.是待定實(shí)數(shù). 6-7 求把上半平面映射成單位

3、圓的分式線性映射，并滿足條件：（1）； （2）； （3）解 （1）設(shè)，于是即所求映射為 . （2）設(shè)映射為故所求映射為 （3）設(shè)由得令，上兩式相比得 （1）取共軛 上兩式兩邊相乘得解得 （2） 將（1）式乘開，比較實(shí)部與虛部可得 （3）及 （4）將（2）代入（4），消去后解得：，于是 所求映射 . 6-8 求將單位圓映射為單位圓的分式線性映射. 解 設(shè)所求的分式線性變換把內(nèi)的點(diǎn)映射為，那么，它將即與關(guān)于的對稱點(diǎn)映射為，故所求的映射為 設(shè)對應(yīng)于上某點(diǎn)，則有，故即 是實(shí)數(shù)）這時 故是點(diǎn)變換時的旋轉(zhuǎn)角同樣，將平面上映射為平面上的分式線性變換是 是實(shí)數(shù)） 6-9 求將右半平面映射為單位圓的分式線性映射

4、.解1 設(shè)，它將映為點(diǎn)，而將映為點(diǎn).記，則，由對稱性，.因此，且，故得是實(shí)數(shù)）.解2 由6-13題，先作旋轉(zhuǎn)，將右半平面旋轉(zhuǎn)為上半平面，于是將變?yōu)榈挠成涫牵ㄒ?-13題）故 記 ，則而 與解1的結(jié)果同. 利用與兩點(diǎn)是關(guān)于兩個同心圓皆對稱的點(diǎn)而有保對稱性.從而知皆是實(shí)數(shù)，及對二圓都有對稱性，從而解出和. 6-10 求一分式線性映射，把由與所確定的區(qū)域映射為平面上的同心圓環(huán)：與 解 本題關(guān)鍵在設(shè)，由于0、關(guān)于兩個同心圓與皆對稱；故與應(yīng)同時與及皆對稱.從而知應(yīng)在此二圓圓心的聯(lián)線上，即與皆是實(shí)數(shù)，且有即 得，取.則 由于在內(nèi)部，故此映射將映為，而將映為即 取，則這時，由在內(nèi)，而在內(nèi)，故此映射將映為而將

5、映為，即令便應(yīng)有故所求映射為.6.2 幾個初等函數(shù)所構(gòu)成的映射按要求一步一步變，注意每一步的要求.6-11 試將由及所確定的區(qū)域保角地映射為上半平面.解 如圖6.2，我們采取如下步驟作映射.圖6.2(1)作分式線性映射，使映射于原點(diǎn)，而映射為點(diǎn).即 （2）令，則映射成不含的負(fù)實(shí)半軸的全平面，（3）令，則映射為下半平面.（4）令，則映射為上半平面，故此映射為 6-12 試將由所確定的區(qū)域保角地映射為上半平面. 解 如圖6.3，分以下步驟： （1）將弓形域映射為角形域（2）映射為下半平面.（3），即為所求也就是圖6.3 6-13 求把單位圓外部，且沿虛軸有割痕的域映射為上半平面的一個保角映射. 解

6、 分以下步驟：（1）作分式線性映射，將單位圓外部映射為半平面，并使割痕轉(zhuǎn)到實(shí)軸，即（2）平方且反射，使割痕到（3）平移后開方得即 為所求映射.6-14 將圖6.4平面中陰影部分所示區(qū)域，即由所確定區(qū)域映射為上半平面.解 分以下步驟：（1）作分式線性映射，則所給域映射為；（2）旋轉(zhuǎn)伸長，即令，得條形域；（3）作指數(shù)映射即得上半平面.即映射為圖6.46-15 將如圖6.5所示的平面區(qū)域，即由所確定的區(qū)域，映射為上半平面.解 （1）作分式線性變換：，將映射為，而將映射為.由此，將已知域映射為帶狀域.（2）旋轉(zhuǎn)伸縮：.映射為（3）取指數(shù)函數(shù)的映射便是本題所求，即.圖6.5 6-16 將沿虛軸有割痕從至

7、的上半平面，保角地映射為上半平面.解 （1）將上半平面映射為全平面后并平移，使割痕位于實(shí)軸的至處.（2）開方使割痕好似被展平在實(shí)軸的上：.即 .（見圖6.7）圖6.6 6-17 圖6.7所示的平面上單位圓中有割痕：沿實(shí)軸從至的區(qū)域，試將其保角地映射為半平面.解（1）開方將圓映射為半圓，割痕仍在軸上：；（2）作分式線性映射，將半圓映射為平面：；（3）平方 即圖6.7 6-18 將圖6.8所示，由確定的平面上的區(qū)域，保角映射為上半平面.解 （1）將其旋轉(zhuǎn)伸縮于第4象限：（2）取指數(shù)函數(shù)：將中的區(qū)域映射為半圓域： （3）作分式線性映射：將半圓映射為平面.（4）令即為所求的映射，即圖6.8 6-19 求把實(shí)軸上有割痕：的單位圓映射為的一個映射.解 （1）令，使割痕在上；（2）作；（3）再作，將半圓映射為的象限部分；（4）作，便將此映射為上半平面；（5）最后將上半平面映為單位圓：（見圖6.9）經(jīng)歸納圖6.9 6-20 求把半帶形域，映為上半平面的映射，使 解 （1）作旋轉(zhuǎn)與平移：，使之映為平面的半帶形域： （2）作指數(shù)映射：，